数学建模—线性规划
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1、2022-5-31数学建模2022-5-31第三讲 线性规划应用实例分析线性规划问题的求解方法实验准备 如果生产某一类型汽车，则至少要生产如果生产某一类型汽车，则至少要生产8080辆，辆， 那么那么最优的生产计划应作何改变？最优的生产计划应作何改变？例例1 汽车厂生产计划汽车厂生产计划 汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量如下表。劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量如下表。 小型小型 中型中型 大型大型 现有现有量量钢材（吨）钢材（吨） 1.5 3 5 600劳动时间（小时）劳动时间（小时）
2、 280 250 400 60000利润（万元）利润（万元） 2 3 4 制订月生产计划，使工厂的利润最大。制订月生产计划，使工厂的利润最大。LP实例一 汽车生产设每月生产小、中、大型设每月生产小、中、大型汽车的数量分别为汽车的数量分别为x1, x2, x3，工厂的月利润为工厂的月利润为z z。321432xxxzMax6005351.321xxx.ts60000400250280321xxx0,321xxx汽车厂生产计划汽车厂生产计划 模型建立模型建立 小型小型 中型中型 大型大型 现有量现有量钢材钢材 1.5 3 5 600时间时间 280 250 400 60000利润利润 2 3 4
3、线性线性规划规划模型模型(LP)模型求解模型求解 3） 模型中增加条件：模型中增加条件：x1, x2, x3 均为整数，重新求解。均为整数，重新求解。 %汽车生产计划：线性规划模型%format short c=-2;-3;-4;a=1.5,3,5;280,250,400;b=600;60000;x =linprog(c,a,b,zeros(3,1)FVAL=(-c*X)结果为小数，结果为小数，怎么办？怎么办？1）舍去小数：取）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值，算出目标函数值z=629，与与LP最优值最优值632.2581相差不大。相差不大。2）试探：如取）试探：如取x1=
4、65，x2=167；x1=64，x2=168等，计算函等，计算函数值数值z，通过比较可能得到更优的解。，通过比较可能得到更优的解。 但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？汽车厂生产计划汽车厂生产计划 例例2 投资方案确定投资方案确定LP实例二 投资问题某企业要进行投资，现有四个投资项目。项目A：从第一年到第四年的每年年初需要投资，并于次年年末回收本利115；项目B：从第三年年初需要投资，到第五年年末回收本利125%，但规定最大投资额不超过40万元；项目C：第二年初需要投资，到第五年末才能回收本利140%，但规定最大投资额不超过30万元；项目D：五年内每
5、年的年初可买公债，于当年年末归还，并可获得6%的利息。已知该部门现有资金100万元，试为该企业确定投资方案，使得第五年末它拥有的资金本利总额最大？模型建立模型建立LP实例二 投资问题u决策变量。决策变量为每年年初向四个项目的投资额，设第i(i=1,2,3,4,5)年年初向A,B,C,D(j=1,2,3,4)四个项目的投资额为xij（万元）。u目标函数。设第五年年末拥有的资金本利总额为z。项目年份12345投资限额/万元Ax11x21x31x41Bx3240Cx2330Dx14x24x34x44x54所有可能的投资项目表LP实例二 投资问题投资方案要使得第五年末资金本利总额最大，目标函数应该是四
6、项投资在第五年年末的本利之和，于是 约束条件模型建立模型建立54233241061401251151 x.x.x.x.zMax1001411xx（1）为了获得最大的投资收益，每年年初应将手头的全部资金投出去，因此第一年的投资总额应是100万元，即（2）b第二年的投资总额应是第一年年底回收的各项投资的本利，即14242321061x.xxxLP实例二 投资问题模型建立模型建立（3）同理，第三、四、五每年的投资额应是上一年年底回收的各项投资的本利，即第三年：第四年：第五年：314454213444411124343231151061151061151061x.x.xx.x.xxx.x.xxx项目年
7、份12345投资限额/万元Ax11x21x31x41Bx3240Cx2330Dx14x24x34x44x54LP实例二 投资问题（4）由于投资的限额，因此还有模型建立模型建立30,402332xx数学模型数学模型4,1;5 ,1,0jixij314454213444411124343231151061151061151061x.x.xx.x.xxx.x.xxx14242321061x.xxx1001411xx54233241061401251151 x.x.x.x.zMaxs . t .LP实例二 投资问题（3）用matlab的linprog函数求解，可得模型求解%线性规划：投资问题%c=ze
