不可压缩粘性流体的流动1粘性流体中的应力

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1、第七章不可压缩粘性流体的流动1 粘性流体中的应力2 不可压缩粘性流体运动的基本方程4 边界层的概念5 边界层微分方程6 边界层动量积分式7 平板边界层的近似计算8 曲面边界层的流动分离9 绕流物体的阻力1 粘性流体中的应力（简介）应力的表示法：ijp 第一个下标表示应力作用面的法线方向；第二个下标表示应力作用方向。iip理想流体没有切向力，只有法向力实际流体既有法向力，也有切向力，如图，由于应力的对称性，应力中只有6个分量是独立的。它们是：主应力：xxyyzzppp切应力：xyyxxzzxzyyzpppppp 2xxuppx对不可压流体，主应力可表示为： 2zzwppz 2yyvppy一般情况

2、下，三个法向应力不相等，其关系是：1()3xxyyzzpppp 对理想流体：xxyyzzpppp()()()xyyxyzzyzxxzvuppxywvppyzuwppzx切应力可表示为：这说明粘性流体中三个互相垂直的法向应力的平均值的负值等于该点的动压强。7-2 不可压粘性流体运动的基本方程简介 将微元体所受的惯性力、质量力和表面力代入牛顿第二定理Fma222222()xxpuuuafxxyz可得不可压粘流的运动微分方程：N-S方程222222()yypvvvafyxyz222222()zzpwwwafzxyz21DVfpVDt此式称为NS方程222222222222222222()()()xy

3、zuuuupuuuuvwftxyzxxyzvvvvpvvvuvwftxyzyxyzwwwwpwwwuvwftxyzzxyz矢量表达：将加速度展开有: N-S方程与连续性方程联立，四个方程四个未知数u、v、w和p，方程为封闭的方程组。 加上初始条件，边界条件，就可以解该方程。实际上N-S方程是非线性偏微分方程，很难求解。它的解有以下几种处理方法：精确解： N-S方程中的加速度对流项是非线性项，这使得方程的求解非常困难。对于某些简单的流动，非线性对流项消失，N-S方程变为线性的方程，用解析的方法求出其解，这类解称为精确解。 在文献中能查到的精确解至今为止只有几十个，而且其中的大部分不能够直接应用到

4、实际问题中去。近似解： 小雷诺数Re情况，此时粘性力较惯性力大得多。可以全部或部分地忽略惯性力得到简化的线性方程。 大雷诺数Re情况，若将粘性力全部略去，只在贴近物面很薄的一层“边界层”中考虑粘性的影响，且根据问题的特点，略去粘性力中的某些项，从而得到简化的边界层方程（仍是非线性的）。 对于中等雷诺数Re的情况，惯性力和粘性力都必须保留，此时只能通过其它途径简化问题，或者利用数值计算方法求N-S方程的数值解。 7-4 边界层的概念 1、边界层的形成：当流体绕流物体时，物面情况如图边界层外边界线当Re很小时，沿y轴方向，速度缓慢增加，直至无穷远才达到 。V当Re很大时，整个流场可以明显地分成性质

5、很不相同的两个区域。 1） 紧贴物面非常薄的一层区域称为边界层。 在该区域内，速度分量u 沿物面的法向变化非常迅速，即 很大。虽然在大Re数情形，但因 很大，故粘性应力uyuyuy仍然可以达到很高的数值。它所起的作用与惯性力同等重要。因此在边界层内不能全部忽略粘性力。 我们将这种在大雷诺数下紧靠物面处流速从零急剧增加到与来流同量级大小的薄层称为边界层。uy2） 边界层外的整个流动区域称为外部流动区域。 在该区域内， 很小，因此粘性应力在大Re数情形下比惯性力小得多可以将粘性力全部略去，因而把流体近似地看成是理想的。对于均匀来流绕过物体的流动而言，在整个外部流动区域中不仅可把流体视为理想的，而且

6、运动是无旋的。 边界层的内外边界是没有 明显的分界线，一般在实际应用中，把边界层厚度规定为：0.99V当物面法向速度达到 时的法向距离定义为边界层厚度，用来表示。流体在前驻点处速度为零，0，沿流动方向增加。附面层外边界线与流线不重合，流线可深入到边界层内。边界层具有以下特点： 0py uy1.与物体的长度相比，附面层的厚度很小2.在内， 很大。3.沿流动方向增大。4.由于很小，可以近似认为附面层内外同一截面上的压力相等，即 对于平板还有 全流场压力不变。0px证明：如图，在11截面上有 则0py111ppVV 112222pVpVgggg1 V1220在22截面上有 则0py222ppVV由于

7、1和2同属边界层外边界上，可看成无旋流，由势流的伯努利方程：12VVV而1212pppp即0pxyx 层流边界层 5.边界层内的流动也可分为层流和紊流，当两种状态都存在，称混合边界层。如图混合边界层 V0 V0 xc U UU粘性底层层流边界层层流边界层紊流边界层紊流边界层过渡过渡区区边界层界限边界层界限xcrxyUxUxx 56R510310exexcRxV *由层流转化成紊流的雷诺数为：转捩点：二、排移厚度 、动量损失厚度*0(1)udyU定义：边界层内的速度为 ，外部势流的速度为 。对于平板( , )u x y( )U x( )U xV排移厚度 由于流速受到壁面的阻滞而降低，使得边界层内

8、通过的流量与理想流体时通过的流量减少，相当于边界层的固体边界向流动内区域移动了 。* 的物理意义：*0(1)udyU *00(1)uUUdyUUudy由第一项 表示当流体是理想流体，通过面积1时的质量流量，图中矩形面积abcd。U 第二项 表示由于粘性有边界层存在，通过面积1时的质量流量，图中面积acda。0udy*U 为理想流体和实际流体通过同一面积的质量流量的差 ，图中面积abca，也可看成以速度U通过面积 时的质量流量。*1称为动量损失厚度。*0(1)uudyUU 边界层内流速的降低不仅使通过的流体质量减少，而且也使通过的流体的动量减少。两者相差相当于将固体壁面向流动内部移动一个的 距离

9、。*定义：物理意义：例：已知二元平板层流边界层的速度分布可用如下函数近似：sin()uU abyc其中U为无穷远处来流，a.b.c 为待定常数,试用边条及外部势流的衔接条件确定 a.b.c，并求出 , 。*y7-5 边界层微分方程（简介）流体绕物体的流动势流区边界层区势流理论边界层方程直接解N-S方程推导边界层方程是简化的N-S方程基本思想： N-S描述了流体所受的惯性力、压力、质量力和粘性力之间的数学关系。如果某种力与其它力相比是小量，则这个力就可以忽略不计。 在边界层中，边界层厚度与物体的长度的比值 是一个小量。/L记为1L 引入特征量:将N-S方程中的各物理量无量纲化。,xyuvpxyu

10、vpLUVP这些无量纲化的物理量与1具有相同的量级N-S方程的无量纲化222222()()( )uVLuPpuLuuvxUyxULUxy 1111121211222222222()()()( )()()VvV LvPLpVvVLvuvUxyyULUUUxUy 121111121211连续性方程()0uVLvxUy111分析各量纲略去小量得：2200uupuuvxyxypyuvxy 第二个方程得到重要得结论： 边界层的压强沿y方向是不变的由伯努利方程得1dpdUUdxdx边界层微分方程组可改写为：2200uudUuuvUxydxypyuvxy边界条件为00yuv()U(x)yu或简化的边界层微分

11、方程仍是非线性的，在个别情况可用相似性法求解，一般情况要用级数展开法和数值计算法。工程上大量应用一种近似解的方法即边界层动量积分式。7-6 边界层动量积分关系式 取一控制体，其边界由壁面、边界层外缘和相距为dx的两个横截面构成。讨论控制体内质量和动量的变化经AB流入的质量和动量：20u dy经CD流出的质量和动量2200()du dyu dy dxdx0udy000()()dududx dyudyudy dxdxdx经边界层外缘AC流入控制体的质量应等于CD面上流出减AB面上流入0()dudy dxdx故由AC流入的动量流量为0()dUudy dxdx规定流出为正，流入为负，控制体内流体动量变