第二章_位姿描述和齐次变换(2010-09).
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1、数学基础 机械手作为执行机构是用来保证复杂空间运动的综合刚体综合刚体，而且它自身也往往需要在机械加工或装配等过程中作为统一体进行运动。因此，我们需要一种用以描述单一刚体位移、速度和加速度以及动力学问题的有效而又方便的数学方法-矩阵法矩阵法 数学描述是以四阶方阵变换三维空间点的齐次坐标为基础的，能够将运动、变换和映射与矩阵运算联系起来 补充：向量的点积和叉积 矩阵的乘法zzyyxxbabababakbabajbabaibababbbaaakjibaxyyxzxxzyzzyzyxzyx)()()(1. 方向角与方向余弦 =AOB(0)为向量 ， 的夹角，记作 =方向角的余弦称为其方向余弦.方向余弦
2、abBOAOab),(ba1coscoscos222:的单位向量向量 r2.向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：)cos(Pr ABABju向量补充212212212,232221232221332211,coszzyyxxdbbbaaababababaBA已知：a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) 空间任意两直线的公法线长度公式给定一直线过p点，具有方向矢量m，另一直线过点q，具有方向矢量n，则：)cos()(nmnmacrnmqpnma位置描述(position)-点在坐标系的位置 一旦建立了一个坐标系，我们就能够用某个31位置矢量来确定该空间内任一点的
3、位置。对于直角坐标系A，空间任一点p的位置可用31的列矢量AP表示。其中，px、py、pz入是点p在坐标系A中的三个坐标分量。Ap的上标A代表参考坐标系A。我们称Ap为位置矢量，见图21。 方位描述方位描述(orientation) 物体的方位可由某个固接于此物体的坐标系描述为了规定空间某刚体B的方位，设置一直角坐标系B与此刚体固接。用坐标系B的三个单位主矢量xB、yB、zB相对于参考坐标系A方向余弦组成的33矩阵来表示刚体B相对于坐标系A的方位。称为姿态矩阵姿态矩阵/旋转矩阵旋转矩阵。式中，上标A代表参考坐标系A，下标B代表被描述的坐标系B。共有9个元素，但只有3个是独立的。由于的三个列矢量
4、AxB、 AyB 、和AzB 都是单位矢量，且双双相互垂直，因而它的9个元素满足6个约束条件(正交条件)。 坐标系轴上的投影在坐标系的单位基矢量示了中的三个列矢量分别表姿态矩阵AkjiBRBBBAB, 坐标系轴上的投影在坐标系的单位基矢量示了中的三个行矢量分别表姿态矩阵BkjiARAAAAB,位姿描述 要完全描述刚体B在空间的位姿(位置和姿态)，通常将物体B与某一坐标系B相固接。B的坐标原点一般选在物体B的特征点上，如质心等。相对参考系A，坐标系B的原点位置和坐标轴的方位，分别由位置矢量B和旋转矩阵描述。这样，刚体B的位姿可由坐标系B来描述，即有 (2.9)Y(orientation) x(n
5、ormal) z(approach) ao nRAB手抓坐标系Y(orientation) x(normal) z(approach) ao nRAB平移坐标变换 (2.10)前面讨论的是在一个坐标系中位姿的描述，在大量的机器人问题中，涉及到用不同的坐标系来描述同一个刚体的位置及姿态问题，这就涉及到从一个坐标系的描述到另一个坐标系的描述之间的变换关系，这种变换关系包括：平平移变换和旋转变换移变换和旋转变换 旋转矩阵 设固定参考坐标系直角坐标为设固定参考坐标系直角坐标为Oxyz，动坐标系为，动坐标系为O uvw，研究旋转变换情况。研究旋转变换情况。xyzwvuPo(O)图2-3 初始位置时，动静
6、坐标系重合，初始位置时，动静坐标系重合，O、O 重合，如图。各轴重合，如图。各轴对应重合，设对应重合，设P点是动坐标系点是动坐标系O uvw中的一点，且固定不变。中的一点，且固定不变。则则P点在点在O uvw中可表示为：中可表示为： wwuvuuuvwkPjPiPP 、 、 为坐标系为坐标系O uvw的单位矢的单位矢量，则量，则P点在点在oxyz中可表示为：中可表示为： uivjwkzzyyxxxyziPiPiPPuvwPxyzP 当动坐标系当动坐标系O uvw绕绕O点回转时，求点回转时，求P点在固定坐标系点在固定坐标系oxyz中的位置中的位置 yzxo(O)uvwPPwPvPu图2-4已知：
7、已知：P点在点在O uvw中是不变的仍然中是不变的仍然成立，由于成立，由于O uvw回转，则：回转，则： wwuvuuuvwkPjPiPP)(PwwvvuuxxuvwxkPjPiPiiP)(PwwvvuuyyuvwykPjPiPjjP)(PwwvvuuzzuvwzkPjPiPjjP用矩阵表示为用矩阵表示为: wvwzvzzwvyywxvxxzyxPPPkkjkikkjjjijkijiiiPPPy（2-7） uvwxyzwzvzzwvyywxvxxPRpkkjkikkjjjijkijiii:Ry则旋转矩阵为：定义反过来：反过来： xyzuvwPRP1RRRdet*1T1RRRdet因此是正交矩阵
8、，的行列式，由于为的伴随矩阵，为RRRR旋转矩阵的几何意义 参考坐标系的姿态矩阵坐标系对可以作为固连于刚体的ABRAB) 1 PPAPPBRAB的坐标中的同一个空间点成坐标系变换点的坐标中的。它使坐标系可以作为坐标变换矩阵AB)2系中的投影之间的关系矢量在同一坐标示具有转动关系的两个可以作为算子。用来表RAB)3三个基本旋转矩阵),(xR即动坐标系即动坐标系 求求 的旋转矩阵，也就是的旋转矩阵，也就是求出坐标系求出坐标系 中各轴单位矢量中各轴单位矢量 在固定坐标系在固定坐标系中各轴的投影分量，很容易得到在重合时，有：中各轴的投影分量，很容易得到在重合时，有：角，轴转动绕，XOvwOvwOwvk
9、ji,Oxyz),(xR100010001R由图由图2-52-5可知，可知， 在在y y轴上的投影为轴上的投影为 ， 在在z z轴上的投影轴上的投影为为 , , 在在y y轴上的投影为轴上的投影为 ， 在在z z轴上的投影为轴上的投影为 ，所以有：，所以有： vjcosyjsinzksinyjwkcoszkvjwkwzvzzwvyywxvxxkkjkikkjjjijkijiiiy)R(x,xyzouvwUVWO图2-5cossin0sincos0001uxii方向余弦阵方向余弦阵同理：同理： cos0sin010sin0cos)y,R（1000cossin0sin-cos)z,R（comsin
10、0sincos0001)R(x,三个基本旋转矩阵三个基本旋转矩阵: : xyzouvwUWOxyzouvwUWOv绕坐标轴转动的旋转矩阵式中，s表示表示sin，c表示表示cos。以后将一律采用此约定。 旋转矩阵-举例例1 已知转动坐标系OUVW中的两点aUVW(4，3，2) T和bUVW(6，2，4) T，若OUVW系统绕OZ 轴转动了60。，试求参考坐标系中的相应点axyz和bxyz。 解 uvwZxyzuvwZxyzbRbaRa0060,60,旋转矩阵-举例例2 已知参考坐标系OXYZ中的两点aXYZ(4，3，2) T和bXYZ(6，2，4) T，若OUVW系统绕OZ 轴转动了60。，试求
11、转动坐标系中的相应点aUVW和bUVW。 解 xyzTZxyzxyzTZuvwbRbaRa0060,60, 合成旋转矩阵合成旋转矩阵: :例例1：在动坐标中有一固定点：在动坐标中有一固定点 ，相对固，相对固定参考坐标系定参考坐标系 做如下运动：做如下运动： R（x, 90）；）； R(z, 90)； R(y,90)。求点。求点 在固定参考坐标系在固定参考坐标系 下的位置。下的位置。 TuvwPo321OxyzuvwPoOxyz解解1：用画图的简单方法：用画图的简单方法 解解2：用分步计算的方法：用分步计算的方法 R（x, 90） R（z, 90） R（y, 90） 2313210101-000
