第2节 解析函数的孤立奇点

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1、 Department of Mathematics第二节 解析函数的孤立奇点一一. . 孤立奇点的三种类型孤立奇点的三种类型( ), af zKaLaurent若 为的孤立奇点 则在内可展成级数( )()nnnf zcza1()nnncza0()nnncza( )f za在 的主要部分( )f za在 的正则部分K在 内收敛于一解析函数( )f za在点 的奇点性质体现正则函数正则函数(Regular function );解析函数解析函数(Analytic function );全纯函数全纯函数(Holomorphic function ).定义5.2.( )af z设 为孤立奇点(1)(

2、 ),( );f zaaf z如果在点 的主要部分为可则称 为的去奇点零(0,0)nnc 即(2)( ),f za如果在点 的主要部分为有限项 设为(1)11,(0)()()mmmmmcccczazaza( );maf z则称 为的 阶极点(0,0)mncnm c 即(3)( ),( )f zaaf z如果在点 的主要部分有无限多项 则称 为的本质奇点.(0,0)nnc即无限多个使二二. 可去奇点可去奇点( )af z若 为的可去奇点,则01( )()()(0)nnf zcc zaczazaR0( ),( ):.f acf zKzaR若命则在内解析sin( ),(0)1zf zfz如若令sin

3、0( ),10zzf zzz即令( )0f zz 则在解析.( ),( )f zaf zza可将在 加以适当定义 使在解析.定理5.3.( )af z若 为的孤立奇点,则下列三条件等价,因此,它们中任何一条都是可去奇点的特征(1)( );f za在点 的主要部分为零(2) lim( ), ();zaf zb b (3)( )f za在点 的某去心邻域内有界.证明(1)(2)01( )()()(0)nnf zcc zaczazaR由于0lim( )zaf zc故; (2)(3)lim( ), ();zaf zb b 由于由函数极限的性质,( );f za在点 的某去心邻域内有界(3)(1)( )

4、, f zM zKa设( )f za考察在点 的主要部分1()nnncza() 11( ),(1,2,.)2()nnfcdnia,Ka 而 为 内的圆周可以充分小 于是由() 1( )12nnfcda() 1122nM nM0(0,0)n1,2,0,nnc故时( )f za即在点 的主要部分为零.例1tan( )zf zz确定函数的孤立奇点的特征.解tan( )0,zf zzz的孤立奇点为00tanlim( )limzzzf zz由于1,tan0( )zzf zz所以为的可去奇点.三三. 极点极点1.定理5.4( )af z若 为的孤立奇点,则下列三条件等价,因此,它们中任何一条都是m阶极点的

5、特征(1)( )f za在点 的主要部分为(1)11,(0)()()mmmmmcccczazaza(2)( )f za在点 的某去心邻域内能表成( )( )(5.11);()mzf zza1(3)( )( )( )0).g zamf zg a以点 为 阶零点 可去奇点当解析点看,只要令( )( )0;zaa其中在点 的邻域内解析,且证明(1)(2)若(1)为真,则在点a的某去心邻域内有(1)11( )()()mmmmcccf zzazaza1(1)1()()mmmcczacza( ),()mzza( )( )0;mzaac其中显然在点 的邻域内解析,且(2)(3)若(2)为真, 则在点a的某去

6、心邻域内有1( )( )g zf z(),( )mzaz10;( )aa1其中在点 的邻域内解析,且(z)01()()nncc zacza101()()mmc zac za1()mza因此,( ),ag z为的可去奇点作为解析点看,只要令( )0,g a ( );ag zm为的 阶零点(3)(1)1( );( )ag zmf z由于 为的 阶零点则在点a的某邻域内有( )()( ),mg zzaz( )( )0,za其中在此邻域内解析,且这样一来11( ),()( )mf zzaz( )az1因在点 的邻域内解析,故在此邻域内有1(1)101()()()( )mmmmcczaczac zaz(

7、 )f za则在点 的主要部分为10.( )mca(1)11,()()mmmmccczazaza定理5.5( )f za函数的孤立奇点 为极点的充要条件是lim( ).zaf z 证明( )f za函数以 为极点1( )amf z以点 为 阶零点lim( ).zaf z 注( ),( )af zaf z设 为的孤立奇点 则 为的m阶极点的充要条件是:lim()( ).mzazaf z存在且不为零例2251( )(1)(21)zf zzz确定函数孤立奇点的类型.解1( )1,;2f zz 的孤立奇点为由于1( )( )g zf z2(21)(1)51zzz( )(1),z z2114()512z

8、zz21( )() ;2z z而( )(1, ),zN在内解析1( )(, );2zN在内解析1(1)0,()0;2且故1( ),zg z 为的一阶零点1( ),2zg z 为的二阶零点因而1( ),zf z 为的一阶极点1( ),2zf z 为的二阶极点四四. 本质本质(本性本性)奇点奇点(Essential singularity )1定理5.6( )f za的孤立奇点 为本质奇点的充要条件是()lim( ),zabf z有限数lim( ).zaf z即不存在注由定理5.3(2)及定理5.5易证.2定理5.7( )1,( ).zaf zazaf z若为函数之一本质奇点,且在点的充分小去心邻

9、域内不为零 则亦为的本质奇点证明1( ),( )zf z令( );zaz则必为的孤立奇点( )zaz若为的可去奇点(解析点),( )zaf z则必为的可去奇点或极点,与假设矛盾;( )zaz若为的极点,( )zaf z则必为的可去奇点(零点),亦与假设矛盾;1( )( )zazf z故必为的本质奇点.例311( )zf ze研究函数孤立奇点的类型.解( )1,f zz 的孤立奇点为由于11211111112 (1)(1)znezzn z 01,z 111zze故为的本质奇点.注注奇点孤孤 立立 奇奇 点点非孤立奇点非孤立奇点支点支点( (多值函数多值函数) )可去奇点可去奇点极极 点点本质奇点

10、本质奇点五五. 施瓦兹（施瓦兹（Schwarz）引理）引理( )1,f zz 如果函数在单位圆内解析 并且满足条件(0)0;( )1,(1);ff zz1z 则在单位圆内恒有( )f zz(0)1;f且有0,10,()zz如果上式等号成立 或在圆内一点处前一式的等号成立 则 当且仅当( ),(1);iaf ze zz.a其中 为一实常数证明212( )1,f zc zc zz设12( )( )01,f zzcc zzz设1(0)(0),cf定义( )1,zz则在内解析( )1(1),f zz由于,01,rrzr因此对在上有( )1( );f zzzrzr在上,由最大模原理1( )( );zrz

11、Maxzr1,r 令( )1(1),zz得于是于是(0)(0)1,f0,z 且当时 有( )( )1;f zzz即即( ),f zz(0)1,f若001()1;zzz则在内有点 使( )1,zz即模在内达到最大值由最大模原理由最大模原理,( ),;z这只有常数 且该常数模为1( )(),iazea故为常数亦即亦即( ).iaf ze z注1 几何意义几何意义( ),(0)0,0,wf zfzz任一解析函数当把单位圆周变到单位圆内区域 时 圆内任一点的像比 距坐标原点为近 如果有一点像与这个点本身距原点距离相同 则 为单位圆.00000,1(),zzf zz或有使(0)(0)1,f使10;z 则

12、在内有点xy10rzuv10r( )f z( )wf z注2,( ),f z保留假设条件 如果原点是的 阶零点 则( ),f zz( ).iaf ze z并且只有当时等号才成立作业 P218 4(1)(4)(6)(7)(只考虑有限奇点); 6; 7 本节结束本节结束 谢谢！谢谢！Complex Function Theory Department of Mathematics(3),0;A 1,zeA由有1LnAz1ln2nzAn i令1,2,n 0,nz 则(),(1,2,),nf zA n且0lim().nnzf zA因此2 Picard大定理0( ), ,naf zAAAaz 如果 为函

13、数的本质奇点,则对于每一个除掉可能一个外 必有趋于 的无限点列使得定理5.9()(1,2,).nf zAn例51( )0zf zez研究函数在孤立奇点性质.解101 1( ),!znnf zen z由于0( ).zf z故为的本质奇点(1),A 10,nzn取()nnf ze则();n (2)0,A 10,nzn 取()nnf ze则();n 0(2),A 1sin,Az由有211rcsin(1),AALn iAAzi2ln(1)2niziAAn i令1,2,n 0,nz 则(),(1,2,),nf zA n且0lim().nnzf zA因此注:( ),( )af zf z设 为函数的本质奇点

14、,则无论怎样小的去心邻域内函数可以取任意接近于预先给定的任何数值.例41( )sin0f zzz研究函数在孤立奇点性质.解2101( 1)1( )sin,(21)!kkkf zzkz由于0( ).zf z故为的本质奇点(1),A ,nizn取1()sin2nnnneef zzi则();n (2),A 设,( ).,.azf zA可能有这种情形发生 在点 的任意小去心邻域有这样一点 存在 使在这种情形下 定理已得证( ).f zA这样由定理5.7,函数1( )( )zf zA ,.Kaa在内解析 且以 为本质奇点, aKa因此 假定在点 的充分小去心邻域内由(1)的结论, ,naz必有一个趋于 的点列存在 使得lim().nnzaz lim().nnzaf zA从而五五 Picard定理定理1定理5.8(Weierstrass)( ), naf zAaz如果 为函数的本质奇点,则对任何常数不管它是有限还是无穷 都有一个收敛于 的点列使得lim().nnzaf zA证明(1),.A 在的情形 定理正确( )f za因在 的任何去心邻域无界,( ).af z否则 为的可去奇点