南大复变函数与积分变换课件(PPT版)64_几个初等函数构成的共形映射映射
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1、1第六章 共形映射 6.4 几个初等函数构成的映射 6.4 几个初等函数构成的映射几个初等函数构成的映射 一、幂函数一、幂函数 二、二、指数函数指数函数 三、三、综合举例综合举例 2第六章 共形映射 6.4 几个初等函数构成的映射 ,nzw 一、幂函数一、幂函数 ( ( 整数整数 ) ) 2 n,e ninrw 则有则有 ,e irz 令令 1. 映射特点映射特点 nzw nwz .arg,| nwrwn 即即 RnRn20 0 2n幂函数幂函数 扩大顶点在原点的角形域扩大顶点在原点的角形域( ( 或扇形域或扇形域 ) )。 特点特点 nzw 类似地，根式函数类似地，根式函数 作为幂函数的逆映
2、射，其映射作为幂函数的逆映射，其映射 nzw 特点是缩小顶点在原点的角形域特点是缩小顶点在原点的角形域( ( 或扇形域或扇形域 ) )。 0 0 n3第六章 共形映射 6.4 几个初等函数构成的映射 2. 保形性保形性 单值性单值性 解析性解析性 ,nzw 一、幂函数一、幂函数 ( ( 整数整数 ) ) 2 n(1) 在在 平面上处处可导，且平面上处处可导，且 ;dd1 nznzwz.0dd zw(2) 当当 时，时， 0 z在在 平面上不是双方单值的，平面上不是双方单值的， z对于对于 ,4zw 幂函数幂函数 在在 平面上除原点外是第一类保角映射。平面上除原点外是第一类保角映射。 结论结论
3、nzw z 在角形域在角形域 上，如果上，如果 ，则幂函数，则幂函数 是是 nzw 共形映射。共形映射。00 0 n2比如：比如： e1 z2i,e2iz 取取 .4241zz 则则 4第六章 共形映射 6.4 几个初等函数构成的映射 解解 令令 则则 ,41eizw .41ww izw41e 41ww .0Im,8|: zzzG如图，所求的象区域如图，所求的象区域 G 为：为： 24i2)(1w88 )(w244i2)(z5第六章 共形映射 6.4 几个初等函数构成的映射 512zz izizw 5454)()(41zz izizw 22解解 45)(z5)(1z)(2z)(w11 P157
4、 例例6.14 6第六章 共形映射 6.4 几个初等函数构成的映射 二、二、指数函数指数函数 zwe y4 (z)yxwxezwe vu(w)回顾回顾 有有 ,)sin(coseeeeyixxzyiyw y2 由由 z 的实部得到的实部得到 w 的模；的模；由由 z 的虚部得到的虚部得到 w 的辐角。的辐角。即即 ,|exw ,2Argkyw ),2,1,0( k xzyy,yixz 令令 7第六章 共形映射 6.4 几个初等函数构成的映射 1. 映射特点映射特点 zwe h)2(h 指数函数指数函数 将水平带形域变为角形域。将水平带形域变为角形域。 特点特点 zwe 二、二、指数函数指数函数
5、 zwe )2(h 1e1zw i11 i特别有特别有 hi)(z)(w)(1z)(1whz 1zhww 1单值性？单值性？ ( (?) )8第六章 共形映射 6.4 几个初等函数构成的映射 2. 保形性保形性 单值性单值性 解析性解析性 在在 平面上处处可导，且平面上处处可导，且 .0dde zzwz在在 平面上不是双方单值的，平面上不是双方单值的， z指数函数指数函数 在在 平面上是第一类保角映射。平面上是第一类保角映射。 结论结论 zwe z 在水平带形域在水平带形域 上，如果上，如果 则指数函数则指数函数 zwe 是共形映射。是共形映射。 hy 0,2h 二、二、指数函数指数函数 zw
6、e 取取 ,111yixz , )2(112yixz 比如：比如： .21eezz 则则 9第六章 共形映射 6.4 几个初等函数构成的映射 .0Re,1|: zzzG如图，所求的象区域如图，所求的象区域 G 为：为： 解解 令令 则则 ,1ziw .1eww 1eww ,1ziw 2 i2i)(1wi i)(w22 )(z10第六章 共形映射 6.4 几个初等函数构成的映射 2ezw izz21 122 zz 解解 2ii)(z2i)(1zi)(2z)(w)(22eizw P158 例例6.15 11第六章 共形映射 6.4 几个初等函数构成的映射 三、三、综合举例综合举例 (1) 预处理预
