数学建模插值法与曲线拟合讲课

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1、 插值与曲线拟合插值与曲线拟合-5-4-3-2-1012345-0.500.511.52一、问题的提出 在生产和实验中，关于函数f(x)，经常存在两种情况：（1）其表达式不便于计算；（2）无表达式. 而只有函数在给定点的函数值，怎样预测其它点的函数值？xx0 x1x2xnyy0y1y2yn飞机机翼制造 下表给出的下表给出的x x、y y数据位于机翼端面的轮廓线上，数据位于机翼端面的轮廓线上，Y1Y1和和Y2Y2分分别对应轮廓的上下线。假设需要得到别对应轮廓的上下线。假设需要得到x x坐标每改变坐标每改变0.10.1时的时的y y坐标，试完成加工所需数据，画出曲线坐标，试完成加工所需数据，画出曲

2、线. .x035791112131415Y101.82.22.73.03.12.92.52.01.6Y201.21.72.02.02.01.81.21.01.6山体地貌n要在某山区方圆大约27平方公里范围内修建一条公路，从山脚出发经过一个居民区，再到达一个矿区。横向纵向分别每隔400米测量一次，得到一些地点的高程： 山区地貌：山区地貌： 在某山区测得一些地点的高程如下表。平面区域为在某山区测得一些地点的高程如下表。平面区域为 1200=x=4000,1200=y=3600) 试作出该山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。试作出该山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。 X

3、 Y 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000 1200 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700 1600 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850 2000 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 2400 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 2800 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 3200 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600

4、1550 3600 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 试做出该山区的地貌图.船在该海域会搁浅吗？船在该海域会搁浅吗？-作业作业 在某海域测得一些点(x,y)处的水深z由下表给出，船的吃水深度为5英尺，在矩形区域（75，200）*（-50，150）里的哪些地方船要避免进入.xyz129 140 103.5 88 185.5 195 1057.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.54 8 6 8 6 8 8xyz157.5 107.5 77 81 162 162 117.5-6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5

5、9 9 8 8 9 4 9水深和流速的问题 在水文数据测量中，不同水深的流速是不同的. 水文数据的测量时天天进行的，为了减少测量的工作，希望得到确定的水深和水流之间的关系. 为此测量了一系列不同水深和流速值. 下表给出了对某河流的测量数据，其中水深和流速根据适当的单位进行了规范化，共10个值.2.983.063.133.203.193.233.253.263.223.19流速0.90.80.70.60.50.40.30.20.10水深美国人口问题n据美国人口普查局数据： 从1790每隔10年至2000年的总人口（单位：百万）如下示n t = 1790:10:2000; np = 3.9, 5.

6、3 , 7.2 , 9.6 , 12.9 , 17.1 , 23.1 , 31.4 , 38.6 , 50.2 , 62.9 , 76 , 92 , 105.7 , 122.8 , 131.7 , 150.7 , 179 , 205 , 226.5 , 251.4 , 281.422; n预测2001，2002年的美国人口数？并与调查数据285.318，288.369比较，选择拟合较好的模型。农作物施肥效果分析1992年A题 在农业生产试验研究中，对某地区土豆的产量与化肥的关系做了一实验，得到了氮肥、磷肥的施肥量与土豆产量的对应关系如下表： 1.根据上表数据分别给出土豆产量与氮、磷肥的关系式。

7、 2.施肥问题优化策略氮肥量（公斤/公顷）03467101135202259336404471土豆产量（公斤）15.1821.3625.7232.293439.4543.1543.4640.8330.75磷肥量（公斤/公顷）024497398147196245294342土豆产量（公斤）33.4632.4736.0637.964140.141。342.240.442.7配药方案-作业 一种新药用于临床之前, 必须设计给药方案. 在快速静脉注射的给药方式下, 所谓给药方案是指, 每次注射剂量多大, 间隔时间多长. 药物进入机体后随血液输送到全身, 在这个过程中不断地被吸收, 分布, 代谢, 最终

8、排出体外. 药物在血液中的浓度, 即单位体积血液中的药物含量, 称血药浓度. 在最简单的一室模型中, 将整个机体看作一个房室, 称中心室, 室内的血药浓度是均匀的. 快速静脉注射后, 浓度立即上升; 然后逐渐下降. 当浓度太低时, 达不到预期的治疗效果; 血药浓度太高, 又可能导致药物中毒或副作用太强. 临床上, 每种药物有一个最小有效浓度 c1 和一个最大治疗浓度 c2. 设计给药方案时, 要使血药浓度保持在 c1-c2 之间. 设本题所研究药物的最小有效浓度c1=10, 最大治疗浓度 c2=25( ). /g ml 显然, 要设计给药方案, 必须知道给药后血药浓度随时间变化的规律. 为此,

9、 从实验和理论两方面着手. 在实验方面, 对某人用快速静脉注射方式一次注入该药物300mg后, 在一定时刻 t (小时)采集血样, 测得血药浓度c. 如表: 血药浓度c(t) 的测试数据 t0.250.511.523468c19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01问题问题 ：1. 1. 在快速静脉注射的给药方式下，研究血药浓度（单位体积血液中的药物含在快速静脉注射的给药方式下，研究血药浓度（单位体积血液中的药物含量）的变化规律；量）的变化规律；2. 2. 给定药物的最小有效浓度和最大治疗浓度，设计给药方案：每次注射剂量给定药物的最小有效浓度和最大治疗浓

10、度，设计给药方案：每次注射剂量多大；间隔时间多长？多大；间隔时间多长？配药方案二、问题的解决（1）插值法；（2）曲线拟合法 1、问题的抽象、问题的抽象xx1x2xmyy1y2ym构造一个构造一个简单易于计算简单易于计算的近似函数的近似函数 p(x) f (x) （精确函数）。（精确函数）。2、构造近似函数，、构造近似函数， p(x) 的方法有两种：的方法有两种：在实验中经常给出一组离散点，在实验中经常给出一组离散点，插值法定义：定义：当精确函数当精确函数 y = f(x) 非常复杂非常复杂或或未知时未知时，在一系列节点，在一系列节点 x0 xn 处测得函数值处测得函数值 y0 = f(x0),

11、 ，yn = f(xn)，由此构造一个由此构造一个简单易算简单易算的近似函数的近似函数 p(x) f(x)，满足条件，满足条件p(xi) = f(xi) (i = 0, n)，（插值条件），（插值条件）这里的这里的 p(x) 称为称为f(x) 的的插值函数；插值函数； 构造插值函数的方法为构造插值函数的方法为插值法插值法。曲线拟合 但是不要求使但是不要求使 p(xi) = yi ,而只要而只要 p(xi) yi 总体上总体上尽可能小。这种构尽可能小。这种构造近似函数造近似函数p(x) 的方法称为的方法称为曲线拟合法曲线拟合法， p(x) 称为称为拟合函数。拟合函数。定义：定义： 当精确函数当精