第02章流体静力学

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1、1第二章 流体静力学Chapter 2 Hydrostatics2n流体静力学是研究流体在外力作用下处于静止状态的力学平衡规律。在外力作用下的流体体系，如果各种力相互平衡，流体处于平衡状态，也就是达到了静力平衡。n本章研究的流体静力学原理对于处于相对静止的流体体系也是适用的（广义的静力平衡）。例如：静止杯中的水以等角速度旋转杯中的水匀加速直线运动杯中的水研究对象(Objects of Study)3重要特点(Important Features): 处于静力平衡状态的流体，由于无流体的相对运动，此时无论流体是否具有粘性，相对静止的流体都不会产生粘性内摩擦阻力和粘性动量传输。所以流体静力学得到的

2、结论对理想流体和牛顿粘性流体都是成立、适用的。 研究流体静止平衡状态下的力学规律，实质上就是要确定流体中压力分布规律，以及对其约束容器壁的作用力，这在工程中具有重要的意义。例如:压力容器的强度及安全性、水库大坝、铸造抬箱力。4 按力的作用方式不同，作用在流体上的力可以分为质量力和表面力。一、质量力定义：作用在流体的每一质点（或微元体）的质 量中心上，且与质量成正比的力。2.1 作用在流体上的力与流体的静压力 Forces on Fluids and Hydrostatic Pressure5 例如：在密度为 的流体中取一控制微元体 ，其质量为： ，根据牛顿力学，质量为m的微元体的流体在各种加速

3、度的作用下，会产生力的效应 。工程中常见的加速度有三种：n直线加速度 n重力加速度 n离心加速度VmVFm qga2r 6 对应三种加速度，就会有三种质量力产生：这三种力可以合成： 为合成加速度。2LRGmgFmaFmr重力 直线惯性力 离心惯性力 2()LRFGFFm garmqq7 二、表面力定义：作用在所取的流体的分离体的表面上，且与表面积大小成正比的力。 例如，作用在自由表面上的力；作用在选取的微元体上的力等。粘性力也是一种表面力。8 三、流体的静压力及其特性 Hydrostatic Pressure and Its Properties 在一个处于静力学平衡态流体体系上，用任意一AB

4、平面分割为上下两部分、 。在剖面AB上显然存在、两部分两个大小相等，作用方向相反的力，分离开后，只有分别继续施加相同的作用力分布，才能使两个分离部分各自继续保持平衡。9考察部分，在AB上面部分的作用力分布根据流体的连续介质概念，压力分布 在AB面上应该是连续的。考察AB面上一点m上所受的压力Pm，设m点的空间坐标为 ，则 ，称Pm为流体内部在m点处的静压力（而称 为在任意平面AB上的静压力分布）：( , , )P x y z( , , )P x y z,mmmxy z(,)mmmmpp xyz( , , )P x y z0limmAFPA10 流体静压力有两个主要特性： Two Propert

5、ies of Hydrostatic Pressure 流体内部任意一点处的静压力方向始终沿着作用面的内法线方向（而内法线方向上的力就是压力）。因为流体不能承受拉、切应力。（外法线是拉应力；不垂直，会在平面上产生切应力分量）； 从各个方向作用于同一点的流体静压力是相等的。即作用在该点的静压力大小与该点作用面的空间方位无关。注：虽然同一点的各个方向压力相等，但不同点的压力 却是不一样的，是空间位置的函数。11 一般情况下，流体体系中的静压力是一个空间位置的函数，所以为了确定任意流体体系的静压力分布，需要描述流体静压力分布的微分方程，该方程叫流体静力平衡微分方程，也称欧拉方程(Euler Equa

6、tion)。2.2 流体静力平衡微分方程及等压面12一、流体静力平衡微分方程（欧拉方程） 在三维处于静力学平衡的流体中任意一点(x,y,z)为中心，取一六面体微元，如图示，设A点静压力为p(x,y,z)。 下面来分析单元体的受力情况：13表面力： 将该微元体视为一分离体，也处于静态，它的六个表面受到周围流体的静压力，压力方向均垂直指向表面。如，x方向法线的左右两表面上的压力分别为：pdx dydzxdydzpdx dydzx1左面： (p-)2为作用面积1右面： (p+)214 所以，作用在微元体上沿x方向的流体总静压力为：同理，作用于微元体y、z方向的总静压力分别为：xmnppFFFdx d

7、ydzdx dydzxxpdxdydzx11(p-)(p+)22yzpFdxdydzypFdxdydzz 15质量力： 考虑任意方向的质量力 ，为不失一般性，可分解为在x,y,z轴上的三个分量： 式中X,Y,Z分别为合成加速度在x轴，y轴，z轴上的投影，即222xyzxyzxzWXgarMWYgarMWZgarMFXxdydzFYxdydzFZxdydz 式 中 ： FWqX iY jZ kM 16 所取微元体处于静力学平衡态，要求在x,y,x三个坐标方向的所有力都平衡，即：式（2-3）为流体静力学平衡微分方程，也称欧拉方程。00230 xxyyzzpXxFFpFFYyFFpZz17 在只有重

8、力场作用下：(2-3)式变化为：,xyzXgqgYgZg(24)xyzpgxpgypgz18式(2-3)或(2-4)式流体静力平衡方程在三个坐标方向上的分量方程形式，在实际应用时，将这三个方程写成全微分方程的形式更加方便。做法是用dx, dy和dz分别乘(2-3)式各方程的两边，相加适当整理得：()pppdxdydzXdx YdyZdzxyz19因为在静力学平衡条件下，流体中的静压力只是空间坐标(x,y,z)的函数，所以上式左端实际可以视为在(x,y,z)点流体压力p(x,y,z)的全微分：则上式得到全微分形式的欧拉方程： pppdpdxdydzxyz()(25)dpXdxYdyZdz20 对

9、于不可压缩的流体（密度为常数），方程(2-5)的右端可以视为某一势函数的全微分：也即：UUUdUdxdydzxyzUXxUYyUZz21欧拉方程可进一步写成简化形式：dU 的具体形式取决于流体所处于质量力场(26)dPdU22等压面：流场中凡是压力相等的各点组成的曲面（空间）。根据等压面的定义，等压面方程为: P(x,y,z)=Constant 或：dP=0.由(2-6)式有： dU=Xdx+Ydy+Zdz=0 (2-7)也称为等压面微分方程。二、等压面的概念23等压面具有以下三个重要的特点：等压面的实质就是等势面；静止流体中任意一点的质量力必然垂直于通过该点的等压面；处于平衡态的非混合的两种

10、不同流体的接触分界面必然为等压面。24例题：求重力场下静止流体的等压面？解： 取坐标Z轴垂直向上， 当质量力仅仅为重力时： 将 X=Y=0，Z=-g，代入方程（27） Xdx+Ydy+Zdz=0 则： -gdz=0 z=常数 结论：等压面为一簇水平面25 如图所示的流体体系中，只有向下的重力，则质量力在各坐标轴上的投影为：X=0，Y=0，Z= -g，且流体不可压缩，则(2-5)式变为：积分得： 式中，c为积分常数，可由边界条件确定。2.3 流体静压力基本方程及其意义dPgdz (29)PzCg26 (2-9)式表明：在重力作用下，静止流体中的任一点的压力能与位能之和为常数，即任意两点压力能与位

11、能之和相等。若取自由表面z=z0,p=p0作为基准点，代入方程(2-9)得：式中：h=z0-z 为任意一点距自由表面的深度。n定义任意一点的流体位势能与压力势能之和为总势能；n定义任意一点的位置水头与压力水头之和为静水头。0(210)PPgh2728 结果与讨论：物理意义：在静止的不可压缩、密度均匀的流体中，任意的单位质量流体的总势能保持不变；几何意义：在静止的不可压缩、密度均匀的流体中，任意点的静水头连线为一平行于基准线的水平线； 位置水头与压力水头可以相互转换。29大气压力：绝对压力：相对压力（表压）：真空压力(真空度)：此时即表压和真空度是数值相等符号相反的两个量2.4 不同基准的压力表

12、示方法app大气appgh绝apppgh表绝,0appp绝表vapppghp绝表30 (2-10)式给出的压力为绝对压力，在工程中测量某一绝对压力是较复杂的，而采用开口测压管测压力要方便很多。该法测得的压力相对大于大气压，所以又称为相对压力，也称为表压。 工程上常常会遇到绝对压力小于大气压的情况，此时采用相对压力法，测得得表压是负值。将绝对压力不足于大气压的差值称为真空压力(简称为真空度)，用Pv表示各种压力表示方法的相互关系如下图所示。vapppghp 绝表3132 压力的单位： 我国推行采用国际标准单位制，采用法定计量单位为：帕斯卡，符号：PaPa=1N/m2 ；大气压：液柱高度：2211

13、01325/0.1198100/N mMPaN m标准大气压工程大气压251()133.3221()9.80665110mmHgPammH OPabarPa毫米汞柱毫米水柱33压力的测量3435 在工程中，常常遇到旋转容器中液体相对静止平衡问题，较典型的例子是立式和卧式离心铸造。一般是采用流体静力学方法来求解这一动力学问题，此时，需要将垂直于旋转轴的平面坐标上的质量力引入惯性力。2.5 等角速度旋转容器中液体的相对平衡36 如图2-13所示，此稳定旋转液体中任意一点m的加速度在X, Y, Z三个坐标上的分量分别为： 式中：r为质点m所在半径，x, y为r在x, y轴上的投影。2222cossi

14、nXrxYryZg 37将质量力代入全微分形式的流体静力平衡方程： 得： 积分得:或：利用边界条件，当r = 0, z = 0时P = P0可定出积分常数C=P0。则图中液体中任意一点m压力分布表达式: （227）可见压力分布是有关半径r的二次曲线。()dpXdxYdyZdz22()dpxdxydygdz 2222()22xyPgzC2 2()2rPgzC)2(220zgrgPP38等压面方程： 将上述单位质量力的分力代入等压面微分方程(2-7)： Xdx+Ydy+Zdz=0 得： 积分得：或： (2-28) 即等压面是一簇绕z轴旋转的抛物面。220 xdxydygdz22221122xygz

15、C22/2rgzC39自由表面方程： 将自由表面上一点r = 0,z = 0代入上式，则C=0，得自由表面方程： (2-28a) 或： (2-28b) 22/20srgz22/2szrg40讨论：将(2-28b)代入(2-27)，可得： 可见，绕垂直轴等角速度旋转容器中液体的静压力公式(2-27)与静止流体中静压力公式(2-11)完全相同。即,液体内任一点的静压力等于液面上的压力P0加上液体的密度与重力加速度及该点淹深的乘积。00()(229)sPPg zzPgh41一、作用在平面上的总压力 一容器盛(水)液体高度为h，作用在底面上的(面积为A)总压力为： 可见，作用在水平面上的总压力只与液体

16、的种类(密度)，作用面积A，液深及自由表面压力有关。而与容器的形状无关(即与体积无关)。 2.6 静止液体作用在平面及曲面上的总压力0()FPAPghA42 图2-12所示的具有相同底面积A，相同的液高，但形状不同的四个容器底面受到的总压力是一样的。43二、倾斜平面所受的压力 如图所示，如容器侧壁为一倾斜的平面，面积为A，平面倾斜角为，坐标轴选取如图示，为求作用在此平面上的液体总压力，在该平面上取微元面dA其深度为h，该处的压力为p垂直于平面，则微元体的总压力为：44454647由 可得如下结论： 作用在倾斜平面A上的液体总压力为一假想体积的液体重量，该假想体积是以面积为A的平面为底，以平面形

17、心淹深hc为高的柱体。 当液体表面上的压力为P0 时，倾斜面所受到的总压力为： 例：=()-()-() (1)(1)sfFF GGFF抬抬抬箱力 铁水对上箱砂型的总压力 上箱砂型重量上砂箱重量压铁重量抬箱力cFgh A 0()cFPghA48例题4950三、静止液体作用在曲面上的总压力1.作用在曲面上各点的流体静压力均垂直于容器器壁，形成了复杂的空间力系。求曲面所承受的总压力的问题，实质上是空间力系的合成问题；2.以一个二向曲面为例，分析作用在二向曲面上的总压力:选取合适的坐标系；选取一微元面积dA，其受力为： ( 为dA内法线方向)将 沿所取的坐标分解为相应的分量，并分别计算各方向上的总分力

18、 将积分求得的各总分力合成，即得作用在曲面上的总压力。dFghdA nndF51525354 两条重要结论：作用在压曲面上的液体总压力的水平分力 等于作用在该曲面对垂直坐标面yoz的投影面Ax上的液体总压力，Fx通过Ax的压力中心。作用在曲面上的液体总压力的垂直分力 等于曲面所承受垂直方向上液体体积（称压力体）的总重量，Fz的 作用方向通过压力体的重心。(a)大小： (b)方向：xcxFgh AzpFgV22xzFFFarctan(/)zxFF55565758 潜入静止物体会受到来自液体各个方向的静压力称静止液体对潜入其中的物体的总作用力为浮力。这个浮力实际是液体对潜入体各个方向压力的总合力，称总压力. 由阿基米德原理可知，静止液体中的潜体受到的垂直方向上的浮力，其大小等于物体所排开的同体积液体的重量。2.7 静止液体作用沉没物体上的总压力垂直力：上下两半曲面静压力差为物体排开液体的重量；水平力：左右两半曲面所受静压力大小相等,方向相反。5960