《建筑力学》李前程第九章梁的应力

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1、1建筑力学主讲单位： 力学教研室 （九）（九）2第九章第九章 梁的应力梁的应力第一节 平面弯曲的概念及实例第二节 梁的正应力第四节 梁的切应力第三节 常用截面的惯性矩、平行移轴公式第五节 梁的强度条件第六节 提高梁弯曲强度的主要途径3第一节 平面弯曲的概念及实例一、弯曲的概念 梁： 以弯曲变形为主的杆件。1. 弯曲变形 作用在通过杆件轴线的纵向平面内的一对等值、反向的力偶。受力特征：变形特征：杆件轴线由直线变形后成为曲线。2. 平面弯曲 受弯杆件的轴线为平面曲线时的弯曲称为平面弯曲。外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系。4第一节 平面弯曲的概念及实例2. 平面弯曲 梁的横截面通常采用对称形状,如

2、矩形、工字形、T 字形、圆形等。纵向对称面：包含梁横截面的一个对称轴及其梁轴线的平面称为纵向对称面。对称弯曲：作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内， 弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线， 这种弯曲称为对称弯曲。5第一节 平面弯曲的概念及实例2. 平面弯曲 横截面的对称轴横截面的对称轴梁的轴线梁的轴线纵向对称面纵向对称面变形后的轴线与外力变形后的轴线与外力在同一平面内在同一平面内6第一节 平面弯曲的概念及实例二、弯曲的实例l 伽利略（Galileo）历史回顾 2hbhFl )2(2bhM 7第一节 平面弯曲的概念及实例二、弯曲的实例楼板梁纵梁A8第一节 平面弯曲的概念及实例二、弯曲

3、的实例火车轮轴9第一节 平面弯曲的概念及实例桥式吊车梁二、弯曲的实例10mmFS第一节 平面弯曲的概念及实例三、弯曲的应力一般情况下，梁的横截面上既又弯矩 M ， 又有剪力 FS 。mmFSM mmM 只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素 才能合成弯矩才能合成弯矩只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素 才能合成才能合成剪力剪力所以，在梁的横截面上一般既有所以，在梁的横截面上一般既有 正应力正应力，又有又有 切应力切应力。11第二节 梁的正应力纯弯曲若梁在某段内各横截面上的 ，则该段梁的弯曲就称为纯弯曲。非纯弯曲各截面不仅有弯矩,还有剪力的作用,产生

4、弯曲变形的同时, 伴随有剪切变形。这种变形形式称为非纯弯曲。FFaaCDABMeMeCD梁的CD 段纯弯曲。梁的AC、DB 段非纯弯曲。12第二节 梁的正应力梁的CD 段纯弯曲。13第二节 梁的正应力1、研究内容1 1、正应力的分布情况、正应力的分布情况2 2、正应力计算公式、正应力计算公式2、分析思路：（变形固体的力学分析方法）1 1、变形的几何关系、变形的几何关系2 2、力与变形的物理关系、力与变形的物理关系3 3、静力平衡条件、静力平衡条件14第二节 梁的正应力一、 实验现象的观察与分析梁由直变弯, 以某层（中性层）为界,一侧伸长, 一侧缩短;横截面仍为平面，只是相对旋转了一个角度;在弯

5、曲过程中梁的横截面始终与梁的轴线保持正交。 若假设各纵向纤维间无相互挤压,则各纵向纤维只产生单向拉伸或压缩。15第二节 梁的正应力 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短， 因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。中性层中性轴两个概念16第二节 梁的正应力二、 正应力公式推导推导公式时，要综合考虑 几何 ，物理 和 静力学 三方面 。取 一 纯弯曲 梁段来研究 。17O1O2第二节 梁的正应力二、 正应力公式推导变形后：12dK Ky d变形前：12dK Kx()dddyy 1. 几何方面K1K2y1K2KOd1O2O上式表达了梁横截面上任一点处的纵向线应变

6、 随该点的位置而变化的规律。18第二节 梁的正应力二、 正应力公式推导2. 物理方面式中：y 几何方程由假设的纵向纤维受单向拉伸或压缩,所以,当正应力不超过材料的比例极限时,由胡克定律可得：EyEE= 常量结论：（1）正应力 与距离y 成正比,即正应力 沿截面高度按直线规律变化；（2）中性轴上各点处的正应力等于零, 距中性轴最远的上、下边缘处的 正应力最大。19第二节 梁的正应力二、 正应力公式推导2. 物理方面式中：yEE是未知的常量M需要解决的问题：需要解决的问题：如何确定中性轴的位置 ？如何计算 1/ ?中性轴20第二节 梁的正应力3. 静力学方面 物理方程yENdAAF0 dd0AAE

7、EyAy Ad0Ay Ad0CAy AyA形心坐标0Cy说明中性轴必通过截面的形心。（1 1）如何确定中性轴的位置 ？21第二节 梁的正应力3. 静力学方面yEdAyAM2ddAAEyEyAyA2zdAyAI（2 2）如何计算1/ ？M弯曲刚度梁横截面上正应力计算公式截面对z轴的惯性矩22第二节 梁的正应力zMyI梁横截面上正应力计算公式截面对z轴的惯性矩为所求应力点到中性轴的距离为横截面上的弯矩23第二节 梁的正应力zMyI梁横截面上正应力计算公式说明:(1) 式中M 和 y 均以绝对值代入;(2)正应力是拉应力还是压应力可由观察梁的变形来判断;符号规定：以中性轴为界:靠凸边一侧受拉，靠凹边

8、一侧受压。正应力拉为正；压应力为负。(3) 公式适用于所有横截面形状对称于y 轴的梁,如工字形、T 字形、 圆形截面梁等;(4) 公式适用于非纯弯曲的情况。24第二节 梁的正应力zMyIMMyyCZCZ中性轴中性轴中性轴中性轴思考:截面上拉应力与压应力发生在何处？拉应力区压应力区拉应力区压应力区25第二节 梁的正应力zMyI思考:（1） 中性轴为截面对称轴时最大最小正应力的关系？ 梁横截面上最大、最小正应力绝对值相等！梁横截面上最大、最小正应力绝对值相等！maxmaxmaxctMyCZ中性轴中性轴拉应力区压应力区26第二节 梁的正应力zMyI思考:12yy（2） 中性轴为不对称轴时最大最小正应

9、力的关系？ 梁横截面上最大正应力应分别计算梁横截面上最大正应力应分别计算: :2m axz()MyI1maxz()MyIzyM2y1ymax()max()maxmax()()27第三节 常用截面梁的惯性矩、平行移轴公式一、 简单截面的惯性矩计算1.矩形截面对 y , z 轴的惯性矩bhzyC已知：矩形截面b h, C 点为形心求：Iy， Iz解：取平行于z 轴和 y 轴的微元面积ddAb y3222222dd12hhhhzbhIyAy b y同理,得:312yhbI 28第三节 常用截面梁的惯性矩、平行移轴公式一、 简单截面的惯性矩计算2.圆形截面对 y , z 轴的惯性矩已知：圆截面直径 d

10、求：Iy， Iz， IP4P232yIdI 2201d2dyzIIrA解：取圆环微元面积rrAd2d42201(2)d264ddrrr29第三节 常用截面梁的惯性矩、平行移轴公式二、 组合截面的惯性矩计算 1.组合截面由几个简单图形组成的截面称为组合截面。截面各组成部分对某一轴的惯性矩之代数和， 就等于该截面对于同一轴的惯性矩。z3z2z1zIIIIzzzz12330第三节 常用截面梁的惯性矩、平行移轴公式二、 组合截面的惯性矩计算2.平行移轴公式 截面对任一轴的惯性矩,等于它对平行该轴的形心轴的惯性矩,加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。21yAyIIb21AzzIIabhyCzz11332

11、2A( )1223zzbhhbhIIabh31第三节 常用截面梁的惯性矩、平行移轴公式三、 矩形截面的静矩bhyCzzdCASy AA yz00CSA ybh思考思考: :矩形截面对过形心矩形截面对过形心 的中性轴的静矩：的中性轴的静矩：梁横截面上距中性轴为 y 的横线以外部分的面积A*对中性轴的静矩yA*2*2z0()2()()2224hyhb hSAybyyydyCASz AA z图形对于 y 轴的静矩图形对于 z 轴的静矩C点是图形的形心,坐标为: xC ,yC32第三节 常用截面梁的惯性矩、平行移轴公式四、 组合截面的形心坐标AAyASyAzCdCyAzSAyAzSdAzAySdCzA