第2章 特殊三角形 课件4(数学浙教版八年级上册)
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1、 等腰三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定 1.性质性质(1)：等腰三角形的两个底角相等。：等腰三角形的两个底角相等。(2)：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。底边上的高互相重合。2.判定判定定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。形。等腰三角形: 1 , 三个角都相等的三角形是等边三角形。 2 , 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。 3 , 在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等
2、于斜边的一半v等腰三角形性质与判定的应用（1）计算角的度数利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理及推论计算角的度数，是等腰三角形性质的重要应用。已知角的度数，求其它角的度数已知条件中有较多的等腰三角形（此时往往设法用未知数表示图中的角，从中得到含这些未知数的方程或方程组）（2）证明线段或角相等v以等腰三角形为条件时的常用辅助线:v如图：若AB=ACv作ADBC于D，必有结论:1=2，BD=DCv若BD=DC，连结AD，必有结论：1=2，ADBCv作AD平分BAC必有结论：ADBC，BD=DCv作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作ADBC，使1=
3、2.ABCD1 2v例1 已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形。分析分析：我们首先在草稿上画好一个示意图，然后对照此图写出已知和求作并构思整个作图过程已知：线段a、h求作：ABC，使AB=AC=a，高AD=h作法：1、作PQMN，垂足为D2、在DM上截取DA=h3、以点A为圆心，以a为半径作弧，交PQ于点B、C4、连结AB、AC则ABC为所求的三角形。ABCDahABCDMNhaPQ例2.如图，已知在ABC中，AB=AC，BDAC于D，CEAB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。v证明：AB=ACvABC=ACB（等边对等角）vBDAC于D，CEAB于EvBEC=CDB=90v1+A
4、CB=90，2+ABC=90（直角三角形两个锐角互余）v1=2（等角的余角相等）vBM=CM（等角对等边）ABCD12EM说明：本题易习惯性地用全等来证明，虽然也可以证明，但过程较复杂，应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。例3.已知：如图，A=90，B=15，BD=DC.请说明AC=BD的理由.v解BD=DC，B=15vDCB=B=15（等角对等边）vADC=B+DCB=30v（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）vA=90vAC= DCvAC= BD2121ABCD例4.已知：如图，C=90，BC=AC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点.求证：MDE是等腰
5、三角形.v分析分析：要证MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连结CM，可利用BMD CME得到结果。证明：连结CMC=90，BC=ACA=B=45M是AB的中点CM平分BCA（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合）MCE=MCB=BCA=45B=MCE=MCBCM=MB（等角对等边）在BDE和CEM中BDM CEM（SAS）MD=MEMDE是等腰三角形CMBMMCEBCEBDABCDEM例5.如图，在等边ABC中,AF=BD=CE,请说明DEF也是等边三角形的理由.v解：ABC是等边三角形vAC=BC，A=CvCE=BDvBCBC=ACCEvCD=AEv在AEF和CDE中vAEF CDE
6、（SAS）vEF=DEv同理可证EF=DFvEF=DE=DFvDEF是等边三角形CEAFCACDAEABCDEF说明：证明等边三角形有三种思路：证明三边相等证明三角相等证明三角形是有一个角为60的等腰三角形。具体问题中可利用不同的方式进行求解。例6 .如图2-8-1,中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，且BD=CE，DE交BC于G请说明DG=EG的理由.v思路思路 因为GDB和GEC不全等，所以考虑在GDB内作出一个与GEC全等的三角形。说明说明 本题易明显得出DG和EG所在的DBG和ECG不全等，故要构造三角形的全等，本题的另一种证法是过E作EFBD，交BC的延长线于F，证
7、明DBG EFG，同学们不妨试一试。例7. 如图2-8-6，在ABC中，AB=AC=CB，AE=CD， AD、BE相交于P，BQAD于Q. 请说明BP=2PQ的理由.v思路思路 在RtBPQ中，本题的结论等价于证明PBQ=30 证明证明 AB=CA，BAE=ACD=60，AE=CD，BAE ACDABE=CADBPQ=ABE+BAP=CAD+BAP=60又BQADPBQ=30BP=2PQ说明说明 本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这种转换问题的方法值得同学们细心体会。例例8：如图、在如图、在ABC中，中，D，E在在直线直线BC上，且上，且AB=BC=AC=CE=BD，求求EAC的度数
