第七章 FIR数字滤波器设计2

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1、1 17.2 7.2 窗函数设计窗函数设计FIRDFFIRDFp 设计思想设计思想保证线性相位逼近理想滤波器 一般情况下是无穷序列，需对其进行截断，即时域加窗加窗的影响窗函数的设计()jdHed( )( ) ( )h nhn w n2 27.2.1 7.2.1 用窗函数法设计用窗函数法设计FIRDFFIRDF的基本方法的基本方法 具体设计步骤： （1）构造希望逼近的频率响应函数 。以低通线性相位FIRDF设计为例，一般选择 为线性相位理想低通滤波器，即 （7.2.1） （2）求出 。对 进行IFT得到()jdHe()jdHejcjdce, (e)0, H()jdHe( )dh nccjjjjc

2、ddsin()11( )(e)edeed22()nnnh nHn3 3（3）加窗得到FIRDF的单位脉冲响应h(n) 式中，w(n)称为窗函数，其长度为N。 如果要求设计第一类线性相位FIRDF，则要求h(n)关于 (N-1)/2点偶对称。 而hd(n)关于n=点偶对称，所以要求=(N-1)/2。同时要求w(n)关于(N-1)/2点偶对称。d( )( ) ( )h nh n w ncdsin ()()()nhnnjjg(e)FT ( )( )eHh nH4 4例：例：低通滤波器 N =31， /4c5 57.2.2 7.2.2 窗函数法的设计性能分析窗函数法的设计性能分析(1)/2N1,01(

3、 )( )0,RNnNw nRnn其它1(1)2sin(2)sin(2)()()jNjRRjRgW eFT wneeNWu矩形窗函数：u其DTFT为：6 6 理想滤波器 加窗得到的FIRDF的单位脉冲响应为 h(n)的频率响应函数( )( )( )dRh nhn wn()( )jjddgHeHe1() ( )()()2jjjdRH eFT h nHeWe7 7()1()()()21()()2jjjdRjjdRH eHeWeH eWed ()( )jgHe 1( )()2jdgRgeHWd()1( )()2jjdgRgHeWed 1( )( )2jdgRgeHW8 8 幅度特性等于理想低通滤波器

4、的幅度特性与窗函数幅度特性的卷积 相位保持严格线性 因此，只需分析幅度逼近误差1( )( )( )2( )(1)/2gdgRgHHWN ()()jjddgHeHe理想滤波器传输函数 DTFT()( )()jjRRRgWeFT wnWe矩 形 窗 函 数 9 9矩形窗对理想低通幅度特性的影响1( )()2dgRgHWd1( )()2dgRgHWdRgsin(/ 2)()sin(/ 2)NW1010理想低通滤波器过渡带宽度为零，但是Hg()以=c为中心形成过渡带，过渡带宽带近似等于B=4/N.在=c频率点幅度衰减6dB（等价于幅度下降1/2）。理想低通滤波器通带和阻带幅度分别为常数1和0，而Hg(

5、) 在通带和阻带均有波纹（通常称为吉布斯效应）。这些波纹是由矩形窗函数幅度特性旁瓣引起的，旁瓣幅度越大， Hg()波动幅度就越大。l加矩形窗引起的幅度误差（加窗效应）增加窗函数长度可以使过渡带宽带变窄。选用合适的窗函数可以使阻带最小衰减得到改善。l减小误差的方法1111改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性，窗函数有改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性，窗函数有许多种，但要满足以下两点要求：许多种，但要满足以下两点要求：窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带；窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带；相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在主瓣中

6、，这样就主瓣中，这样就 可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和通带平稳性。通带平稳性。但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来换取对旁瓣的抑制。l对窗函数的要求12121 1矩形窗（矩形窗（Rectangle WindowRectangle Window）窗函数的几个参数: 旁瓣峰值n窗函数的幅频函数 的最大旁瓣的最大值相对主瓣最大值的衰减（dB）； 过渡带宽度B用该窗函数设计的FIRDF的过渡带宽度； 阻带最小衰减s用该窗函数设计的FIRDF的阻带最小衰减。 ( )( )RNwnRnjjRRRg(e)FT( )( )e, (1)/2WwnWNRgs

7、in(/2)( )sin(/2)NWg( ) W7.2.3 7.2.3 典型窗函数介绍典型窗函数介绍 1313 矩形窗的四种波形如图 1414矩形窗函数的损耗函数曲线 主瓣宽度与N 成反比，即滤波器过渡带宽度与N 成反比，但是旁瓣峰值并不随N增大而变化13,4/,21nsdBBNdB 15152 2三角窗（三角窗（Bartlett WindowBartlett Window）B21，012( )212，112nNnNwnnNnNN2jj(1)/2BB2sin(/4)(e)FT( )esin(/2)NNWwnN2Bg2sin(/4)( )sin(/2)NWN单位脉冲响应：频率响应：n其主瓣宽度为

8、其主瓣宽度为25,25nsdBdB 8 / N1616三角窗的四种波形如图 17173 3升余弦窗（汉宁窗升余弦窗（汉宁窗: Hanning Window: Hanning Window）hn2( )0.5 1cos( )120.5( )( )cos1NNNnwnRnNnRnRnN窗函数：频率响应： 11222112211220.50.2511220.50.2511NNjjjNhnRgRgNjNRgNjRgRgRgWeWeWeNWeNWWWeNN1818当N1，可近似为： 三部分矩形窗频谱相加，使旁瓣互相抵消，能量集中在主瓣，旁瓣大大减小，主瓣宽度增加1倍，为 12220.50.25Njjhn

9、RgRgRgWeWWWeNN 220.50.25jhngRgRgRgWeWWWNN8N31,44nsdBdB 1919汉宁窗的四种波形如图 20204 4改进升余弦窗（哈明窗改进升余弦窗（哈明窗: Hamming Window: Hamming Window） hm2( )0.540.46cos( )1NnwnRnNjj(1)/2hmhmhmg(e)FT( )( )eNWwnWhmgRgRgRg22( )0.54( )0.230.23WWWWNN 窗函数： 频率响应：2121 是对汉宁窗的改进，在主瓣宽度（对应第一零点的宽度）相同的情况下，旁瓣进一步减小，可使99.96%的能量集中在窗谱的主瓣

10、内。408/53nsdBBNdB 2222哈明窗的四种波形如图 23235 5布莱克曼窗（布莱克曼窗（Blackman WindowBlackman Window）窗函数: 增加一个二次谐波余弦分量，可进一步降低旁瓣，但主瓣宽度进一步增加，增加N可减少过渡带频率响应：24( )0.420.5 cos0.08 cos( )11blNnnwnRnNN)12()12(25. 0)(42. 0)(NWNWWWRRR)14()14(04. 0NWNWRR5712 /74nsdBBNdB 2424布莱克曼窗的四种波形如图 252526266 6凯塞窗（凯塞窗（Kaiser WindowKaiser Win

11、dow） 以上五种窗函数，滤波器的阻带衰减是固定的 不同的窗函数通过增加主瓣宽度为代价来降低旁瓣。 凯塞窗则可自由选择主瓣宽度和旁瓣衰减。 对给定的指标，凯塞窗函数可以使滤波器阶数最小。2727 凯塞窗函数 是调整参数，可自由选择决定主瓣宽度与 旁瓣衰减。越大其频谱的主瓣变宽，旁瓣变小。 22111( )( )okNonINw nRnI2828 I0(x)是零阶修正贝塞尔函数 参数 控制滤波器阻带的最小衰减 通带纹波幅度近似等于阻带纹波幅度，未单独控制210!)2/(1)(kkkxxIs0.40.1102(8.7)500.5842(21)0.07886(21)215002182.285ssss