第11章压杆的稳定性

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1、# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 第第 11 章章 压杆的稳定性压杆的稳定性11-1 关于稳定性的概念关于稳定性的概念11-2 细长中心压杆的临界荷载细长中心压杆的临界荷载11-4 压杆的稳定条件和稳定性计算压杆的稳定条件和稳定性计算11-3 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围临界应力总图临界应力总图# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 实际压杆存在的情况：实际压杆存在的情况：(1) 本身不可能绝对地直；本身不可能绝对地直； (2) 材质不可能绝对地均匀；材质不可能绝对地均匀； (

2、3) 轴向压力也会有偶然偏心。轴向压力也会有偶然偏心。F11-1 关于稳定性的概念关于稳定性的概念 压杆是在压缩与弯曲组合变形的压杆是在压缩与弯曲组合变形的状态下工作的。状态下工作的。# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 杆的横截面上的弯矩与杆杆的横截面上的弯矩与杆的弯曲变形程度有关，所以即的弯曲变形程度有关，所以即使在线弹性范围内工作，挠度使在线弹性范围内工作，挠度也不与荷载成线性关系，挠度也不与荷载成线性关系，挠度的增长要比荷载增长来得快。的增长要比荷载增长来得快。 细长压杆细长压杆 始终在线弹性范始终在线弹性范围内工作，当围内工作，当

3、F= Fu时，它便因时，它便因挠度迅速增长而丧失继续承受挠度迅速增长而丧失继续承受荷载的能力。荷载的能力。 # 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 中等长度压杆中等长度压杆 当挠度增大当挠度增大到一定值时，杆便在弯压组合到一定值时，杆便在弯压组合作用下因强度不足而丧失承载作用下因强度不足而丧失承载能力。能力。 求压杆的承载力求压杆的承载力Fu，可采，可采用两种不同的计算图式：用两种不同的计算图式：(1) 把实际的压杆看作是荷载把实际的压杆看作是荷载F有偶然偏心等的小刚度杆有偶然偏心等的小刚度杆(2) 把实际的压杆看作是理想的把实际的压杆看作是

4、理想的中心压杆。中心压杆。# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 取第一种计算图式，则得弯取第一种计算图式，则得弯矩方程为：矩方程为：M(x)=F(d d + +e-n n)代入挠曲线近似微分方程，利用代入挠曲线近似微分方程，利用边界条件得到：边界条件得到：)1/(sec lEIFezd d如图所示。如图所示。 无论初始偏心距无论初始偏心距e的大小如的大小如何变化，当何变化，当Fp p2EIz /(2l)2 时时d d 迅速增长，从而有极限荷载迅速增长，从而有极限荷载 # 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳

5、定性压杆的稳定性 22u)2(lEIFz 根据上图所示偏心距根据上图所示偏心距e为不同为不同值时的值时的F d d 图线可以推想：图线可以推想： 若将实际压杆看作初始偏若将实际压杆看作初始偏心距心距e为零的理想中心压杆，为零的理想中心压杆，则其则其Fd d关系应如下图关系应如下图(a)、(b)所示。所示。 FFuOAB(b) Fd d 关系关系 当当FFu时杆的直线状态的时杆的直线状态的平衡是稳定的（不可能弯曲）；平衡是稳定的（不可能弯曲）； ylFcrFx(a) 理想中心压杆理想中心压杆 O# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 FFuOA

6、B(b) F-d d 关系关系 当当F = Fu 时杆的直线状态的时杆的直线状态的平衡是不稳定的，如果稍受干扰平衡是不稳定的，如果稍受干扰杆便将在任意微弯状态下保持平杆便将在任意微弯状态下保持平衡。衡。 由上述分析可见，由上述分析可见，F达到达到Fu，杆便会失去原有直线状态平衡的稳杆便会失去原有直线状态平衡的稳定性定性失稳。失稳。 把理想中心压杆从直线状态的稳定平衡过渡到把理想中心压杆从直线状态的稳定平衡过渡到不稳定平衡的那个荷载值称之为临界荷载不稳定平衡的那个荷载值称之为临界荷载Fcr（能保（能保持微弯状态的荷载值）。持微弯状态的荷载值）。对于细长压杆：对于细长压杆：Fcr=Fu# 工程力学

7、教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 注意：注意： 如果在理论分析中有若干个荷载值均能满如果在理论分析中有若干个荷载值均能满足杆保持微弯状态的条件，那么有实际意义的足杆保持微弯状态的条件，那么有实际意义的应该是其中的最小值。应该是其中的最小值。# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 11-2 细长中心压杆的临界荷载细长中心压杆的临界荷载 理想中心压杆的临界荷载理想中心压杆的临界荷载Fcr即为杆能保持微即为杆能保持微弯状态的荷载值。弯状态的荷载值。 在理论分析中首先找出每一具体情况下杆的在理论分析中首先

8、找出每一具体情况下杆的挠曲线方程，而方程成立时的荷载就是所求的临挠曲线方程，而方程成立时的荷载就是所求的临界荷载。界荷载。# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 考虑下图细长压杆考虑下图细长压杆 在线弹性、小变形情况下，且在线弹性、小变形情况下，且不考虑剪切对于变形的影响，不考虑剪切对于变形的影响，则其挠曲线近似微分方程为则其挠曲线近似微分方程为yz)()(crwFxM d d)()(crwFxMwEIz d d则有则有令令,2crkEIFz d d22kwkw + + d dzzEIFwEIFwcrcr + + 得得ylFcrx wxo#

9、工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 得挠曲线方程得挠曲线方程w= A sin kx + B cos kx + d d由边界条件由边界条件得得A=0 ，B= d d则则w =d d ( 1-cos kx ) x=0, w = 0 x=0, w = 0 显然，当方程成立时应有显然，当方程成立时应有d d lxwylFcrx wxo# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 即即d d =d d ( 1-cos kl ) 得得cos kl = 0要满足上面的方程，则要满足上面的方程，则kl =p p/

10、2, 3p p/2, 5p p/2, 取其最小值取其最小值 kl =p p/2，代入，代入 k的表达式，得该压杆的的表达式，得该压杆的临界临界荷载荷载22cr)2(lEIFz式中式中Iz是杆在是杆在Fcr作用下微弯时横截面对于中性轴作用下微弯时横截面对于中性轴z的的惯性矩惯性矩。ylFcrx wxo# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 若截面是下面这种形式，则若截面是下面这种形式，则22cr)2(lEIFyy zylFcrx vxo# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 下图为一下端固定、

11、上端铰支、下图为一下端固定、上端铰支、长度为长度为l 的等截面中心受压直杆，杆横截面对的等截面中心受压直杆，杆横截面对 z 轴轴的惯性矩为的惯性矩为I。试推导其临界力。试推导其临界力Fcr的公式，并求出的公式，并求出压杆的挠曲线方程。压杆的挠曲线方程。 l AByx Fcr例题例题 11-1# 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案 第第11 11章章 压杆的稳定性压杆的稳定性 解：解： 在临界力在临界力Fcr作用下，根据此压杆支承处的作用下，根据此压杆支承处的约束情况，有约束情况，有 ABFSFSFcrFcrMel-xxl AByx Fcr例题例题 11-1# 工程力学教程电子教案工程力学