第2章控制系统的传递函数

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1、第二章第二章 控制系统的传递函数控制系统的传递函数(MathematicalModel) 常见函数的常见函数的Laplace变换变换u1 u2 u3u4u5st1)( 121st aseat122sinst22cossstu线性系统：系统的数学模型能用线性微线性系统：系统的数学模型能用线性微分方程描述。分方程描述。u线性定常系统：微分方程的系数为常数。线性定常系统：微分方程的系数为常数。u线性系统满足叠加原理。线性系统满足叠加原理。u建立数学模型的方法：建立数学模型的方法：分析法分析法和实验法。和实验法。控制系统概念控制系统概念(Introduction)2.1 传递函数概述传递函数概述 (T

2、ransferFunction)一、一、 传递函数定义传递函数定义在外界输入作用前，在外界输入作用前，输入、输出的初始条件为零输入、输出的初始条件为零时，时，线性定常系统、环节或元件的输出线性定常系统、环节或元件的输出xo(t)的的Laplace变换变换Xo(s)与输入与输入xi(t)的的Laplace变换变换Xi(s)之比，称为该系统、环节或元件的传递函数之比，称为该系统、环节或元件的传递函数G(s)。01110111.)()()()()(asasasabsbsbsbsXsXtxLtxLsGnnnnmmmmioiou输入、输出和传递函数之间的关系为输入、输出和传递函数之间的关系为 ( )(

3、)( )oiXsG s X su一般外界输入作用前的输出初始条件一般外界输入作用前的输出初始条件 称为系统的初始状态或初态，在计算时作为输称为系统的初始状态或初态，在计算时作为输入考虑。入考虑。 (0 )ox(1)(0 )ox(1)(0 )nox传递函数特点：传递函数特点：u(1)传递函数分母传递函数分母(左端左端阶数及各项系数阶数及各项系数)只取决于系只取决于系统本身与外界无关的固有特性；统本身与外界无关的固有特性；传递函数的分子传递函数的分子(右右端端阶数及各项系数阶数及各项系数)只取决于系统与外界之间的关系。只取决于系统与外界之间的关系。u(2)若输入已经给定，则系统的输出完全取决于其传

4、若输入已经给定，则系统的输出完全取决于其传递函数。递函数。u(3)传递函数分母中传递函数分母中s的阶数的阶数n必不小于分子中必不小于分子中s的阶的阶数数m，即，即nm，因为实际系统或元件总有惯性。，因为实际系统或元件总有惯性。u(4)传递函数可以是有量纲，也可以是无量纲的。传递函数可以是有量纲，也可以是无量纲的。u(5)物理性质不同的系统、环节或元件，可以具有相物理性质不同的系统、环节或元件，可以具有相同类型的传递函数。同类型的传递函数。)()()()(11sXsGLsXLtxioo二、传递函数形式二、传递函数形式 系统的传递函数系统的传递函数G（s）是以复变函数）是以复变函数s作为自作为自变

5、量的函数。经因式分解后可以写成变量的函数。经因式分解后可以写成 )().)().()()(2121nmpspspszszszsKsGK为常数为常数 当当s=zj 时，均能使时，均能使G(s)=0 ， zj称为称为G(s)的的零点零点。当当s=pi 时，均能使时，均能使G(s)的分母为的分母为0 ，pi称为称为G(s)极点极点。 传递函数的传递函数的极点极点就是微分方程的就是微分方程的特征根特征根。 1传递函数的零点、极点形式传递函数的零点、极点形式 根据微分方程的解可知，系统的瞬态响应，由以根据微分方程的解可知，系统的瞬态响应，由以下形式的分量构成下形式的分量构成teteettptcossin

6、,，式中：式中：p和和+j是系统传递函数极点，也是微分方是系统传递函数极点，也是微分方程的特征根。程的特征根。n假定所有的极点是负数或具有负实部的复数，即假定所有的极点是负数或具有负实部的复数，即p0， 0，当，当t时，上述分量趋向于零，瞬态时，上述分量趋向于零，瞬态响应是收敛的。因此说系统是稳定的。响应是收敛的。因此说系统是稳定的。n系统是否稳定由极点性质决定。系统是否稳定由极点性质决定。n当系统输入信号一定时，系统的零、极点决定着系当系统输入信号一定时，系统的零、极点决定着系统的动态性能，即零点对系统的稳定性没有影响，统的动态性能，即零点对系统的稳定性没有影响，但它对瞬态响应曲线的形状有影

7、响。但它对瞬态响应曲线的形状有影响。2、传递函数的标准形式及放大系数、传递函数的标准形式及放大系数 经变换将常数项化为经变换将常数项化为1后可得系统的传递函数标准后可得系统的传递函数标准形式为形式为 ( )(1)1011( )(1)0111(1)(.1)( )(.1)(1)mjnnjnnnnnnniisb b sbsbsG sKa a sasa sTsK系统的放大增益，或称放大系数系统的放大增益，或称放大系数00bKa 当当s=0时时000011101110.)()0(abasasasabsbsbsbsGGsnnnnmmmms)0()()()()()()(limlimlimlim000GsGs

8、XssGssXxtxsisosoot假如系统输入为单位阶跃信号，系统的稳态输出为假如系统输入为单位阶跃信号，系统的稳态输出为uG(0)决定着系统的稳态输出值，决定着系统的稳态输出值，G(0)就是系统的就是系统的放大系数放大系数，它是由系统微分方程系数决定的。，它是由系统微分方程系数决定的。u系统传递函数的零点、极点和放大系数决定着系系统传递函数的零点、极点和放大系数决定着系统的瞬态性能和稳态性能。统的瞬态性能和稳态性能。2.2 传递函数的建立传递函数的建立 一一 、列写传递函数的一般方法、列写传递函数的一般方法u列写系统（或元件）的传递函数，目的在于确列写系统（或元件）的传递函数，目的在于确定

9、系统的输出量与给定输入量或扰动输入量之定系统的输出量与给定输入量或扰动输入量之间的函数关系。间的函数关系。u确定系统（或元件）的输入量和输出量；确定系统（或元件）的输入量和输出量；u从系统输入端开始，列写各个环节的动态微分从系统输入端开始，列写各个环节的动态微分方程；方程；u将微分方程进行拉氏变换；将微分方程进行拉氏变换；u消除中间变量，整理得出输入输出之间关系的消除中间变量，整理得出输入输出之间关系的传递函数。传递函数。例例1 RLC电路电路 dtduciuuLRioiodtdiiooouudtduRcdtudLc22根据电路基本原理根据电路基本原理)()()()()()(scsUsIsUs

10、UsLsIsRIoio11)()(2RcsLcssUsUio例例2 质量弹簧阻尼系统质量弹簧阻尼系统由牛顿定律：由牛顿定律： maF22dtydmdtdyckyffkydtdycdtydm22kcsmssFsY21)()(22221122221211111)(11)(1udtiCdtiiCdtiCRiudtiiCRi根据克希荷夫定律根据克希荷夫定律1222122112222211)(uudtduCRCRCRdtudCRCR)()(1)()(1)(1)()()()(1)(2222112222121111sUsIsCsIsIsCsIsCRsIsUsIsIsCRsI1)(1)()(212211222

11、1112sCRCRCRsCRCRsUsU例例3 RC电路电路若孤立地分别写出两个环节的微分方程，则若孤立地分别写出两个环节的微分方程，则2111111111udtiCudtiCRi2222222211udtiCudtiCRi) 1)(1)()(22112221112sCRCRsCRCRsUsU这就是负载效应的结果。这就是负载效应的结果。负载效应就是物理环节之间的信息反馈作用。负载效应就是物理环节之间的信息反馈作用。例例4 电枢控制式直流电机电枢控制式直流电机根据克希荷夫定律根据克希荷夫定律adaaueRidtdiLddke adaaukRidtdiLLMMdtdJamikM LamMikdtd