第3章_电阻电路的一般分析.

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1、1第三章电阻电路的一般分析2故事故事故事故事18世纪，在东普鲁士的哥尼斯堡。世纪，在东普鲁士的哥尼斯堡。 人们长期议论：能否从任一块陆地出发，走遍七桥而且每人们长期议论：能否从任一块陆地出发，走遍七桥而且每桥只走一次？桥只走一次？这就是数学界的著名的这就是数学界的著名的一、七桥难题：一、七桥难题：CDBA3 1736年，瑞士数学家欧拉针对这个问题发表了年，瑞士数学家欧拉针对这个问题发表了依椐几何位依椐几何位置的解题方法置的解题方法。一笔画问题一笔画问题欧拉提出要实现一笔画的三条通用的判定规则：欧拉提出要实现一笔画的三条通用的判定规则：图必须都是连通的；图必须都是连通的；每个顶点所关联的边都要为

2、偶数；这时才能回到原来的出发点；每个顶点所关联的边都要为偶数；这时才能回到原来的出发点；若其中仅有两个顶点的相关边是奇数，则必须从一顶点出发，若其中仅有两个顶点的相关边是奇数，则必须从一顶点出发，经过所有的边以后而达到另一个顶点。经过所有的边以后而达到另一个顶点。一、七桥难题：一、七桥难题：DABC4二、环球旅行：二、环球旅行：三、平面图和非平面图的问题：三、平面图和非平面图的问题： 1857年英国数学家哈密顿年英国数学家哈密顿发明了一种称之为发明了一种称之为 20 的环球旅的环球旅行的游戏。行的游戏。哈密顿圈：哈密顿圈：寻求一个回路，必寻求一个回路，必须经过每个顶点且只经过一次，须经过每个顶

3、点且只经过一次，而边的次数不限，也可以不经而边的次数不限，也可以不经过边。过边。欧拉路：欧拉路：寻求一条路径，必须经过寻求一条路径，必须经过图中的每一条边且只经过一次，而图中的每一条边且只经过一次，而顶点经过的次数不限。顶点经过的次数不限。五个王子的故事。五个王子的故事。5四、四色定理：四、四色定理：1852年，英国哥斯尼提出用四种颜色对地图着色的问题。年，英国哥斯尼提出用四种颜色对地图着色的问题。 1878年，英国数学家凯莱在伦敦的一次国际数学会议上提出四色问题是否年，英国数学家凯莱在伦敦的一次国际数学会议上提出四色问题是否可以证明，才引起世人的关注。可以证明，才引起世人的关注。 化为图形问

4、题就是国家为顶点，相邻则有边相连接，要证明只需四种颜化为图形问题就是国家为顶点，相邻则有边相连接，要证明只需四种颜色，就可使相邻顶点具有不同的颜色。色，就可使相邻顶点具有不同的颜色。 1890年，赫伍德证到五种颜色。年，赫伍德证到五种颜色。 1969年，有人在有年，有人在有40多个国家的地图上证明了四色问题。多个国家的地图上证明了四色问题。 1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在年，美国数学家阿佩尔与哈肯在3台不同的电子计算机上，用了台不同的电子计算机上，用了1200小时（小时（50昼夜），宣布证明了四色问题，从此，称之为四色定理。昼夜），宣布证明了四色问题，从此，称之为四色定理。 上面我们讨论

5、的是一个上面我们讨论的是一个古老的古老的、重要的重要的、又是在近又是在近30年来发展十分活年来发展十分活跃的跃的一个数学分支一个数学分支 图论图论。 图论是研究运动图形的不变的规律的数学。一维图论称为拓扑学。图论是研究运动图形的不变的规律的数学。一维图论称为拓扑学。63-1 电路的拓扑图电路的拓扑图+_uS1iS2R1R6R5R4R3R23-1 电路的拓扑图电路的拓扑图一、拓扑图：一、拓扑图：1、图、图G：2、子图、子图G1：很多个结点（顶点）、支路（线段）的集合。很多个结点（顶点）、支路（线段）的集合。 每条支路的两端都联到相应的结点上，结点和支路各自成一每条支路的两端都联到相应的结点上，结

6、点和支路各自成一个整体，任一条支路必须终止在结点，但允许独立的结点存在。个整体，任一条支路必须终止在结点，但允许独立的结点存在。支路或结点数少于图支路或结点数少于图G的图。的图。3、连通图：、连通图： 图图G的任意两个结点之间至少有一条路径相通。的任意两个结点之间至少有一条路径相通。4、有向图：、有向图： 所有的支路都有方向的图。所有的支路都有方向的图。 每条支路都可指定一个每条支路都可指定一个方向，即为支路电流和支路电压的参考方向。方向，即为支路电流和支路电压的参考方向。78765432187657542876528526531二、树：二、树：1、树的定义：、树的定义： 一个连通图的树，具备

7、三要素：一个连通图的树，具备三要素：树为连通图；树为连通图；包含原图的所有结点；包含原图的所有结点；树本身不构成回路。树本身不构成回路。82、树支和连支：、树支和连支：树支：树支：树中包含的支路；树中包含的支路；连支：连支：除树支以外的其它支路称为对应于该树的连支。除树支以外的其它支路称为对应于该树的连支。3、树支数和连支数：、树支数和连支数：结点数：结点数：n 个；个；支路数：支路数：b 条。条。树支数树支数： n-1; 连支数：连支数：b-(n-1)。n=2n=3n=4树支数：树支数：1树支数：树支数：2树支数：树支数：393-2 KL的独立方程数的独立方程数3-2 KL的独立方程数的独立

8、方程数654321一、一、KCL的独立方程数：的独立方程数：对结点对结点1，列，列KCL方程（令流出为正）方程（令流出为正）结点结点2，结点结点3，结点结点4，此电路可列且只可列此电路可列且只可列 (4-1)个彼此独立的个彼此独立的KCL方程。方程。而电路有而电路有(4-1)个个独立结点独立结点。结论：结论：四个方程有且仅有任意三个独立。四个方程有且仅有任意三个独立。 推广推广，有，有 n 个结点的电路可列且仅可列出个结点的电路可列且仅可列出 n-1 个独个独立结点方程。立结点方程。i1-i4-i6=0-i1-i2+i3=0i2+i5+i6=0-i3+i4-i5=0i3-i4+i5=010 把

9、两个小把两个小回路组合起来构成了另一个回路时，这两回路组合起来构成了另一个回路时，这两个小回路的公有支路不论方向如何，均在对应的个小回路的公有支路不论方向如何，均在对应的KVL方程方程中会抵消，而不出现在较大回路所对应的中会抵消，而不出现在较大回路所对应的KVL方程中，所方程中，所以三个回路彼此并不是独立的。以三个回路彼此并不是独立的。 要找出独立回路，对于复杂电路是件困难的事，必须要找出独立回路，对于复杂电路是件困难的事，必须引出图论中引出图论中树树的概念。的概念。二、二、KVL的独立方程数：的独立方程数：1、回路：、回路：2、独立回路：、独立回路：116543216543216545315

10、4213、基本回路（单连支回路）：、基本回路（单连支回路）：a、单连支、单连支 + 一些树支可构成回路；一些树支可构成回路；b、单连支回路必然独立，称为、单连支回路必然独立，称为基本回路基本回路。4、 KVL的独立方程数：的独立方程数：b-(n-1)5、平面图、非平面图、网孔：、平面图、非平面图、网孔： 网孔就是图的自然孔即它限定的区域内没有支路。平网孔就是图的自然孔即它限定的区域内没有支路。平面图的所有网孔构成一组独立回路。面图的所有网孔构成一组独立回路。 网孔数网孔数 = 独立回路数。独立回路数。12习题：习题： 3-1、 3-3、 3-6。133-3 支路电流法支路电流法3-3 支路电流

11、法支路电流法_+R6R5R4R3R2R1us1is5i1i2i3i4i6i5is5R5+_iR5u5i5+_us1R1+_u1i1654312 所谓所谓支路法支路法是以支路电流和是以支路电流和/或支路电压为电路变量列写或支路电压为电路变量列写KL方程的解题方法。方程的解题方法。一、支路电流法：一、支路电流法：1、电路变量：、电路变量：支路电流：支路电流： b个个2、方程个数：、方程个数：KCL n-1个个KVLVCRb-(n-1)个个143、步骤：、步骤：is5作拓扑图：作拓扑图：结点、支路、参考方向结点、支路、参考方向_+R6R5R4R3R2R1us1i1i2i3i4i6i5按按KCL，列，