第3章 测试结果及误差分析

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1、南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院南京理工大学机械工程学院机械电子工程系南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院第六章、测试结果及误差分析第六章、测试结果及误差分析本章学习要求：本章学习要求：1.1.掌握误差的传递公式掌握误差的传递公式2.2.掌握标准不确定度的掌握标准不确定度的A A类评定方法类评定方法3.3.掌握标准不确定度的掌握标准不确定度的B B类评定方法类评定方法4.4.扩展不确定度的评定及报告形式扩展不确定度的评定及报告形式 5.5.合成标准不确定度的计算合成标准不确定度的计算工程测试技术工程测试技术南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院6.1 6.1 概述概述测试工作的最

2、终目的测试工作的最终目的 通过测试数据认识事物内在规律，研究事物通过测试数据认识事物内在规律，研究事物相互关系和预测事物发展趋势的重要依据相互关系和预测事物发展趋势的重要依据, ,并在此并在此基础上对已获得的数据进行科学的处理，才能去基础上对已获得的数据进行科学的处理，才能去粗取精、去伪存真、由表及里，从中提取能反映粗取精、去伪存真、由表及里，从中提取能反映事物本质和运动规律的有用信息。事物本质和运动规律的有用信息。 南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院6.2 6.2 实验数据的表述方法实验数据的表述方法实验数据最终必然要以人们易于接受的方式实验数据最终必然要以人们易于接受的方式表述出来，

3、常用的表述方法有表述出来，常用的表述方法有: : 表格法、图解法和方程法三种。表格法、图解法和方程法三种。表述方法的基本要求是：表述方法的基本要求是： 确切地将被测量的变化规律反映出来；确切地将被测量的变化规律反映出来； 便于分析和应用便于分析和应用; ;南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院6.2.1 表格法表格法表格法是把被测量数据精选、定值，按一定的规表格法是把被测量数据精选、定值，按一定的规律归纳整理后列于一个或几个表格中，该方法比律归纳整理后列于一个或几个表格中，该方法比较简便、有效、数据具体、形式紧凑、便于对比。较简便、有效、数据具体、形式紧凑、便于对比。 南京理工大学机械学院南

4、京理工大学机械学院列表时应注意以下几个问题：列表时应注意以下几个问题： 数据的写法要整齐规范，数值为零时要记数据的写法要整齐规范，数值为零时要记“0”，不可遗漏；试验数据空缺时应记为，不可遗漏；试验数据空缺时应记为“”； 表达力求统一简明。同一竖行的数值、小数表达力求统一简明。同一竖行的数值、小数点应上下对齐。当数值过大或过小时，应以点应上下对齐。当数值过大或过小时，应以10n表示，表示，n为正、负整数；为正、负整数； 根据测量精度的要求根据测量精度的要求，表中所有数据有效数，表中所有数据有效数字的位数应取舍适当字的位数应取舍适当。南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院6.2.2 图解法图解

5、法 图解法是把互相关联的实验数据按照自变量图解法是把互相关联的实验数据按照自变量和因变量的关系在适当的坐标系中绘制成几何图和因变量的关系在适当的坐标系中绘制成几何图形，用以表示被测量的变化规律和相关变量之间形，用以表示被测量的变化规律和相关变量之间的关系的关系。南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院曲线描绘时应注意如下几个问题曲线描绘时应注意如下几个问题：合理布图；合理布图；正确选择坐标分度；正确选择坐标分度；灵活采用特殊坐标形式；灵活采用特殊坐标形式；正确绘制图形；正确绘制图形； 图的标注要规范；图的标注要规范；南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院6.2.3 6.2.3 经验公式法经验

6、公式法通过试验获得一系列数据，这些数据可通过试验获得一系列数据，这些数据可用图表法表示出函数之间的关系，也可用图表法表示出函数之间的关系，也可用与图形相对应的数学公式来描述函数用与图形相对应的数学公式来描述函数之间的关系，从而进一步用数学分析的之间的关系，从而进一步用数学分析的方法来研究这些变量之间的相关关系。方法来研究这些变量之间的相关关系。该数学表达式称为经验公式，又称为回该数学表达式称为经验公式，又称为回归方程。归方程。 南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院 根据变量个数以及变量之间的关系不同，常用根据变量个数以及变量之间的关系不同，常用的回归方程有：的回归方程有： 一元线性回归方程

7、（直线拟合）一元线性回归方程（直线拟合）; ; 一元非线性回归方程（曲线拟合）一元非线性回归方程（曲线拟合）; ; 多元线性回归和多元非线性回归多元线性回归和多元非线性回归; ;南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院6.3 回归分析及其应用回归分析及其应用6.3.1 6.3.1 一元线性回归一元线性回归 一元线性回归是最基本的回归方法，也是一元线性回归是最基本的回归方法，也是最常用的回归方法之一。最常用的回归方法之一。1. 1. 线性相关线性相关 所谓相关指变量之间具有某种内在的物理所谓相关指变量之间具有某种内在的物理联系。对于确定性信号来说，两个变量之间可联系。对于确定性信号来说，两个变量

8、之间可用函数关系来描述，两者一一对应。而两个随用函数关系来描述，两者一一对应。而两个随机变量之间不一定具有这样确定性的关系，可机变量之间不一定具有这样确定性的关系，可通过大量统计分析发现它们之间是否存在某种通过大量统计分析发现它们之间是否存在某种相互关系或内在的物理联系。相互关系或内在的物理联系。 南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院 现讨论两个随机变量现讨论两个随机变量x x、y y数值对的总体。每数值对的总体。每一对值在一对值在xyxy坐标中用点来表示。坐标中用点来表示。 图图6-16-1（a a）中，各对）中，各对x x和和y y值之间没有明显的关系，值之间没有明显的关系，两个变量是

9、不相关的。两个变量是不相关的。 图图6-16-1（b b）中）中x x和和y y具有确定的关系，大的具有确定的关系，大的x x值对值对应大的应大的y y值，小的值，小的x x值对应值对应小的小的y值，所以说这两个值，所以说这两个变量是相关的。变量是相关的。 南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院 如希望用直线形式来表示如希望用直线形式来表示x和和y的近似函数关系，的近似函数关系，则可使则可使y的实际值和用直线来近似的的实际值和用直线来近似的y预计值之差的预计值之差的均方值为最小，见图均方值为最小，见图6-2所示。所示。南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院2 2. . 线性回归方程的确定线

10、性回归方程的确定 若所获取的一组若所获取的一组xi 、y i数据可用线性回归数据可用线性回归方程来描述，确定回归方程的方法较多，方程来描述，确定回归方程的方法较多，常用常用“最小二乘法最小二乘法”。 南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院 假设有一组实测数据，含有假设有一组实测数据，含有N N对对x xi i 、y y i i值，用值，用回归方程来描述：回归方程来描述： 由上式可计算出与自变量由上式可计算出与自变量x xi i对应的回归值对应的回归值 , ,即即 (i=1(i=1，2 2，N)N)。 由于数据的误差和公式的近似性，回归值与对由于数据的误差和公式的近似性，回归值与对应测量值应测

11、量值y y i i间会有一定的偏差，偏差计算公式：间会有一定的偏差，偏差计算公式： 该差值称为残差，表征了测量值与回归值的偏该差值称为残差，表征了测量值与回归值的偏离程度。残差越小，测量值与回归值越接近。根据离程度。残差越小，测量值与回归值越接近。根据最小二乘法理论，若最小二乘法理论，若残差残差的的平方和平方和为最小为最小，即，即 bkxybkxyiiiy iiiyyv南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院 意味着回归值的平均偏差程度最小，回归直意味着回归值的平均偏差程度最小，回归直线为最能代表测量数据内在关系的曲线。根据求线为最能代表测量数据内在关系的曲线。根据求极值的原理应有：极值的原理

12、应有：min2121)()(QbkxyyyQiNiiiNii0)(21iiNiixbkxykQ0)(21bkxybQiNii 南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院解此方程组，令：)(1yyxxLNiiixyNiiyNy11 NiixxxxL12)( NiixNx11 xxxyLLkxkyb可得：南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院回归方程的另一种形式为：回归方程的另一种形式为： xxyyk)(xxkyy 南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院3. 3.回归方程的精度问题回归方程的精度问题 用回归方程根据自变量用回归方程根据自变量x x的值，求因变量的值，求因变量y y的的值，其精度如

13、何，即测量数据中值，其精度如何，即测量数据中yi yi和回归值的差和回归值的差异可能有多大，用回归方程的剩余标准偏差来表异可能有多大，用回归方程的剩余标准偏差来表征，有征，有qNvqNyyqNQNiiNiii1212)(式中，式中，N N为测量次数，或成对测量数据的对数；为测量次数，或成对测量数据的对数；q q为回归方程中待定常数的个数为回归方程中待定常数的个数。 越小表示回归方程对测试数据拟合越好。越小表示回归方程对测试数据拟合越好。南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院6.3.2 6.3.2 非线性回归非线性回归( (了解了解) ) 在测试过程中，被测量之间并非都是线性关系，在测试过程中

14、，被测量之间并非都是线性关系，很多情况下，它们遵循一定的非线性关系。求解很多情况下，它们遵循一定的非线性关系。求解非线性模型的方法通常有：非线性模型的方法通常有：利用变量变换把非线性模型转化为线性模型。利用变量变换把非线性模型转化为线性模型。利用最小二乘原理推导出非线性模型回归的正规利用最小二乘原理推导出非线性模型回归的正规方程，然后求解。方程，然后求解。采用直接最优化方法，以残差平方和为目标函数，采用直接最优化方法，以残差平方和为目标函数，寻找最优化回归函数。寻找最优化回归函数。南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院模型转换模型转换 一些常用非线性模型，可用变量变换的方一些常用非线性模型，

15、可用变量变换的方法使其转化为线性模型，如指数函数法使其转化为线性模型，如指数函数BxAye两边取对数得：两边取对数得：BxAy lnlnty lnCA ln令令，则方程可化为，则方程可化为 CBxt南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院对幂函数对幂函数 BAxy xBAylnlnln ytln1xtln2ACln ， CBtt21 。南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院6.4 误差的定义及分类误差的定义及分类 6.4.1 6.4.1 误差的概念误差的概念 1. 1. 真值真值 是指在一定时间和空间条件下，被测物理量是指在一定时间和空间条件下，被测物理量客观存在的实际值。客观存在的实际值。

16、一般说的真值是指理论真值、一般说的真值是指理论真值、规定真值和相对真值。规定真值和相对真值。 理论真值：理论真值：理论真值也称绝对真值。理论真值也称绝对真值。 规定真值：规定真值：国际上公认的某些基准量值。规定国际上公认的某些基准量值。规定真值也称约定真值。真值也称约定真值。 相对真值：相对真值：是指计量器具按精度不同分为若干是指计量器具按精度不同分为若干等级，上一等级的指示值即为下一等级的真值，等级，上一等级的指示值即为下一等级的真值，此真值称为相对真值。此真值称为相对真值。南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院 2. 误差 误差存在于一切测量中，误差定义为测量结果减去被测量的真值0 xx

17、x xx0 x式中：式中： 测量误差（又称真误差）；测量误差（又称真误差）； 测量结果；测量结果； 被测量的真值。被测量的真值。南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院 3. 3. 残余误差残余误差 测量结果减去被测量的最佳估计值测量结果减去被测量的最佳估计值xxv式中式中v残余误差（简称残差）；残余误差（简称残差）； x 真值的最佳估计值（约定真值）。真值的最佳估计值（约定真值）。南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院6.4.2 6.4.2 误差的分类误差的分类 1.1.产生误差的主要因素：产生误差的主要因素： 工具误差工具误差：它包括试验装置、测量仪器所带来的：它包括试验装置、测量仪器所

18、带来的误差；误差； 方法误差方法误差：亦称为原理误差或理论误差；：亦称为原理误差或理论误差； 环境误差环境误差：在测量过程中，因环境条件的变化而：在测量过程中，因环境条件的变化而产生的误差。产生的误差。 人员误差人员误差：测量者生理特性和操作熟练程度的优：测量者生理特性和操作熟练程度的优劣引起的误差称为人员误差。劣引起的误差称为人员误差。南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院 2.2.误差的分类误差的分类 按照误差的特点和性质进行分类，可分为：按照误差的特点和性质进行分类，可分为： 随机误差；随机误差； 系统误差；系统误差； 粗大误差。粗大误差。南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院（1

19、1）随机误差）随机误差产生误差的原因及误差数值的大小、正负产生误差的原因及误差数值的大小、正负是随机的，没有确定的规律性，或者说带是随机的，没有确定的规律性，或者说带有偶然性，这样的误差就称为随机误差。有偶然性，这样的误差就称为随机误差。随机误差就个体而言，从单次测量结果来随机误差就个体而言，从单次测量结果来看是没有规律的，但就其总体来说，随机看是没有规律的，但就其总体来说，随机误差服从一定的统计规律误差服从一定的统计规律。南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院（2 2）系统误差）系统误差 在相同的测量条件下，多次测量同一物理量时，在相同的测量条件下，多次测量同一物理量时，误差不变或按一定规

20、律变化着，这样的误差称之误差不变或按一定规律变化着，这样的误差称之为系统误差。系统误差等于误差减去随机误差，为系统误差。系统误差等于误差减去随机误差，是具有确定性规律的误差，可以用非统计的函数是具有确定性规律的误差，可以用非统计的函数来描述。来描述。系统误差又可按下列方法分类。系统误差又可按下列方法分类。 按对误差的掌握程度可分为：已定系统误差和按对误差的掌握程度可分为：已定系统误差和未定系统误差。未定系统误差。 按误差变化规律可分为：定值系统误差、线性按误差变化规律可分为：定值系统误差、线性系统误差、周期系统误差和复杂规律系统误差。系统误差、周期系统误差和复杂规律系统误差。 南京理工大学机械

21、学院南京理工大学机械学院（3 3）粗大误差）粗大误差粗大误差是指那些误差数值特别大，超出在规定粗大误差是指那些误差数值特别大，超出在规定条件下的预计值，测量结果中有明显错误的误差，条件下的预计值，测量结果中有明显错误的误差，也称粗差。也称粗差。出现粗大误差的原因是由于在测量时仪器操作的出现粗大误差的原因是由于在测量时仪器操作的错误，或读数错误，或计算出现明显的错误等。错误，或读数错误，或计算出现明显的错误等。粗大误差一般是由于测量者粗心大意、实验条件粗大误差一般是由于测量者粗心大意、实验条件突变造成的。突变造成的。粗大误差由于误差数值特别大，容易从测量结果粗大误差由于误差数值特别大，容易从测量

22、结果中发现，一经发现有粗大误差，应认为该次测量中发现，一经发现有粗大误差，应认为该次测量无效，即可消除其对测量结果的影响。无效，即可消除其对测量结果的影响。南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院6.4.3 误差的表示方法误差的表示方法 常用的几种误差表示方法：常用的几种误差表示方法： 1）绝对误差）绝对误差 2）相对误差）相对误差 3）引用误差）引用误差南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院1. 1. 绝对误差绝对误差 绝对误差是指测得值与真值之差，可表示为绝对误差是指测得值与真值之差，可表示为: : 绝对误差绝对误差= =测得值测得值- -真值真值 即：即：0 xxx南京理工大学机械学院

23、南京理工大学机械学院 2. 2. 相对误差相对误差 相对误差是指绝对误差与被测真值之比值，相对误差是指绝对误差与被测真值之比值，通常用百分数表示，即通常用百分数表示，即00100被测真值绝对误差相对误差000100 xxr南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院说明：说明： 1 1）当被测真值为未知数时，一般可用测）当被测真值为未知数时，一般可用测得值的算术平均值代替被测真值。得值的算术平均值代替被测真值。 2 2）对于不同的被测量值，用测量的绝对）对于不同的被测量值，用测量的绝对误差往往很难评定其测量精度的高低，误差往往很难评定其测量精度的高低，通常采用相对误差来评定。通常采用相对误差来评定

24、。南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院 3.3. 引用误差引用误差 测量仪器的绝对误差除以仪器的满度值测量仪器的绝对误差除以仪器的满度值。%100mmxxrmrxmx式中：式中： 测量仪器的引用误差；测量仪器的引用误差； 测量仪器的绝对误差，测量仪器的绝对误差， 一般指的是测量仪器的示值绝对误差；一般指的是测量仪器的示值绝对误差； 测量仪器的满度值，一般又称为引用值，测量仪器的满度值，一般又称为引用值，通常是测量仪器的量程。通常是测量仪器的量程。 南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院说明: 1) 引用误差实质是一种相对误差，可用引用误差实质是一种相对误差，可用于评价某些测量仪器的准确度

25、高低。于评价某些测量仪器的准确度高低。 2) 国际规定电测仪表的精度等级指数国际规定电测仪表的精度等级指数a分分为：为：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0共共七级，其最大引用误差不超过仪器精度七级，其最大引用误差不超过仪器精度等级指数等级指数a百分数，即百分数，即r m a%。南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院6.4.4 6.4.4 表征测量结果质量的指标表征测量结果质量的指标 常用正确度、精密度、准确度、不确常用正确度、精密度、准确度、不确定度等来描述测量的可信度。定度等来描述测量的可信度。南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院（1）正确度 正确度表示测量结果中系

26、统误差大小正确度表示测量结果中系统误差大小的程度，即由于系统误差而使测量结果与的程度，即由于系统误差而使测量结果与被测量值偏离的程度。系统误差越小，测被测量值偏离的程度。系统误差越小，测量结果越正确。量结果越正确。南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院（2）精密度 精密度表示测量结果中随机误差大小精密度表示测量结果中随机误差大小的程度，即在相同条件下，多次重复测量的程度，即在相同条件下，多次重复测量所得测量结果彼此间符合的程度，随机误所得测量结果彼此间符合的程度，随机误差越小，测量结果越精密差越小，测量结果越精密。南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院（3）准确度 准确度表示测量结果中系统

27、误差与随准确度表示测量结果中系统误差与随机误差综合大小的程度，即测量结果与被机误差综合大小的程度，即测量结果与被测真值偏离的程度，综合误差越小，测量测真值偏离的程度，综合误差越小，测量结果越准确。结果越准确。南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院（4）不确定度 不确定度表示合理赋予被测量之值的不确定度表示合理赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。不确分散性，与测量结果相联系的参数。不确定度越小，测量结果可信度越高。定度越小，测量结果可信度越高。 南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院6.5 6.5 不确定度评定的基本知识不确定度评定的基本知识 测量不确定度就是对测量结果质量的定测

28、量不确定度就是对测量结果质量的定量表征，测量结果的可用性很大程度上量表征，测量结果的可用性很大程度上取决于其不确定度的大小。所以测量结取决于其不确定度的大小。所以测量结果必须附有不确定度说明才是完整并有果必须附有不确定度说明才是完整并有意义。意义。南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院6.5.16.5.1有关不确定度的术语有关不确定度的术语 1 1、以标准差表示的测量不确定度。、以标准差表示的测量不确定度。 2 2、用对观测列进行统计分析的方法来评、用对观测列进行统计分析的方法来评定标准不确定度，又称为定标准不确定度，又称为A A类不确定度评类不确定度评定。定。 3 3、用不同于观测列进行统

29、计分析的方法、用不同于观测列进行统计分析的方法来评定标准不确定度，又称为来评定标准不确定度，又称为B B类不确定类不确定度评定。度评定。南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院 4 4、当测量结果是由若干个其它量的值求得、当测量结果是由若干个其它量的值求得时，按其它各量的方差和协方差算得标准时，按其它各量的方差和协方差算得标准不确定度。不确定度。 5 5、确定测量结果区间的量，合理赋予被测、确定测量结果区间的量，合理赋予被测量之值分布的大部分可望含于此区间，有量之值分布的大部分可望含于此区间，有时也称为展伸不确定度或范围不确定度。时也称为展伸不确定度或范围不确定度。 6 6、为求得扩展不确定度

30、，对合成标准不确、为求得扩展不确定度，对合成标准不确定度所乘之数字因子。定度所乘之数字因子。南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院6.5.2 6.5.2 产生测量不确定度的原因和测量模型产生测量不确定度的原因和测量模型 1. 1. 测量不确定度的来源测量不确定度的来源被测量的定义不完整；被测量的定义不完整；复现被测量的测量方法不理想；复现被测量的测量方法不理想；取样的代表性不够，即被测样本不能代取样的代表性不够，即被测样本不能代表所定义的被测量；表所定义的被测量；对测量过程受环境影响的认识不恰如其对测量过程受环境影响的认识不恰如其分或对环境的测量与控制不完善；分或对环境的测量与控制不完善；南

31、京理工大学机械学院南京理工大学机械学院对模拟式仪器的读数存在人为偏移；对模拟式仪器的读数存在人为偏移；测量仪器的计量性能（如灵敏度、鉴别力测量仪器的计量性能（如灵敏度、鉴别力阈、分辨力、死区及稳定性等）的局限性阈、分辨力、死区及稳定性等）的局限性 测量标准或标准物质的不确定度；测量标准或标准物质的不确定度；引用的数据或其它参数的不确定度；引用的数据或其它参数的不确定度；测量方法和测量程序的近似和假设；测量方法和测量程序的近似和假设；在相同条件下被测量在重复观测中的变化。在相同条件下被测量在重复观测中的变化。南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院2. 2. 测量不确定度及其数学模型的建立测量不

32、确定度及其数学模型的建立 测量不确定度通常用测量过程的数学模型和不测量不确定度通常用测量过程的数学模型和不确定度的传播律来评定。确定度的传播律来评定。 在实际测量的很多情况下，被测量在实际测量的很多情况下，被测量Y（输出量）（输出量）不能直接测得，而是由不能直接测得，而是由N个其它量个其它量X1、X2、XN（输入量）通过函数关系（输入量）通过函数关系f来确定来确定 Y=f（X1，X2，XN） (A) 上式称为测量模型或数学模型。上式称为测量模型或数学模型。南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院 说明：数学模型不是唯一的，如果采用不同说明：数学模型不是唯一的，如果采用不同的测量方法和不同的测量

33、程序就可能有不的测量方法和不同的测量程序就可能有不同的数学模型。同的数学模型。 例：一个随温度例：一个随温度t变化的电阻器两端的电压变化的电阻器两端的电压为为V，在温度为，在温度为t0时的电阻为时的电阻为R0，电阻器的，电阻器的温度系数为温度系数为，则电阻器的损耗功率，则电阻器的损耗功率P（被（被测量）取决于测量）取决于V、R0、和和t， P=f（V，R0，t）=V2/ R01+（t- t0） 南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院 也可采用测量其端电压和流经电阻的电流来获得，也可采用测量其端电压和流经电阻的电流来获得，则则P的数学模型就变成的数学模型就变成 P=f（V，I）=VI 最简单的

34、数学模型是最简单的数学模型是Y=X，如用卡尺测量工件的，如用卡尺测量工件的尺寸时，则工件的尺寸就等于卡尺的示值。尺寸时，则工件的尺寸就等于卡尺的示值。 式（式（A）中，被测量）中，被测量Y的估计值为的估计值为y，输入量，输入量xi的估的估计值为计值为xi，则有：，则有： y=f（x1，x2，xN） 式（式（A）中，大写字母表示的量的符号既代表可）中，大写字母表示的量的符号既代表可测的量，代表随机变量。当叙述为测的量，代表随机变量。当叙述为xi具有某概率具有某概率分布时，这个符号的含义就是随机变量。分布时，这个符号的含义就是随机变量。南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院 在一列观测值中，第在

35、一列观测值中，第k 个个Xi的观测值用的观测值用Xik表示。表示。 当被测量当被测量Y的最佳估计值的最佳估计值y是通过输入量是通过输入量X1，X2，XN的估计值的估计值x1，x2，xN得出时，可得出时，可有以下两种方法：有以下两种方法：nkkNkknkkxxxfnynyy1, 2, 11),(11L（B）南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院 式中，式中， 它是独立观测值它是独立观测值X X i, ki, k的算的算术平均值。术平均值。 说明说明: : （）（）以上两种方法，当以上两种方法，当f f是输入量是输入量X Xi i的线性的线性函数时，它们的结果相同。函数时，它们的结果相同。 （）

36、当（）当f f是是X Xi i的非线性函数时，的非线性函数时， 式（）的式（）的计算方法较为优越。计算方法较为优越。 ),(21Nxxxfy nkkiiXnx1,1南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院（）在数学模型中，输入量（）在数学模型中，输入量X X1 1、X X2 2、X XN N可以是：可以是： 由当前直接测定的量；由当前直接测定的量； 由外部来源引入的量；由外部来源引入的量； x xi i的不确定度是的不确定度是y y的不确定度的来源。的不确定度的来源。（4 4）评定）评定y y的不确定度之前，为确定的不确定度之前，为确定Y Y的最佳值，应的最佳值，应将所有修正量加入测得值，并将

37、所有测量异常值将所有修正量加入测得值，并将所有测量异常值剔除。剔除。（5 5）Y Y的不确定度将取决于的不确定度将取决于x xi i的不确定度，为此首的不确定度，为此首先应评定先应评定x xi i的标准不确定度的标准不确定度u u（x xi i）。评定方法可。评定方法可归纳为归纳为A A、B B两类。两类。南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院6.6 标准不确定度的标准不确定度的A类评定类评定6.6.1 6.6.1 单次测量结果试验标准差与平均值试单次测量结果试验标准差与平均值试验标准差验标准差等精度测量定义：等精度测量定义：使用同样的仪器，在同等的测使用同样的仪器，在同等的测量环境条件下，

38、同一人员进行的测量。量环境条件下，同一人员进行的测量。不等精度测量定义：不等精度测量定义：使用不同的仪器或在不同的使用不同的仪器或在不同的测量环境条件下，由不同人员进行的测量。测量环境条件下，由不同人员进行的测量。南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院 对被测量对被测量X X，在重复性条件或复现性条件下进行，在重复性条件或复现性条件下进行n n次独立重复观测，观测值为次独立重复观测，观测值为 （i i=1,2,=1,2,n n）。）。 为单次测量的实验标准差，为单次测量的实验标准差，由贝塞尔公式：由贝塞尔公式： 为平均值的实验标准值，其值为为平均值的实验标准值，其值为 niixnx11ix?

39、 )(ixs)(xs?nxsxsi)()(?niiixxnxs12)(11)(算术平均值：算术平均值：南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院 观测次数观测次数n n充分多，才能使充分多，才能使A A类不确定度的评定类不确定度的评定可靠，可靠，一般认为一般认为n n应大于应大于5 5； 当该当该A A类不确定度分量对合成标准不确定度的贡类不确定度分量对合成标准不确定度的贡献较大，献较大，n n也不宜太小；也不宜太小； 当该当该A A类不确定度对合成标准不确定度的贡献较类不确定度对合成标准不确定度的贡献较小，小，n n小一些关系也不大。小一些关系也不大。南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院

40、例：对一等标准活塞压力计的活塞有效面例：对一等标准活塞压力计的活塞有效面积进行检定。在各种压力下测得有效面积积进行检定。在各种压力下测得有效面积S0与工作基准面积与工作基准面积SS之比之比l i如下：如下： 0.250670 0.250673 0.250670 0.250671 0.250675 0.250671 0.250675 0.250670 0.250673 0.250670试计算最佳估计值试计算最佳估计值 L 、 、)(ils)(1lu南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院 解：最佳估计值解：最佳估计值L L为为 ： 单次测量标准差单次测量标准差 为为250672. 010iiln

41、lL)(ils61221005. 211010381)()(nLllsii南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院L由测量重复性导致的标准不确定度由测量重复性导致的标准不确定度 是表示一等标准活塞压力计活塞有效面是表示一等标准活塞压力计活塞有效面积积S0与工作基准面积与工作基准面积SS之比之比l的由测量重复的由测量重复性引起的不确定度分量，因：性引起的不确定度分量，因： )(1lu611063. 0)()()(nlsLslui)(1lus0SSl 南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院 得到由测量重复性引起的得到由测量重复性引起的S0的标准不确定度的标准不确定度分量：分量： 以相对不确定度表

42、示以相对不确定度表示s61s011063. 0)()(SluSSu6610s0rel1105 . 2250672. 01063. 0)()(luSSSu南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院6.6.2 6.6.2 极差极差 在重复性条件或复现性条件下，对在重复性条件或复现性条件下，对 进行进行n独立观测，计算结果中的最大值与最小值独立观测，计算结果中的最大值与最小值之差之差R称为极差。在称为极差。在 可以估计接近正态分可以估计接近正态分布的前提下，单次测量结果布的前提下，单次测量结果 的实验标准的实验标准差差 ，可按下式近似地评定，可按下式近似地评定 上式中系数上式中系数C及自由度及自由度

43、如表如表6-4所示。所示。 iXiXix）（ixs）（）（iixuCRxs南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院 表表6-4 6-4 极差系数极差系数C C及自由度及自由度n23456789C1.131.642.06 2.33 2.53 2.70 2.85 2.970.91.82.73.64.55.36.06.8南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院 例：用金属洛氏硬度计测量混凝土回弹仪例：用金属洛氏硬度计测量混凝土回弹仪试验钢砧的硬度，测量试验钢砧的硬度，测量5 5次，硬度值分别为：次，硬度值分别为：60.060.0、60.860.8、61.861.8、62.0HRC62.0HRC，5

44、5次平均值次平均值 为为61.1HRC61.1HRC。用贝塞尔公式算得平均值的实。用贝塞尔公式算得平均值的实验标准差为验标准差为: : 自由度为自由度为 H HRC 36 . 0 1 2 ） （ ） （ ） （ n n H H H u i 41 n南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院如采用极差法进行计算，则如采用极差法进行计算，则 自由度自由度 极差法与贝塞尔法相比，得到不确定度的自极差法与贝塞尔法相比，得到不确定度的自由度下降了，也就是说不确定度评定的可由度下降了，也就是说不确定度评定的可靠性有所降低。靠性有所降低。HRC38. 033. 20 .600 .62511minmaxCHHn

45、Hu）（6 . 3南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院6.6.3 最小二乘法最小二乘法 当当X的估计值由实验数据用最小二乘法拟合的的估计值由实验数据用最小二乘法拟合的直线或曲线上得到时，任意预期的估计值或表直线或曲线上得到时，任意预期的估计值或表征曲线拟合参数的标准不确定度可以用已知的征曲线拟合参数的标准不确定度可以用已知的统计程序计算得到的。统计程序计算得到的。 如两估计值如两估计值x、y有线性关系有线性关系 ，对其，对其独立测得若干对数据（独立测得若干对数据（x1，y1），（），（x2，y2），），（，（x n，y n），），n2，欲得到参数，欲得到参数b、k及其标准不确定度，以及预期

46、估计值及其标及其标准不确定度，以及预期估计值及其标准不确定度，要用到最小二乘法。准不确定度，要用到最小二乘法。kxby南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院实验标准差：实验标准差： 212nsnii式中式中i为残差为残差. .参数参数b、k的标准不确定度为的标准不确定度为:xxxxnLxsxsnLbsbu1222）（）（xxxxLssLksku112）（）（式中方括弧为求和符号式中方括弧为求和符号南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院6.6.4 不确定度不确定度A A类评定的独立性类评定的独立性 在重复性条件下所得的测量列的不确定在重复性条件下所得的测量列的不确定度，通常比其它评定方法所得

47、到的不确度，通常比其它评定方法所得到的不确定度更为客观，并具有统计学的严格性，定度更为客观，并具有统计学的严格性，但要求有充分的重复次数。但要求有充分的重复次数。南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院6.6.5 A A类不确定度评定的自由度和评定流程类不确定度评定的自由度和评定流程 对于独立重复测量，自由度对于独立重复测量，自由度 （n n为测量次数）。为测量次数）。 对于最小二乘法，自由度对于最小二乘法，自由度 （n为为数据个数，数据个数，t为未知数为未知数个数）个数）1ntn 南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院标准不确定度标准不确定度A类评定的流程类评定的流程南京理工大学机械学院南

48、京理工大学机械学院6.7 标准不确定度的标准不确定度的B B类评定类评定6.7.1 B B类不确定度评定的信息来源类不确定度评定的信息来源当被测量当被测量X X的估计值不是由重复观测得到，其的估计值不是由重复观测得到，其标准不确定度可用的可能变化的有关信息或资标准不确定度可用的可能变化的有关信息或资料来评定。料来评定。B B类评定的信息来源有以下六项：类评定的信息来源有以下六项：以前的观测数据；以前的观测数据；对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验；对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验；生产部门提供的技术说明文件；生产部门提供的技术说明文件；南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院校准证

49、书、检定证书或其它文件提供的数校准证书、检定证书或其它文件提供的数据、准确度的等级或级别，包括目前暂时据、准确度的等级或级别，包括目前暂时在使用的极限误差等；在使用的极限误差等；手册或某些资料给出的参考数据及其不确手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度；定度；规定实验方法的国家标准或类似技术文件规定实验方法的国家标准或类似技术文件中给出的重复性限中给出的重复性限r r或复现性限或复现性限R R。 南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院6.7.2 B B类不确定度的评定方法类不确定度的评定方法1 1、已知置信区间和包含因子、已知置信区间和包含因子 根据经验和有关信息或资料，先分析或判断被根据

50、经验和有关信息或资料，先分析或判断被测量值落入的区间测量值落入的区间 ，并估计区间内被，并估计区间内被测量值的概率分布，再按置信水准测量值的概率分布，再按置信水准p p来估计包含因来估计包含因子子k k，则，则B B类标准不确定度类标准不确定度 为：为：kaxu）（式中式中 a a置信区间半宽；置信区间半宽； k k对应置信水准的包含因子。对应置信水准的包含因子。axax，）（xu南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院2 2、已知扩展不确定度、已知扩展不确定度U U和包含因子和包含因子k k 标准不确定度：标准不确定度：3 3、已知扩展不确定度和置信水准、已知扩展不确定度和置信水准p p的正

51、态分布的正态分布 一般按正态分布考虑评定，其一般按正态分布考虑评定，其 标准不确定度：标准不确定度：ppkUxu）（kUxu）（南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院正态分布的置信水准（置信概率）正态分布的置信水准（置信概率）p p与包含因与包含因子子 之间存在如下表的关系。之间存在如下表的关系。正态分布情况下置信水准正态分布情况下置信水准p与包含因子与包含因子k p间的关系间的关系P（%） 5068.27909595.45 9999.730.6711.645 1.96 22.576 3pkpk南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院 4、已知扩展不确定度已知扩展不确定度 以及置信水准以及置

52、信水准p p与与有效自由度有效自由度 的的t t分布分布 按按t t分布处理分布处理pUeff）（）（effpptUxu南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院 例：校准证书上给出了标称值为例：校准证书上给出了标称值为5kg的砝码的实的砝码的实际质量为际质量为m=5000.00078g，并给出了，并给出了m的测量结的测量结果扩展不确定度果扩展不确定度U95=48mg，有效自由度，有效自由度 ，求求 解：查解：查t分布表得知分布表得知t95（35）=2.03，故，故B类标准不类标准不确定度为确定度为35eff)(xumg2403.248eff9595）（）（tUxu南京理工大学机械学院南京理工大

53、学机械学院6.7.3 B B类标准不确定度评定的流程类标准不确定度评定的流程标准不确定度标准不确定度B B类评定的流程类评定的流程 如下：如下：南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院6.8 合成标准不确定度的评定合成标准不确定度的评定 被测量被测量Y Y的估计值的估计值y y的标准不确定度，是由相应输的标准不确定度，是由相应输入量入量x x1 1，x x2 2，x x N N的标准不确定度适当合成求的标准不确定度适当合成求得，估计值得，估计值y y的合成不确定度记为的合成不确定度记为 ，它表，它表征合理赋予被测量估计值征合理赋予被测量估计值y y的分散性。的分散性。）（yuc南京理工大学机械

54、学院南京理工大学机械学院6.8.1 输入量不相关时不确定度的合成输入量不相关时不确定度的合成1 1、当全部输入量、当全部输入量 是彼此独立或不相关时，合成标是彼此独立或不相关时，合成标准不确定度准不确定度 由下式得出由下式得出Niiixuxfyu1222c）（）（）（式中式中 ff被测量被测量y y与诸直接测得量与诸直接测得量x xi i的函数关的函数关系。系。）（ixu 或是或是A A类评定标准不确定度，类评定标准不确定度， 或是或是B B类评定标准不确定度。类评定标准不确定度。）（yuciX南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院说明：说明： 1 1）不确定度）不确定度 是个估计标准差，表

55、征合理是个估计标准差，表征合理赋予被测量赋予被测量Y Y的分散性。的分散性。 2 2）上式是基于）上式是基于 的泰勒级数的泰勒级数的一阶近似，称为的一阶近似，称为“不确定度传播律不确定度传播律”。 ），（NXXXfY21）（yuc南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院2 2、偏导数、偏导数 称为灵敏系数，符号为称为灵敏系数，符号为c ci ，即即 。合成标准不确定度在互不相。合成标准不确定度在互不相关时，可表达为：关时，可表达为：NiiNiiicyuxucyu12122）（）（）（ixf iixfc南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院6.8.2 合成不确定度的计算流程合成不确定度的计算流

56、程 合成标准不确定度的计算流程如下合成标准不确定度的计算流程如下：南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院 例题1： 某间接测量的函数式为y=a0 x1x2，则y的标准不确定度为（ ？）（式中 , 分别为直接测量量值x1、x2的标准不确定度）（a） （b） （c） （d） 222221210 xxyxxa22210 xxya212222210 xxyxxa2221xxy1x2x南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院例题2：忽略B类不确定度，用分辨率为0.02mm卡尺测量一个工件的长度，在相同条件下重复进行7次测量。测量值如下：25.3，25.2，24.9，25.0，27.3，25.1，25.

57、4（单位cm）。要求报告该工件长度及其扩展不确定度。（ ， ， ， ） 05. 09432. 1)6(05. 0t8946. 1)7(05. 0t8595. 1)8(05. 0tcm5 .257171iixxxxvii解： 均值： 残差： 南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院标准不确定度：cm83.01712nSiixcm31. 0776712xiixSS扩展不确定度： cm76. 031. 045. 2)6(xxcStkSkuu表述：工件长度=05. 0, 6,cm8 . 05 .25v南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院例题3： 欲测量某回路中一标称值为101%电阻器的功率损耗P,

58、可采用两种方法进行，一是只测电阻器两端的电压V, 然后用公式P=V 2/R计算功率损耗；二是分别测量电阻器两端的电压V和流过电阻器的电流I,由公式P=VI计算电阻器上的功率损耗。估算这两种方案的电功率测量误差，设V和I的测量结果为V=1001%(V), I=101%(A)。 （说明：各量“”后缀为标准不确定度） 南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院解: 方法一:RVVP222RVRP212442222122224RvRVPRVRVRPVP%236. 2)01. 0(01. 04421222122RVPRVP 南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院方法二 :IVPVIP212222IvPVI%414. 101. 001. 0222122IVPIVP 南京理工大学机械学院南京理工大学机械学院本章结束