工程力学第10章

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1、魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编101 压杆稳定的概念及工程实例1011 压杆稳定的工程实例 如图10-1所示，气阀的挺杆、汽车液压缸活塞杆等均属于受轴向压力作用的细长杆件。当轴向压力达到某一数值时，细长杆件将会失去直线形式的平衡而变弯，从而丧失正常工作能力，当压力过大时，甚至因变弯而折断，这种失效形式称为压杆丧失稳定性而失效。 图10-1 受压直杆的工程实例魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编101 压杆稳定的概念及工程实例1012 压杆稳定性的概念图10-2 受压直杆稳定性实验a) 受压直杆 b) F小于Fcr时 c) F=F

2、cr时b)c)a) 为了说明压杆稳定性概念，现做一实验。如图10-2a所示，在一细长杆的两端加轴向压力F，当压力F较小时，杆件保持直线平衡状态。此时，若用一横向力FQ给杆以横向干扰，使杆微弯，随即撤去干扰，则杆件能依靠材料的弹性抗力弹回，经过几次摆动后，恢复到直线平衡状态。这说明杆件所处的直线平衡状态经得起干扰，是稳定的。魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编101 压杆稳定的概念及工程实例 当力F达到某一值 Fcr时，再用一横向力FQ给杆以横向干扰，使杆微弯，但去掉干扰后，杆件继续保持微弯状态（见图10-2c）。说明杆件在Fcr作用下的直线形式平衡状态是不稳定的。

3、开始丧失了稳定，简称为失稳。因此定义： 受压直杆保持其直线形式平衡状态的能力称为压杆的稳定性。 魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编102 临界压力与临界应力1021 临界压力 1临界压力的定义 使轴向受压杆件由稳定的直线形式平衡状态过渡到不稳定平衡状态的轴向压力的临界值，称为临界压力。 2临界压力的欧拉公式 对于等截面细长直杆，在1744年欧拉最早提出，在杆内应力不超过材料的比例极限时，杆件的临界压力大小由下面公式来求，即22()crEIFl （10-1） 式中 Fcr临界压力； I杆件横截面对中性轴的惯性矩； 与支承情况相关的长度系数。魏道德魏道德工程力学工程

4、力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编102 临界压力与临界应力 式（10-1）称为临界压力的欧拉公式，由此公式可以看出，临界压力大小由杆件的材料、长度、截面形状和尺寸及杆端的支承情况决定。l称为相当长度。不同支承情况下的值列于表10-1中。应用式（10-1）时，注意以下两点： 1）欧拉公式只适用于材料的线弹性范围，即杆内应力不超过材料的比例极限。 2）对于沿各个方向约束相同的情形（例如球铰约束），I取截面的最小惯性矩，即I=Imin；对于沿不同方向具有不同约束条件的情形，计算时，应根据截面惯性矩和约束条件，首先判断失稳时的弯曲方向，从而确定截面的中性轴以及相应的惯性矩。 例10-1 如图

5、10-3所示，一细长钢制压杆的截面为矩形，h=4cm，b=2cm，杆长l=100cm。杆的一端固定，另一端自由，材料的弹性摸量E=196GPa。试计算此压杆的临界压力。魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编102 临界压力与临界应力 因IyIz，故压杆失稳弯曲时，截面绕y轴转动，故取I=Iy计算临界压力，由式（10-1）得 解 根据题意，查表10-1可知，此压杆的长度系数=2。压杆截面为矩形，故截面绕y轴和z轴的惯性矩分别为 图10-3 一细长钢制压杆33444 2cm2.67cm1212yhbI33442 4cm10.67cm1212zbhI22982223.14

6、196 102.67 10N12899N()(2 100 10)crEIFl魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编102 临界压力与临界应力 由例10-1可知，如果压杆截面对各形心轴的惯性矩不相等，则在计算临界压力时，应取最小的形心轴惯性矩Imin来计算。 细长压杆的临界压力除以其横截面面积所得到的值，称为临界应力，用cr表示。设压杆的横截面面积为A，则由式（10-1）可知临界应力为 1022 临界应力22()crcrFEIAlAIiA引入惯性半径 2222()()crcrFEIElAlAi魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编102 临

7、界压力与临界应力li(10-2)令22crE （10-3） 得式中 压杆的柔度，无量纲。压杆的柔度综合反映了压杆的支承情况、长度、截面形状和尺寸等因素对临界应力的影响。 式（10-3）临界应力的欧拉公式，并由此可以看出， 值越大，则临界应力越小，压杆的稳定性就越差。反之， 值越小，其临界应力越大，压杆的稳定性就越好。因此，柔度是压杆稳定性计算中的一个重要参数。魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编102 临界压力与临界应力1023 欧拉公式的适应范围与直线经验公式 1欧拉公式的适用范围 由于临界压力的欧拉公式只在压杆工作应力处于材料的线弹性范围内，即杆内应力不超过材

8、料的比例极限P时才成立，因此欧拉公式的适用范围可表示为或改写为 22crE P 2PPEE 2PEP = （10-4） 魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编102 临界压力与临界应力于是，欧拉公式的适用范围又可写为 P P称为对应于材料比例极限的柔度，是由材料本身性质所决定的量，其值可由式（10-4）求出。如Q235A钢，E=206GPa，P=200MPa，将他们代入式（10-4）得P100；又如铸铁，P80。P的压杆称为大柔度杆或细长杆。 2直线经验公式 工程中常遇到一些相对短粗的压杆，其工作应力往往介于材料的比例极限P与屈服点s（或屈服强度0.2）之间，也就是

9、其柔度 P，它不会因静强度不够而破坏，但可能会丧失稳定性，其临界应力不能用欧拉公式计算。魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编102 临界压力与临界应力 研究表明， P的压杆，其临界应力可用经验公式计算。常用的有直线经验公式和抛物线公式，这里只介绍直线经验公式。 对于合金钢、铝合金、铸铁和木材等材料制成的压杆，当 P时，一般采用直线公式，其表达式为cr=a-b （10-5） 式中 a、b 与材料本身性质有关的常数，单位为MPa。几种常 用材料的a、b值见表10-2。 使用直线经验公式时，要注意适用范围。对塑性材料制成的压杆，其临界应力不应超过材料的屈服点s，否则，压

10、杆因强度不足而失效。故cr=a-b abs sab （10-6） s称为对应于材料屈服点的柔度。如Q235A钢的s=240MPa，a=310MPa，b=1.12MPa，将这些数据代入到式（10-5），得s60。于是，直线经验公式的适用范围是sP。柔度在该范围内的压杆称为中柔度杆或中长杆。 对于s的压杆称为小柔度杆或粗短杆。此类压杆在失稳之前杆内应力已达到了材料的屈服点，将因强度不够而破坏，属于强度问题，为了统一起见，也把s看成是临界应力，即cr =s 。魏道德魏道德工程力学工程力学 魏道德魏道德 贾玉梅贾玉梅 主编主编102 临界压力与临界应力1024 临界应力总图图10-4 临界应力总图 A