第1章 绪论(数值计算分析刘玲)

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1、数值计算方法第1章 绪论n随着科学技术的飞速发展，科学计算愈来愈显示出其重要性。科学计算的应用之广已遍及各行各业，例如：气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都离不开科学计算。因此，作为科学计算的数学工具数值计算方法已成为各高等院校数学、物理和计算机应用专业等理工科本科生的专业基础课,也是工科硕士研究生的学位必修课。n数值分析或数值计算方法主要是研究如何运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和方法.对那些在经典数学中,用解析方法在理论上已作出解的存在,但要求出他的解析解又十分困难,甚至是不可能的这类数学问题,数值解法就显得不可缺少,同时有十分有效.n计算机解决科学计算问题

2、时经历的几个过程n实际问题数学模型数值计算方法程序设计上机运行求出解n实际问题数学模型：由实际问题应用科学知识和数学理论建立数学模型的过程，是应用数学的任务。n数值计算方法程序设计计算结果：根据数学模型提出求解的数值计算方法，直到编出程序上机算出解，是计算数学的任务。n数值计算方法重点研究：求解的数值方法及与此有关的理论n包括：方法的收敛性，稳定性，误差分析，计算时间的最小（也就是计算费用）,占用内存空间少.n有的方法在理论上虽不够严格，但通过实际计算，对比分析等手段，被证明是行之有效的方法，也可以采用。因此，数值分析既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实验的高度技术性特

3、点，是一门与使用计算机密切结合的实用性很强的数学课程。1.1数学问题的数值解法例示n例1.1.1试求函数方程x=cosx在区间 内的一个根。解 )2, 0(.)2, 0(, 0sin1)(.)2, 0(0)(,02*) 1()2()0(,2, 0)(,cos)(知上述零点唯一又由内至少有一个零点在方程由零点定理知且上是连续函数在易知令xxxfxfffxfxxxf1.1数学问题的数值解法例示.4.,cos.,.*附近大致位于看出从图中可以为所求方程的解的横坐标取两曲线交点作图像可大致判定此零点位置法若用图解困难本题用解析法求解较为xxpxyxy公式有的复化被积函数择数值方法有多种，如选莱布尼兹公

4、式）由牛顿解：（）（计算定积分例SimpsonxxfhnxIdxeIdxxx2101101022114)(,21, 20arctan41arctan4|arctan41)2(14I 12. 1 . 12。行数值求解有公式进的复化法求解。仍选择数值方公式无法求解，仅可用由无原函数，因此，由于）（746855379. 0,21, 2LeibnizNewtone)(,e2141568627. 3)1 ()43(4)21(2)41(4)0(62102122IsimpsonhnxxfdxIfffffhI-x:121)0(23 .1 .12方法我们选择经典的四阶如。本题数值方法很多，解析解解得方程，令该方

5、程是解求解初值问题例KRxyyuBernoulliyyxydxdy 为步长。；这里hyxyyxfkyhthfkkyhthfkkyhthfkythfkkkkkyynnnnnnnnnn2),(,),()2,2()2,2(),()22(61342312143211现取h=0.05,其结果见下表:xnynyxnyny01.00000 1.00000 1.21.84931 1.849310.21.18322 1.18322 1.41.94396 1.943960.41.34164 1.34164 1.62.04939 2.049390.61.48324 1.48324 1.82.14476 2.1447

6、60.81.61245 1.61245 2.02.23607 2.236071.01.73205 1.73205 1.2误差概念和有效数n在任何科学计算中其解的精确性总是相对的,而误差则是绝对的.我们从下面这个例子就可以了解误差产生的原因.例1.2.1 试求摆长为L的单摆运动周期. 22sing:gl2Tdtdmlmamgfml牛顿定律的质量。如图所示：由是质点为自由落体加速度；为摆长；其中摆周期在物理学中我们知道单0,sin,0sinsin22222222dtdlglgdtdmgdtdml则有令很小时当即所以：期求解过程的误差情况现在我们来分析单摆周因此，故有解微分方程得，glTtcctct

7、c22)sin(.sincos22212121开方：舍入误差长度秒米观察误差：展式：由截断误差：点处的摩擦力忽略忽略空气阻力模型误差/,*,.4,/8 . 93.! 5! 3sinTaglorsin2o10205300lg误差的分类n模型误差模型误差 从实际问题建立的数学模型往往都忽略了许多次要的因素,因此产生的误差称为模型误差.n观测误差观测误差 一般数学问题包含若干参数,他们是通过观测得到的,受观测方式、仪器精度以及外部观测条件等多种因素，不可能获得精确值，由此而来产生的误差称为观测误差。n截断误差截断误差 在求解过程中，往往以近似替代，化繁为简，这样产生的误差称为截断误差。n舍入误差舍入

8、误差 在计算机上运算时受机器字长的限制，一般必须进行舍入，此时产生的误差称为舍入误差。误差和有效数字。的绝对误差和相对误差为近似数和称的一个近似数为准确数设定义*)0()()()(,2 . 2 . 1xxxxexexxxexxr精度的好坏更合理。衡量也称百分比误差而用相对误差。但无法衡量精度的好坏比较直观的精度高低绝对误差是做为衡量称为不足绝对误差。时当称为过剩绝对误差时当,0)(;,0)(*xxexe误差估计n由于准确值在一般情况下是未知的，因此绝对误差和相对误差常常是无法计算的，但有可能给出估计。误差界就是用于误差估计的。误差估计差界。的绝对误差界和相对误为近似数和则称满足和若有正数的一个

9、近似数是精确数设定义*r*r*| )(| )(|:,2 . 2 . 1xxxxxexxxexxrr有效数字n在工程上，误差的概念就转化为有效数字。似数。具有五位有效数字的近称则的近似数例如3.14161021.00000734. 0.14159265. 31416. 3)(1416. 3.14159265. 3*4*e在计算机中表示为：均为有效数。为有效数字，且则若设121321.,1021.,. 010nnnmnmaaaaaaaaxmfa1a2 an位有效数的近似数。的具有为则称的绝对误差满足。如果是整数且和其中有规格化形式设近似数定义nxxxxxexaaniamaaaaxxnmiinm*1

10、321*1021| )(|90 , 0,.),.,2 , 1(.0103 .2 .1n绝对误差，相对误差，有效数是度量近似数精度的常用三种。实际计算时最终结果均以有效数给出。同时也就隐含了绝对误差和相对误差界。4*10215, 1,4142. 1,2的绝对误差界则如xnmxx554*1041044142.11021|)(|rrxxe即而相对误差界估计为函数值的误差估计n引入微分符号*ln)()(xdxdxxxxxedxxxxer)()(lnln)ln(ln)ln()()()()()(,*2*1*2*1*2*1*2*1*2*1*2*1*2*1*2*1*2*1*2*121xexexdxdxxdxx

11、dxxexexedxdxxxdxxexxxxrrr，则的近似数设2*2*2*1*1*2*2*1*2*1*2*1*2*1*1*2*2*1*2*1*2*1*2*1*2*1)()()()()()()()()()()()()(xxexxexxxexexexxexexxexxexexxxxexxxxerrrrrrrr同理得故：)()()()()()()()()()()()(),(*xexfxfxfexexfxxxfxdfxfxffexfxxxfyrr或时，则误差为计算函数值则代替用近似数当设函数定的。是可以控制的，或是稳时，函数值的误差这表明当时有当若记1, 1)()()()(1, 1|,)()(|,)

12、(|*rrrrrCCxefexefeCCxfxfxCxfC为病态。称当为良态；称当。和相对意义下的条件数在绝对意义下为一般分别称)(1)(1)(,xfCxfCxfCCr例题在正根附近是病态的即正根为解得由解在正根附近的性态。讨论函数例)(1201| 12| )100(|100100,1010)(10100)(2 . 2 . 110021*xfxfxxxxfxxxfx。变化，函数值变化极大也就是自变量发生微小则取则如：取09.20)9 .99()(, 9 .99200)99()(,99*1*1*1*1fxfxfxfx多元函数误差估计)()()()(),.,(),.,()(),.,(),.,(),

13、.,(*1*1*1*21*2*121*2*1*21iniiniiiniiiinnTnTnnxexffexexfxxxfxxxfxxxffexxxxxxxxxxxfy因此绝对误差界为其绝对误差为代替用对于多元函数| )(|)()(| )(|)()()(1*1*niiriirniiriirxexfxxxffexexfxxxffe相对误差界（同理相对误差为例题。的绝对误差和相对误差面积试估计观测数据为设例SABC,)02.060(,)10.0120(,)10.0100(ABC3 .1.2oAmcmb2*57.1018002. 0cos211 . 0sin211 . 0sin21)()()()(sin

14、21mAcbAbAcAeAScecSbebSSeAbcS则由解253*33*10211021| )(|10010. 01010.100:10035. 2sin2157.10|)(| )(|bebAcbsseser则对误差界。如出，则知道绝若数据以规格化形式给注意1.3算法的优化n算法优劣的标准n从截断误差观点看,算法必须是截断误差小,收敛敛速要快。即运算量小,机器用时少.n从舍入误差观点看,舍入误差在计算过程中要能控制,即算法的数值要稳定.n从实现算法的观点看,算法的逻辑结构不宜太复杂，便于程序编制和上机实现.n设计算法时应遵循的原则n要有数值要稳定性,即能控制误差的传播.n避免大数吃小数,即

15、两数相加时,防止较小的数加不到较大的数上.n避免两相近的数相减,以免有效数字的大量丢失.n避免分母很小(或乘法因子很大),以免产生溢出.例题.1)1(.312112ln1.)1(.32)1ln(解2ln例1.3.11132nxnxxxxxTaylornnn有令展式有算法一：由的值。计算慢。显然项数大，收敛速度时，则若要收敛。所以且由级数判别，交错级数55102102111|2ln0limnnann得：并取则令则而由于算法二1031211.)12.531(211ln)1ln()1ln(.)1(.32)1ln(.32)1ln(:24213232nxxxnxxxxxxxxnxxxxxnxxxxxnn

16、nn差距很大。，计算精度及速度两种算法，同样计算其截断误差为2ln109123112191119123132.)9125191231(32)31(211.3151311 (322ln12101112112042T。则时同理若要算法一：由定积分解的值。计算圆周率例55110210,1021121|.121)1(.513111142 .3 .1nnndxxn141568627. 34785392156. 0)1 ()43(4)21(4)0(611)(,2122*22SffffhSsimpsonxxfhn所以公式有的，算法二：取算法二表明,仅用不多的五次函数值的计算,已获得的具有五位有效数字的近似值

17、。,.2 , 11|555,.)1 , 0(5例1.3.310101101110nnnxdxxdxxxxIIndxxxInnnnnnnn解：由于计算定积分计算如下：得递推公式18232155. 056ln,.2 , 15101InInInnn InnIn0 0.1823215590.0170566241 0.088392216100.0147168762 0.058039818110.0173247103 0.04313874212-0.0032902194 0.03430628713-0.0933741725 0.02846856014-0.3954422906 0.024323864152

18、.0438781007 0.02123782016-10.156890008 0.0188108971750.84327600错。的绝对值越大，显然出越大，且时从表中看到，当。且即，所以由于nnnnnnInInIIdxxxxxx0120lim, 10150) 1 , 0(1501041)5(.)(5,.2 , 151518232155. 0?0*11*1*000*0nnnnnnnIIIInIIIII则，存在误差错在，错在何处算法正确，程序也正确算失真。致计在计算过程中传播而导的误差由于初值在计算机上计算时的算法上成立显然算法不稳定。理论,n显然算法不稳定，理论上成立的算法，在计算机上机算时，由于初值的误差在计算过程中的传播，而导致结果的失真，这是我们数值计算方法所要研究的。