环境水利学第4章剪切流动的分散(6)

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1、第四章第四章 剪切流动的分散剪切流动的分散 在第三章中，当求随流扩散方程和随流紊动扩散方程的解在第三章中，当求随流扩散方程和随流紊动扩散方程的解析解时，为了能容易得解答，都假定析解时，为了能容易得解答，都假定时均流速是均匀分布时均流速是均匀分布的。的。 然而，在实际的水流中，由于固体边界的滞水作用，导致然而，在实际的水流中，由于固体边界的滞水作用，导致时均流速不均匀，从而有流速梯度的剪切力。时均流速不均匀，从而有流速梯度的剪切力。 v 剪切流动：具有流速梯度的流动。剪切流动：具有流速梯度的流动。v 分散：由于剪切流动中时均流速分布不均匀而导致的分散：由于剪切流动中时均流速分布不均匀而导致的随流

2、扩散，也称为离散或弥散（随流扩散，也称为离散或弥散（DispersionDispersion）。）。 v 由于分散只是一种特殊情况的随流扩散，所以在原则上由于分散只是一种特殊情况的随流扩散，所以在原则上可以通过随流扩散方程或随流紊动扩散方程求解。前人可以通过随流扩散方程或随流紊动扩散方程求解。前人在这方面已做过许多研究，但只有一些简单的情况才能在这方面已做过许多研究，但只有一些简单的情况才能得到解析解。得到解析解。v 人们为了简化问题，常将三维剪切流动简化为一维流动人们为了简化问题，常将三维剪切流动简化为一维流动或二维流动，分别使用假想的断面平均值和垂线平均值或二维流动，分别使用假想的断面平均

3、值和垂线平均值来表达一维和二维状况，对其中由于时均流速不均匀所来表达一维和二维状况，对其中由于时均流速不均匀所产生的分散则采用经验方法进行处，从而建立以断面平产生的分散则采用经验方法进行处，从而建立以断面平均值表达的一维扩散方程或以垂直平均值表达的二维扩均值表达的一维扩散方程或以垂直平均值表达的二维扩散方程，达到易于求解析解和数值解的目的。散方程，达到易于求解析解和数值解的目的。 v 在绝大多数剪切紊流中，流场中任意点的时均流速比脉动在绝大多数剪切紊流中，流场中任意点的时均流速比脉动流速绝对值至少大一个数量级。因此，剪切分散远大于紊流速绝对值至少大一个数量级。因此，剪切分散远大于紊流扩散。流扩

4、散。第一节第一节 一维纵向剪切流的分散一维纵向剪切流的分散 图图4-1 4-1 一维纵向分散一维纵向分散 应用应用物质守恒定律物质守恒定律来建立一维纵向分散方程。来建立一维纵向分散方程。 在图在图4-1所示的一维流动中取一微分流段所示的一维流动中取一微分流段 dx 进行分析，进行分析，设过水断面的面积为设过水断面的面积为A， u 和和 c分布为断面上任一点的瞬时分布为断面上任一点的瞬时流速和瞬时浓度。流速和瞬时浓度。在在dt 时段内流入与流出该微分流段的污染物质质量之差为：时段内流入与流出该微分流段的污染物质质量之差为： 图图4-1 4-1 一维纵向分散一维纵向分散dAdxdtucxdtdAd

5、xucxdAucdAdtucAAAA )( 在单位时间内通过过水断面在单位时间内通过过水断面x的单位面积的污染物质质的单位面积的污染物质质量的时均值为：量的时均值为：uc 在单位时间内通过过水断面（在单位时间内通过过水断面（x +dx）的单位面积的污）的单位面积的污染物质质量的时均值为：染物质质量的时均值为：dxucxuc)( 如果所考虑的污染物质是示踪物质，在如果所考虑的污染物质是示踪物质，在dt时段内上述的质时段内上述的质量差值应与微分流段内示踪物质的增量相等，即：量差值应与微分流段内示踪物质的增量相等，即：式中：式中：C Ca a为断面平均浓度。为断面平均浓度。dtAdxCtdAdxdt

6、ucxaA)( dAucxtACAa )( 4-1-1 )图图4-1 4-1 一维纵向分散一维纵向分散上式可简化为：上式可简化为：uuVuuub ccCcccba 对于对于紊流紊流： 任一点的瞬时流速任一点的瞬时流速 u 可表达为：可表达为：式中式中: V为断面平均流速，为断面平均流速， 为脉动流速；为脉动流速； ub为某点时均流速与断面平均流速的差值（简称为某点时均流速与断面平均流速的差值（简称偏离流偏离流速速），即），即 ； Ca为断面平均浓度，为断面平均浓度， 为脉动浓度；为脉动浓度； cb为某点时均浓度与断面平均浓度的差值（简称为某点时均浓度与断面平均浓度的差值（简称偏离浓偏离浓度度）

7、，即），即 。c uVuub abCcc ( 4-1-2 )( 4-1-3 )b图图4-2 4-2 紊流流速分布紊流流速分布 瞬时浓度瞬时浓度c 可表达为：可表达为：cucCuVccCuuVucbabbab )()(uc便有便有u = c =ub=cb=0 ，以及：，以及： ( 4-1-4 )( 4-1-5 )(1cucuVCcucCuVdAucAbbababA AdA)(A1dAucxtACAa )(代入代入uuVuuub ccCcccba 再将再将 对断面对断面A平均，并以符号平均，并以符号表示取断面平均值，即：表示取断面平均值，即：uc )()(cucuAAVCxtACbbaa )()(

8、cucuAxxCAVxAVCtACtCAbbaaaa 得：得：将上式展开有：将上式展开有：( 4-1-6 )xAVtA )(根据一维非恒定流连续方程：根据一维非恒定流连续方程：( 4-1-7 )(1cucuAxAxCVtCbbaa 0)(1cucuAxAxCVtCbbaa ( 4-1-8 )为了使方程中只包含一个未知函数为了使方程中只包含一个未知函数Ca，需要对这两项采用经，需要对这两项采用经验模式进行处理。验模式进行处理。由于时均流速和时均由于时均流速和时均浓度在断面上分布不浓度在断面上分布不均匀而导致的分散均匀而导致的分散由于紊流的脉动由于紊流的脉动而导致的扩散而导致的扩散xCKcualb

9、b 参照紊动扩散的模式，可令：参照紊动扩散的模式，可令： 式中：式中：Ex为纵向为纵向紊动扩散系数紊动扩散系数。式中：式中： Kl 为纵向为纵向剪切分散系数剪切分散系数。xCEcuax ( 4-1-9 )( 4-1-10 )参照上式，也可令：参照上式，也可令：)(1cucuAxAxCVtCbbaa 将将Ex和和Kl 合并为一个系数合并为一个系数K ，因为，因为Ex值远小于值远小于Kl，便有：，便有：式中：式中：K称为综合扩散系数，但更多的仍然称为纵向分散系数。称为综合扩散系数，但更多的仍然称为纵向分散系数。llxKKEK xCKEAxAxCVtCalxaa1将式将式(4-1-9)(4-1-9)

10、和式和式(4-1-10)(4-1-10)代入式代入式(4-1-8)(4-1-8)，得：，得：( 4-1-11 )一维纵向分散方程一维纵向分散方程l除没有脉动值之外，其他分析方法均与上述相同；除没有脉动值之外，其他分析方法均与上述相同；lEx 应改换为分子扩散系数应改换为分子扩散系数D D，有：，有：K=D+KlKl；l式式(4-1-12)(4-1-12)和式和式(4-1-13)(4-1-13)仍然适用。仍然适用。)(1xCAKxAxCVtCaaa 22xCKxCVtCaaa 当过水断面为当过水断面为常数（均匀流），常数（均匀流），上式简化为：上式简化为：式式(4-1-11)(4-1-11)可写

11、为：可写为：( 4-1-12 )( 4-1-13)一维纵向分散方程的常用形式一维纵向分散方程的常用形式对于层流：对于层流：一维纵向分散方程一维纵向分散方程与一维随流扩散方程在数学形式上是相与一维随流扩散方程在数学形式上是相同的，所以一维随流扩散方程的解析解可用于一维纵向分同的，所以一维随流扩散方程的解析解可用于一维纵向分散方程，散方程，关键是如何确定纵向分散系数关键是如何确定纵向分散系数K K值值 。一维纵向分散方程一维纵向分散方程22xCKxCVtCaaa 一维随流扩散方程一维随流扩散方程22xcDxcutc AbbadAcuxCAK/1由于纵向分散作用，在单位时间内通过过水断面积由于纵向分