数学建模培训回归分析

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1、数学建模与数学建模与matlab软件软件-回归分析回归分析教学目的教学目的教学内容教学内容2、掌握用数学软件求解回归分析问题。、掌握用数学软件求解回归分析问题。1、直观了解回归分析基本内容。、直观了解回归分析基本内容。1、回归分析的基本理论。、回归分析的基本理论。3、实验作业。、实验作业。2、用数学软件求解回归分析问题。、用数学软件求解回归分析问题。变量之间的关系变量之间的关系确定性关系确定性关系相 关 关 系相 关 关 系2rS 确定性关系确定性关系身高和体重身高和体重相关关系相关关系相关关系的特征是相关关系的特征是:变量之间的关系很难用一变量之间的关系很难用一种精确的方法表示出来种精确的方

2、法表示出来.确定性关系确定性关系和和相关关系相关关系的联系的联系由于存在测量误差等原因由于存在测量误差等原因,确定性关系在实际确定性关系在实际问题中往往通过相关关系表示出来问题中往往通过相关关系表示出来;另一方面另一方面,当对当对事物内部规律了解得更加深刻时事物内部规律了解得更加深刻时,相关关系也有可相关关系也有可能转化为确定性关系能转化为确定性关系.回归分析回归分析处理变量之间的相关关系的一处理变量之间的相关关系的一种数学方法种数学方法,它是最常用的数理统计方法它是最常用的数理统计方法.回归分析的任务回归分析的任务根据试验数据估计回归根据试验数据估计回归函数函数;讨论回归函数中参数的点估计讨

3、论回归函数中参数的点估计、区间估计区间估计;对回归函数中的参数或者回归函数本身进行假设对回归函数中的参数或者回归函数本身进行假设检验检验;利用回归函数进行预测与控制等等利用回归函数进行预测与控制等等.一元线性回归一元线性回归多元线性回归多元线性回归回归分析回归分析数学模型及定义数学模型及定义*模型参数估计模型参数估计* *检验、预测与控制检验、预测与控制可线性化的一元非线可线性化的一元非线性回归（曲线回归性回归（曲线回归）数学模型及定义数学模型及定义*模型参数估计模型参数估计*多元线性回归中的多元线性回归中的检验与预测检验与预测逐步回归分析逐步回归分析一、数学模型一、数学模型例例1 测测16名

4、成年女子的身高与腿长所得数据如下：名成年女子的身高与腿长所得数据如下：以身高以身高x为横坐标，以腿长为横坐标，以腿长y为纵坐标将这些数据点（为纵坐标将这些数据点（xI，yi）在平面直角坐标系上标出在平面直角坐标系上标出.1401451501551601658486889092949698100102散点图散点图xy10作图命令：作图命令：x=143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164;y=88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102;plot(x,y,+)一

5、元线性回归分析的主要任务是：一元线性回归分析的主要任务是：xY10，称为 y 对对 x的回归直线方程的回归直线方程.二、模型参数估计二、模型参数估计1、回归系数的最小二乘估计、回归系数的最小二乘估计其中其中niiniiynyxnx111,1niiiniiyxnxyxnx11221,1 010令上两式为 ，解得， ，得01为此，将上式分别对，求偏导，得011001112()2()niiiniiiiQyxQx yx 22110 xxyxxyxy1121 niiiniixxyyxx或(0,1)iiiLS 用这种方法求出的估计称为 的最小二乘估计，简称估计。（经验）回归方程为)(110 xxyxy10

6、( ,)(1,2,., )( , )iinx yinx y 显然， 是拟合直线的斜率，是拟合直线的截距。个点的几何重心落在拟合直线上。22111()()2()()nnxxiyyiiinxyiiiLxxLyyLxxyy（ ）为了便于记忆，引入下列记号：1这时 可简记为：21112100(,),()niiNxx注意：所以它是 的无偏估计，同样，也是的无偏估计。1.xyxxLL记niniiiiieyyxyQQ11221010)(),(称Qe为残差平方和残差平方和或剩余平方和剩余平方和. 可以证明： 2()(2)eE Qn )2(2nQee2于是的无偏估计为222010eeee称为剩余方差（残差的方差

7、），它是的无偏估计，且分别与，独立。也叫剩余标准差。显然，越接近于 ，说明线性回归方程（1）越显著。 回归方程的显著性检验回归方程的显著性检验111 由（1）知，当| |越大，y与x的变化趋势越明显；反之，当当| |越小，y与x的变化趋势越不明显；特别当=0，y与x不存在线性关系。y 在实际工作中，实现我们并不能断定 与x之间有线性关系，式(1）只是一种假设。当然这个假设不是没有根据，我们可以通过专业知识或散点图做粗略判断。但在求出回归方程之后，还须对这种线性回归方程同实际观测数据拟合的效果进行检验。三、检验、预测与控制三、检验、预测与控制1 xyxy（） 对 没有显著影响，此时应去掉预报变量

8、x;(2) 对 有显著影响，但这种影响不能用线性关系表示；（3）除了x以外，还有其他不可忽略的变量对y的影响，从而削弱了x对y的影响。此时应用多元回归模型。22211220111220111()()()()()innyyiiinneiiiiiinniiiiyyeeyyeLyyynyQyyyxUyyxyLQUUQLQ 设总离差平方和剩余平方和回归平方和 由于，因此 越大， 就越小。于是U，越接近1，或U越大，则线性回归效果越显著。（）F检验法检验法 （）t检验法检验法niiniixxxnxxxL12212)(其中当0H成立时，exxLT1t（n-2）故)2(21ntT，拒绝0H，否则就接受0H.

9、（）r检验法检验法当|r| r1-时，拒绝 H0；否则就接受 H0.记 niniiiniiiyyxxyyxxr11221)()()(2、回归系数的置信区间、回归系数的置信区间0和和1置信水平为置信水平为 1-的置信区间分别为的置信区间分别为 xxexxeLxnntLxnnt221022101)2(,1)2(和 xxexxeLntLnt/)2(,/)2(2112112的的置置信信水水平平为为 1-的的置置信信区区间间为为 )2(,)2(22221nQnQee3、预测与控制、预测与控制（1）预测）预测（2）控制）控制四、可线性化的一元非线性回归四、可线性化的一元非线性回归 （曲线回归）（曲线回归）

10、例例2 出钢时所用的盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的侵蚀，出钢时所用的盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的侵蚀， 容积不断增大容积不断增大.我们希望知道使用次数与增大的容积之间的关我们希望知道使用次数与增大的容积之间的关 系系.对一钢包作试验，测得的数据列于下表：对一钢包作试验，测得的数据列于下表：解答24681012141666.577.588.599.51010.511散散点点图图此即此即非线性回归非线性回归或或曲线回归曲线回归 问题（需要配曲线）问题（需要配曲线）配曲线的一般方法是：配曲线的一般方法是：通常选择的六类曲线如下：通常选择的六类曲线如下：一、数学模型及定义一、数学模型及定义n

11、yyY.1，nknnkkxxxxxxxxxX.1.1.1212222111211，k.10，n.21返回返回二、模型参数估计二、模型参数估计2、多多项项式式回回归归返回返回三、多元线性回归中的检验与预测三、多元线性回归中的检验与预测 （）F检验法检验法（）r检验法检验法(残差平方和）残差平方和）2、预测、预测（1）点预测）点预测（2）区间预测）区间预测1knQee返回返回四、逐步回归分析四、逐步回归分析（4）“有进有出有进有出”的逐步回归分析。的逐步回归分析。（1）从所有可能的因子（变量）组合的回归方程中选择最优者；）从所有可能的因子（变量）组合的回归方程中选择最优者；（2）从包含全部变量的回