图形的平移与旋转

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1、1.【问题提出】如图1，已知ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将BCE绕点C顺时针旋转60°至ACF，连接EF.试证明：AB=DB+AF.【类比探究】（1）如图2，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由；（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图3的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由.2.(1)如图1,平面内有一等腰直角三角板ABC(ACB=90)和一直线MN.过点C作CEMN于点E,过点B作BFMN于点F,试证明线段AF,BF,CE之间

2、的数量关系为AF+BF=2CE.(提示：过点C作BF的垂线,利用三角形全等证明.)(2)若三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，试猜想线段AF、BF、CE之间的数量关系，并证明你的猜想。(3)若三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置，其他条件不变，则线段AF、BF、CE之间的数量关系为_3.将两块全等的三角板如图摆放,其中A1CB1=ACB=90,A1=A=30.(1)将图中的A1B1C顺时针旋转45得图,点P1是A1C与AB的交点,点Q是A1B1与BC的交点,求证：CP1=CQ；(2)在图中,若AP1=2，则CQ等于多少?(3)如图,在B1C上取一点E,连接BE、P1E,设BC=1,

3、当BEP1B时,求P1BE面积的最大值。4.现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板两直角边所在直线分别与直线BC、CD交于点M、N.(1)如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是_；(2)如图2,若点O在正方形的中心(即两对角线交点),则(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由；(3)如图3,若点O在正方形的内部(含边界)，当OM=ON时，请探究点O在移动过程中可形成什么图形?(4)如图4,是点O在正方形外部的一种情况。当OM=ON时,请你就“点O的位置在各种情况下(含外部)移动所形成的图形”提出一个正确的结论.(不必说明)5.如图所示，(1)正方形ABC

4、D及等腰RtAEF有公共顶点A,EAF=90,连接BE、DF.将RtAEF绕点A旋转,在旋转过程中,BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系?结合图(1)给予证明；(2)将(1)中的正方形ABCD变为矩形ABCD,等腰RtAEF变为RtAEF,且AD=kAB,AF=kAE,其他条件不变.(1)中的结论是否发生变化?结合图(2)说明理由；(3)将(2)中的矩形ABCD变为平行四边形ABCD,将RtAEF变为AEF,且BAD=EAF=a,其他条件不变.(2)中的结论是否发生变化?结合图(3)，如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k表示出线段BE、DF的数量关系，用a表示出直线BE、DF形成的锐角

5、.6.已知,在ABC中,BAC=90°,ABC=45°,点D为直线BC上一动点(点D不与点B,C重合).以AD为边作正方形ADEF，连接CF(1)如图1，当点D在线段BC上时。求证：CF+CD=BC；(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；(3)如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；若正方形ADEF的边长为，对角线AE，DF相交于点O，连接OC.求OC的长度。7.在小学,我们了解到正方形的每个角都是90°,

6、每条边都相等;本学期,我们通过折纸得到定理：直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半;同时探讨得知,在直角三角形中,30°的角所对的直角边是斜边的一半。(1)如图1,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2,PB=，PC=1.求BPC的度数和等边ABC的边长。聪聪同学的思路是：将BPC绕点B逆时针旋转60°,画出旋转后的图形(如图2).连接PP.根据聪聪同学的思路,可以证明BPP为等边三角形,又可以证明ABPCBP,所以AP=PC=1,根据勾股定理逆定理可证出APP为直角三角形,故此BPC=_°同时,可以说明BPA=90°，在RtAPB中，利用勾股定理，可

7、以求出等边ABC的边AB=_.(2)请你参考聪聪同学的思路,探究并解决下列问题：如图3,在正方形ABCD内有一点P,且PA=,BP=，PC=1.求BPC的度数和正方形ABCD的边长。8.已知：将一副三角板(RtABC和RtDEF)如图摆放,点E,A,D,B在一条直线上,且D是AB的中点。将RtDEF绕点D顺时针方向旋转角(0°<<90°)，在旋转过程中，直线DE，AC相交于点M，直线DF，BC相交于点N，分别过点M，N作直线AB的垂线，垂足为G，H.(1)当=30°时(如图)，求证：AG=DH；(2)当=60°时(如图),(1)中的结论是否成

8、立?请写出你的结论，并说明理由；(3)当0°<<90°(如图)时，求证：AGHB=GDDH.9.已知RtABC,AB=AC,BAC=90°,点D为直线BC上的一动点(点D不与点B. C重合)，以AD为边作RtADE，AD=AE，连接CE.(1)发现问题如图，当点D在边BC上时，请写出BD和CE之间的数量关系为_，位置关系为_；线段CE+CD=_AC；(2)尝试探究如图,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时,(1)中AC、CE、CD之间存在的数量关系是否成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展延伸如图，当点D在边CB的延长线上