第六节 空间曲线及其方程

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1、第六节第六节 空间曲线空间曲线 直线及其方程直线及其方程一、空间曲线及其方程一、空间曲线及其方程二、空间曲线在坐标平面上的投影二、空间曲线在坐标平面上的投影三、空间直线及其方程三、空间直线及其方程四、小结四、小结 0),(0),(zyxGzyxF空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程不能同时满足两个方程.xozy1S2SC空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点：特点：一、空间曲线及其方程一、空间曲线及其方程1. 空间曲线方程的

2、一般方程空间曲线方程的一般方程例例1 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 6332122zyxyx解解122 yx表示圆柱面，表示圆柱面，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx交线为椭圆交线为椭圆.例例2 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2(222ayax 圆柱面圆柱面,交线如图交线如图. )()()(tzztyytxx当当给给定定1tt 时时，就就得得到到曲曲线线上上的的一一个个点点),(111zyx，随随着着参参数数的的变变化化可可得得到到曲曲线线上上的的全全部

3、部点点.空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程2. 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程 动点从动点从A点出点出发，经过发，经过t时间，运动到时间，运动到M点点 如如果果空空间间一一点点M在在圆圆柱柱面面222ayx 上上以以角角速速度度 绕绕 z 轴轴旋旋转转，同同时时又又以以线线速速度度 v 沿沿平平行行于于z 轴轴的的正正方方向向上上升升(其其中中 、v 都都是是常常数数),那那么么点点M 构构成成的的图图形形叫叫做做螺螺旋旋线线,试试建建立立其其参参数数方方程程.A MM M在在xoy面的投影面的投影)0 ,(yxM tax cos tay sin vtz t 螺旋线的参数方程螺旋线的参

4、数方程取时间取时间t为参数，为参数，解解xyzo例例3螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为 bzayaxsincos),( vbt 特性特性：,:00 ,:00 bbbz 上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比.即即上升的高度上升的高度 bh2螺距螺距 ,2 0),(0),(zyxGzyxF消去变量消去变量z后得：后得：0),( yxH曲线关于曲线关于 的的投影柱面投影柱面xoy设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程：可视为以此空间曲线为准线，母线垂直可视为以此空间曲线为准线，母线垂直于所投影的坐标面的一个柱面于所投影的坐标面的一个柱面.投影柱面的投影柱面

5、的特征特征：二、空间曲线在坐标面上的投影二、空间曲线在坐标面上的投影1. 投影柱面投影柱面类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的面上的投影曲线投影曲线,yoz面上的面上的投影曲线投影曲线,xoz 00),(zyxH空间曲线在空间曲线在 面上的面上的投影曲线投影曲线xoy2. 投影曲线投影曲线曲线的投影柱面与所投影的平面的交线曲线的投影柱面与所投影的平面的交线.如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面例例4 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的

6、投影. 211222zzyx解解（1）消去变量）消去变量z后得后得,4322 yx在在 面上的投影为面上的投影为xoy,04322 zyx所以在所以在 面上的投影为线段面上的投影为线段.xoz;23|,021 xyz（3）同理在）同理在 面上的投影也为线段面上的投影也为线段.yoz.23|,021 yxz（2）因为曲线在平面）因为曲线在平面 上，上，21 z求求抛抛物物面面xzy 22与与平平面面 02 zyx的的截截线线在在三三个个坐坐标标面面上上的的投投影影曲曲线线方方程程. .截线方程为截线方程为 0222zyxxzy解解如图如图,例例5（2）消去）消去y得投影得投影,0042522 y

7、xxzzx（3）消消去去x得得投投影影.00222 xzyzy（1）消消去去z得得投投影影,004522 zxxyyx空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影.空间立体空间立体曲面曲面例例6.,)(34,2222面上的投影面上的投影求它在求它在锥面所围成锥面所围成和和由上半球面由上半球面设一个立体设一个立体xoyyxzyxz 解解半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为 , )(3,4:2222yxzyxzC, 122 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去面上的投影为面上的投影为在在则交线则交线xoyC . 0, 122zyx是一个圆是一个圆,面面上上的的投投影影为为所所求

8、求立立体体在在 xoy. 122 yxxyzo1 2 定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线.0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxAL1. 空间直线的一般方程空间直线的一般方程21/其中其中 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程空间直线的一般方程三、直线及其方程三、直线及其方程xyzo(1) 方向向量的定义：方向向量的定义： 如果一如果一非零非零向量平行于一向量平行于一条已知直线，这个向量称为条已知直线，这个向量称为这条直线的这条直线的方向向量方向向量.sL),(0000zyxM0M M ,LM ),(zyxMsMM0/

9、,pnms ,0000zzyyxxMM 2. 空间直线的对称式与参数式方程空间直线的对称式与参数式方程pzznyymxx000 直线的直线的对称式方程对称式方程也称也称点向式点向式方程方程tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直线的一组直线的一组方向数方向数它是其一个方向向量它是其一个方向向量的坐标。的坐标。方向向量的余弦称为方向向量的余弦称为直线的直线的方向余弦方向余弦.直线的参数方程直线的参数方程(2) 对称式方程对称式方程(3) 参数式方程参数式方程用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线.043201 zyxzyx解解在直线上任取一点在直线

10、上任取一点),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000 zy点坐标点坐标),2, 0 , 1( 例例7空间直线的一般式与对称式方程的互化空间直线的一般式与对称式方程的互化因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取21nns ,3, 1, 4 对称式方程对称式方程,321041 zyx参数方程参数方程.3241 tztytx直线的一般方程化直线的一般方程化为对称式方程：为对称式方程：(1)取点取点(2)求方向向量求方向向量(3)写出直线的对称式写出直线的对称式一一直直线线过过点点)4 , 3, 2( A，且且和和 y 轴轴垂垂直直相相

11、交交，求求其其方方程程.解解因因为为直直线线和和y轴轴垂垂直直相相交交, 所以交点为所以交点为),0, 3, 0( B取取BAs ,4, 0, 2 所求直线方程所求直线方程.440322 zyx例例83. 空间直线的两点式方程空间直线的两点式方程设直线设直线L过两点过两点),(),(22221111zyxMzyxM和和则则L的方程为：的方程为： 121121121zzzzyyyyxxxx (1) 定义定义直线直线:1L,111111pzznyymxx 直线直线:2L,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 两直线的方向

12、向量的夹角称之两直线的方向向量的夹角称之.（锐角锐角）(2) 两直线的夹角公式两直线的夹角公式4. 两直线的夹角两直线的夹角(3) 两直线的位置关系：两直线的位置关系：2101LL , 0212121 ppnnmm210/2LL 21212121,LLppnnmmO 2121210/3LLLLLL且且O直线直线:1L直线直线:2L,0, 4, 11 s,1 , 0 , 02 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即求过点求过点)5, 2, 3( 且与两平面且与两平面34 zx和和152 zyx的交线平行的直线方程的交线平行的直线方程.解解设所求直线的方向向量为设所求直线的方向

13、向量为,pnms 根据题意知根据题意知,1ns ,2ns 取取21nns ,1, 3, 4 .153243 zyx所求直线的方程所求直线的方程例例9求求过过点点)3 , 1 , 2(M且且与与直直线线12131 zyx垂垂直直相相交交的的直直线线方方程程.解解先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,令令tzyx 12131. 1213 tztytx例例10代入平面方程得代入平面方程得 ,73 t交点交点)73,713,72( N取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为MNMN

14、373, 1713, 272 ,724,76,712 所求直线方程为所求直线方程为.431122 zyx(1) 定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角 ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx,pnms ,CBAn 2),(ns 2),(ns 0.2 5. 直线与平面的夹角直线与平面的夹角(2) 夹角公式夹角公式222222|sinpnmCBACpBnAm 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式(3) 直线与平面的位置关系：直线与平面的位置关系： L 10.pCnBmA / 20L LCpBnAm,

15、0 .cos 2 cossin2 O LLL且且,/ 30O设设直直线线:L21121 zyx，平平面面: 32 zyx，求求直直线线与与平平面面的的夹夹角角.解解,2, 1, 1 n,2, 1, 2 s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 为所求夹角为所求夹角例例116. 平面束方程平面束方程xyzo1 2 0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxAL21/其中其中其交线其交线L方程为方程为 0022221111DzCyBxADzCyBxA定义定义：过：过L的平面有无穷个，这一族平面称为的平面有无穷个，这一

16、族平面称为过过L的平面束。的平面束。(1) 定义定义设设L的方程为的方程为 0022221111DzCyBxADzCyBxA过过L的平面束的方程可表示为的平面束的方程可表示为 02222211111 DzCyBxAkDzCyBxAk或或 022221111 DzCyBxADzCyBxA (2) 平面束方程平面束方程求过点求过点)3 , 1 , 2(M且与直线且与直线12131 zyx垂垂直相交的直线方程直相交的直线方程.解解的的平平面面束束方方程程为为过过已已知知直直线线 012013:1zyzxL 01213: zykzx即即故故过过点点又又所所求求直直线线, MMLLk = - -2 1,

17、 2, 1 n 1,2, 11,2 ,31 nssLL=-4,2,-8431122: zyxL例例1001)23( kzkkyx032: zyx 0)3()1(2)2(3032:zyxzyxL另外另外方方程程的的平平面面于于直直线线且且平平行行过过直直线线 312531:043406523:21zyxLzyxzyxL解解 04346523: zyxkzyx /2L0)35(3)42(2)3(3 kkkk =105432: zyx例例12一、空间曲线的一般方程、参数方程一、空间曲线的一般方程、参数方程二、空间曲线在坐标面上的投影二、空间曲线在坐标面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF )(

18、)()(tzztyytxx 00),(zyxH 00),(xzyR 00),(yzxT小结小结空间直线的一般式、空间直线的一般式、对称式、参数式、对称式、参数式、两点式两点式方程方程.两直线的夹角两直线的夹角. （注意两直线的位置关系）（注意两直线的位置关系）直线与平面的夹角直线与平面的夹角. （注意直线与平面的位置关系）（注意直线与平面的位置关系）平面束方程平面束方程三、空间直线三、空间直线思考题思考题 求求椭椭圆圆抛抛物物面面zxy 222与与抛抛物物柱柱面面zx 22的的交交线线关关于于xoy面面的的投投影影柱柱面面和和在在xoy面面上上的的投投影影曲曲线线方方程程.(1) 在直线方程在直线方程pznymx 6224中，中，m、n、p各怎样取值时，直线与坐标面各怎样取值时，直线与坐标面xoy、yoz都平行都平行.(2)思考题解答思考题解答,22222 zxzxy交线方程为交线方程为消消去去z得得投投影影柱柱面面, 122 yx在在 面上的投影为面上的投影为xoy.0122 zyx(1) (2),6,2pnms 且有且有. 0 s, 0 ks, 0 is 0206mp, 0, 6 mp, 0 s, 0 n故当故当 时结论成立时结论成立, 0 m6 p, 0 n