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1、电磁场与电磁波哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：教 师 ：韩勇学 校 ：哈尔滨工业大学院 系 ：信息与电气工程学院Email ：电磁场与电磁波绪论绪论2哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：公元前公元前600600年，摩擦的琥年，摩擦的琥珀吸引微小物体；珀吸引微小物体；16601660年，摩擦起电机，年，摩擦起电机， 17451745年年，保存电的莱顿瓶，保存电的莱顿瓶，17851785年，著名的库仑定律。年，著名的库仑定律。一电磁场理论的早期研究一电磁场理论的早期研究公元前公元前300300多年，管子多年，管子一书记载磁石。一书记载磁石。公元前公元前2020年
2、，论衡年，论衡记载了磁记载了磁石石的特性。的特性。公元公元11191119年，指南针就年，指南针就已经广泛的用于航海。已经广泛的用于航海。电学电学 磁磁 学学 电磁场与电磁波绪论绪论3哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：1.1. 18201820年，奥斯特实验。年，奥斯特实验。2.2. 18201820年，安培定律。年，安培定律。3.3. 18311831年，电磁感应定律。年，电磁感应定律。4.4. 18731873年，麦克斯韦方程。年，麦克斯韦方程。5.5. 18871887年，赫兹实验，证实了麦克斯韦年，赫兹实验，证实了麦克斯韦关于电磁波存在的预言。关于电磁波存在的预言。二
3、电磁场理论的建立二电磁场理论的建立电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析4哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：三电磁场理论的应用三电磁场理论的应用18761876年年, ,有线电话有线电话18351835年年, ,有线电报有线电报信号信号声音声音有线有线无线无线18951895年年, ,无线无线电报电报19151915年年, ,无线无线电话电话19191919年年, ,无线广播无线广播图像图像19311931年年, ,电视电视电磁场与电磁波绪论绪论5哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：19361936年，警年，警戒雷达戒雷达19581958年，年，“斯科尔
4、斯科尔”试验通信卫星试验通信卫星19731973年，年，GPSGPS计划计划电磁场与电磁波绪论绪论6哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：其他应用：其他应用：喷墨打印机喷墨打印机电磁炉电磁炉磁悬浮列车磁悬浮列车隐形飞机隐形飞机阴极射线示波器阴极射线示波器 矿物的分选、回旋加速器、变压器、电磁式矿物的分选、回旋加速器、变压器、电磁式生物芯片等等。生物芯片等等。电磁场与电磁波绪论绪论7哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email： 随着电磁场应用范围越来越广，向电磁理论不断地提出新随着电磁场应用范围越来越广，向电磁理论不断地提出新的待解决的问题，对这些问题的研究促使现代电磁理论
5、得到了的待解决的问题，对这些问题的研究促使现代电磁理论得到了迅速的发展。迅速的发展。电磁场理论的发展电磁场理论的发展电磁场与电磁波8哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：1.1 矢量代数矢量代数1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系1.3 标量场的梯度标量场的梯度1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度1.5 矢量场的环流与旋度矢量场的环流与旋度1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理第一章第一章 矢量分析矢量分析电磁场与电磁波9哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：1.1
6、 1.1 矢量代数矢量代数标量标量：一个只用大小描述的物理量。一个只用大小描述的物理量。矢量矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示矢量的几何表示矢量的代数表示矢量的代数表示AAAe AeA第一章第一章 矢量分析矢量分析1 1、标量与矢量、标量与矢量cos(,)iiAAAe e kiAAjAkAijiijjkke Ae Ae A电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析10哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：2 2、矢量乘法、矢量乘法点乘点乘 叉乘叉乘 iijjk
7、kA BABABAB ijkijkijkeeeA BAAABBB电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析11哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：例例1.1（附录（附录A1.1）ijkijkijkCCCCA BAAABBB例例1.2（附录（附录A1.2）ijkijkijkAAABBBCCCAB C电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析12哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：ijkijkiijjijkiikkijjiijkeeeB CBBBe BCB CeB CBCeBCB CCCC例例1.2（附录（附录A1.2）ijkijkjkkjkiikijjieee
8、AB CAAAB CB CB CBCBCB CjijjikkiikiiiiiiiiiijjkkiiijjkkiiAB CABCB CAB CBCABCABCBACA CA CCABA BA BBA CCA B电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析13哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：XYOP00,xyxeye0 x0yOP00, ee00 xyOPe xe y OPee 问题100OPee 问题20000,aee 1.2 1.2 常用的正交坐标系常用的正交坐标系1 1、平面坐标系、平面坐标系00电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析14哈尔滨工业大学 信息与电气工
9、程学院韩勇 Email：0000,aee 00 xxyyxxyya ea ea ea e00 xxyyxxyya ea ea ea e00 xxxyyyaaeeaa 同一向量在不同坐标系下表示方法不相同。但都对应几何表示同一向量在不同坐标系下表示方法不相同。但都对应几何表示法中的同一客观向量。法中的同一客观向量。00 xyxeey 转换矩阵的每一列为原坐标系下的各单位向量在目的坐标系各转换矩阵的每一列为原坐标系下的各单位向量在目的坐标系各单位向量上的分量。单位向量上的分量。电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析15哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：1111112,aa
10、ea e 问题42222122,aa ea e 222111,aa 11211222,aaaa如果 同一矢量在不同坐标系下的表示，可能会随坐标位置的改同一矢量在不同坐标系下的表示，可能会随坐标位置的改 变变而改变，它要求表示某一矢量时必须指位置坐标。而改变，它要求表示某一矢量时必须指位置坐标。电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析16哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：y（平面）（平面） o x y zz（平面（平面） 直角坐标系直角坐标系 P点点P(x0,y0,z0)xezeye坐标变量坐标变量, ,x y z单位矢量单位矢量,xyze e e 0zx（平面）（平面）x
11、0y02 2、空间直角坐标系、空间直角坐标系000 xyzre xe ye z 空间直角坐标系空间直角坐标系P电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析17哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：XYZ00z0eeze坐标变量坐标变量, ,z 坐标单位矢量坐标单位矢量,zee e 圆柱面坐标系圆柱面坐标系电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析18哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：坐标变量坐标变量单位矢量单位矢量, ,r ,re e e 球面球面坐标系坐标系电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析19哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：直
12、角坐标系直角坐标系柱坐标系柱坐标系球坐标系球坐标系同一矢量在不同坐标系下的表示形式不同同一矢量在不同坐标系下的表示形式不同同一矢量在柱坐标系同一矢量在柱坐标系/球坐标系下的表示，会随位置坐标球坐标系下的表示，会随位置坐标 的的改改 变而改变，它要求表示某一矢量时必须指位置坐标。变而改变，它要求表示某一矢量时必须指位置坐标。000 xyzre xe ye z000 xyzre xe ye z000zree ze000zree ze000rre ree000rre ree电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析20哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：3 3、体积微元、体积微元x
13、 yz odzd ydx,xyzldxldyldz 直角坐标系直角坐标系电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析21哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：微元微元,zzldldld 柱坐标系柱坐标系,Pdddz电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析22哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：3 3、球面球面坐标系坐标系微元微元, sinrd rdrd电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析23哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：( )( )( )( )xxyyzzF xe F xe F xe F x1.标量函数和矢量函数的自变量可以为标量
14、，也可以为矢量。标量函数和矢量函数的自变量可以为标量，也可以为矢量。2.标量函数的函数值为标量，矢量函数的函数值为矢量，矢量函数标量函数的函数值为标量，矢量函数的函数值为矢量，矢量函数由多个标量函数构成。由多个标量函数构成。( )F x( , )F x y( , , )F x y z标量函数：矢量函数：1.3 1.3 标量场的梯度标量场的梯度1 1、标量函数与矢量函数、标量函数与矢量函数( , , , )F x y z t( , , , )( , , , )( , , , )( , , , )xxyyzzF x y z te F x y z te F x y z te F x y z t电磁场
15、与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析24哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：从数学上看，场是定义在从数学上看，场是定义在空间区域空间区域上的函数。上的函数。2 2、标量场与矢量场、标量场与矢量场标量场标量场矢量场矢量场静态场静态场动态场动态场自变量和空间位置（自变量和空间位置（ 及时间及时间) ，函数值与物理量函数值与物理量电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析25哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：等值面等值面: : 标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。常数常数C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，
16、取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。标量场的等值面互不相交。特点特点：3 3、标量场、标量场的等值面的等值面( )u xC( ,)u x yC( , )u x y zC00|limMluuxuyuzlxlylzl 电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析26哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：意义意义：方向性导数表示场沿某方向：方向性导数表示场沿某方向 的空间变化率的空间变化率。00|limMluull 概念概念： M0lMl方向导数的概念方向
17、导数的概念 4 4、方向导数、方向导数0coslimlxl 0coslimlyl 0coslimlzl 电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析27哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：问题问题：在什么方向上变化率最大、其最：在什么方向上变化率最大、其最 大的变化率为多少？大的变化率为多少？00coscoscos|limyxzMluuuuxyzlxlylzluuuxyz 电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析28哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：概念：概念： ，其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向maxgrad|nuuelnuelcosAuAx5
18、 5、标量场的梯度标量场的梯度（ grad u）222uuuAxyz令令则则0coscoscoscoscoscos|AAAMuuuAlyz0coscoscos|Muuuulxyz= cosAuAy= cosAuAz电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析29哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：maxgradcoscoscos|nxAyAzAxyzuueA eeeluuueeexyzu若若coscoscosAxAyAzAeeeecoscoscoslxyzeeee则则0coscoscoscoscoscoscos,|AAAMAlAluAAAlAeeA ee 因此因此nAeezue
19、ee电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析30哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：柱坐标系柱坐标系 如果如果xyzeeexyzgradxyzuuuueeexyzxyzuuuueeexyz方法方法1 1： 坐标变换坐标变换 xyzeeeuxyzgrad uu 电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析31哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：00|limMluuuuzlllzl 方法方法2 2： 由定义由定义 1cos,cos,coszuuuAAAz最大方向最大方向 2221uuuAzcoscoscos1zzzueeeAuuueeez1coscoscoszu
20、uuz电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析32哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：球面坐标系球面坐标系11zzuuuueeezeeeuz柱坐标系柱坐标系 1zeeez11sinreeerrr 11sinruuuueeerrr电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析33哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：例例1.3.2 0()()()( )( )CCuC uuvuvuvu vv uf uf uu 电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析34哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：1.4 1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度1 1
21、、矢量场的矢量线、矢量场的矢量线概念：曲线上每一点的切线方向代表了概念：曲线上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。该点矢量场的方向。矢量线矢量线oM Fdrrrdr意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。 矢量线方程：矢量线方程：ddd( , , )( , , )( , , )xyzxyzF x y zF x y zF x y z电磁场与电磁波第二章第二章 电磁场的基本规律电磁场的基本规律哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：例例1.4.11.4.1：真空中静止点电荷：真空中静止点电荷 q q1 1 对对 q q2 2 的作用力
22、的作用力: :121220124Rq qFeRyxzo1q12R12F2q121220124RFqEeqR121230124q q RR电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析36哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：2 2、矢量场的通量、矢量场的通量 通量：通量：dddnSSFSF eS),(zyxFSdne面积元矢量面积元矢量其中其中：面积元矢量面积元矢量；面积元的法向单位矢量。如果曲面面积元的法向单位矢量。如果曲面S S闭合闭合, ,则规定则规定曲面法矢由闭合曲面内指向外曲面法矢由闭合曲面内指向外；dSddnF eS穿过面积元穿过面积元 的通量的通量；曲面曲面S S闭合
23、，则通量闭合，则通量：ddnSeSneddnF eSdSddnSSFSF eS电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析37哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：电场通过闭合曲面的通量三种可能结果电场通过闭合曲面的通量三种可能结果000通过闭合曲面有通过闭合曲面有净的矢量线穿出净的矢量线穿出有净的矢量线进有净的矢量线进入入进入与穿出闭合曲进入与穿出闭合曲面的矢量线相等面的矢量线相等 闭合曲面的通量从宏观上建立了闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场（电场）矢量场（电场）通过闭合通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源曲面的通量与曲面内产生矢量场的源（电荷电量）（电荷电量）的关系。的
24、关系。电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析38哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：3 3、矢量场的散度、矢量场的散度如何确定源的分布如何确定源的分布 散度是矢量通过包含该点的任意散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。的极限。散度用于求解源的密度。散度用于求解源的密度。0( , , ) d( , , )limSVF x y zSF x y zV oxy在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算FzzxyP小体积元小体积元内的源数内的源数量量小体积元小体积元内的通量内的通量电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析3
25、9哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：直角系下散度的表达式直角系下散度的表达式： 由此可知，穿出前、后两侧面的净由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为通量值为oxy在直角坐标系中计算在直角坐标系中计算FzzxyP000000000,(,),22xxxxyzFxxF xyzFxyzx000000000,(,),22xxxxyzFxxF xyzFxyzx000000(,)(,)22xxxFxxF xyzF xyzy zx y zx 左右两面左右两面的净通量的净通量电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析40哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：oxy在直角坐标系中
26、计算在直角坐标系中计算FzzxyP根据定义，则得到直角坐标系中的散度根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为表达式为由点由点P P 穿出该六面体的净通量为穿出该六面体的净通量为dyxzSFFFFSx y zx y zx y zxyz 0d limySxzVFSFFFFVxyz 上下两面上下两面的净通量的净通量电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析41哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：柱面坐标系柱面坐标系()zFFFFz ()FFF FF FFVz zS Sz Sz 电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析42哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：球
27、面坐标系球面坐标系22111()(sin)()sinsinrFr FFFrrrr电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析43哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：柱面坐标系柱面坐标系球面坐标系球面坐标系直角坐标系直角坐标系散度的表达式散度的表达式：散度的有关公式散度的有关公式：yxzFFFFxyz()zFFFFz 22111()(sin)()sinsinrFr FFFrrrr0 ()()()()()()CCCCfCfkFkF kf FfFFfFGFG 为常矢量为常量电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析44哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：4 4、散度
28、定理、散度定理 散度定理是闭合曲面积散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换分与体积分之间的一个变换关系。关系。dSFS体积的剖分体积的剖分VS1S2en2en1SdVF V电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析45哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：1.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度 1.1.矢量场的环流与旋涡源矢量场的环流与旋涡源 存在另一类不同于通量源的矢量源，存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为
29、零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。流速场流速场电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析46哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email： 在如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的在如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即：电流成正比，即：建立了磁场的环流与电流的关系。建立了磁场的环流与电流的关系。 00( , , ) d( , , ) dCSB x y zlIJ x y zS电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析47哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：q 如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无如果矢量
30、场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场，又称为保守场。旋场，又称为保守场。q 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。q 环流是标量环流是标量环流的概念环流的概念 矢量场对于闭合曲线矢量场对于闭合曲线C C 的环流定义为该矢量对闭合曲线的环流定义为该矢量对闭合曲线C C 的线积分，即的线积分，即( , , ) dCF x y zl 电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析48哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：
31、 过点过点M M 作一微小曲面作一微小曲面 S S，它的边界曲线记为，它的边界曲线记为C C，曲面的法，曲面的法线方向线方向n n与曲线的绕向成右手螺旋法则。与曲线的绕向成右手螺旋法则。称为称为矢量场在矢量场在点点M M 处沿方向处沿方向n n的环流面密度。的环流面密度。 矢量场的环流给出了矢量场的环流给出了与积分回路所围曲面内与积分回路所围曲面内旋涡源旋涡源的的宏观联系。宏观联系。SCMFn特点：其值特点：其值与与点点M M 处的方向处的方向n n有关。有关。2 2、矢量场的旋度（、矢量场的旋度（ ） F（1 1）环流面密度）环流面密度01rotlimdCnSFFlSF 为了给出空间任意点矢
32、量场与旋涡源的关系，引入矢量为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量 场的旋度。场的旋度。 电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析49哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：而而 oyz yCMzx1234计算计算 的示意图的示意图 rotxF 直角坐标系中直角坐标系中 、 、 的表达式的表达式rotzFrotxFyrot Fzrot FrotxF12341234dddddCllllFlFlFlFlFl12yyyMFzFFMz22zzzMFyFFMy32yyyMFzFFMz42zzzMFyFFMy1234yzyzFyFzFyFz 电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢
33、量分析50哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：于是于是 同理可得同理可得0drotlimyCzxSFlFFFSyz 故得故得d()yzCFFFly zyz 0drotlimyCzxSFlFFFSyz rot,xzyFFFzxrotyxzFFFxyoyz yCMzx1234计算计算 的示意图的示意图 rotxF12yyyMFzFFMz22zzzMFyFFMy32yyyMFzFFMz42zzzMFyFFMy1234dyzyzCFlFyFzFyFz 电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析51哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：0drotlimyCzxSFlFFF
34、Syz 概念：矢量场在概念：矢量场在M M点处的旋度为一点处的旋度为一，其数值为，其数值为M M点的点的，其方向为取得，其方向为取得，即，即物理意义：旋涡源密度矢量。物理意义：旋涡源密度矢量。性质：性质：（2 2）矢量场的旋度）矢量场的旋度nMaxrotnFeFnrot FnF电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析47哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：旋度的计算公式旋度的计算公式: :直角坐标系直角坐标系yyxxzzxyzFFFFFFFeeeyzzxxyxyzyxzxyzeeeFFFxyzFFFijkijkijkeeeA BAAABBBxyzxyzeeexyzFFF 电
35、磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析53哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：旋度的计算公式旋度的计算公式: :圆柱面坐标系圆柱面坐标系1zzeeeFzFFF电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析54哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：旋度的有关公式：旋度的有关公式：矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零标量场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零0()()()()()0()0CCffCfFfFfFFGFGFGGFFGFu 电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析55哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：3 3、Stok
36、esStokes定理定理 Stokes Stokes定理是闭合曲线积分定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应式，也在电磁理论中有广泛的应用。用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等结果抵消相等结果抵消dCFldSFS电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析56哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：4 4、散度和旋度的区别、散度和旋度的区别 0,0FF0,0FF0,0FF0,0FF电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析57哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：1 1、矢量场的源、矢量
37、场的源散度源：散度源：1.6 1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场 产生的矢量场在包围它自身的封产生的矢量场在包围它自身的封闭面上的通量不等于闭面上的通量不等于0 0 通量等于（或正比于）该封闭面内所包围的源通量等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和的总和 源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量场在该点的散度矢量场在该点的散度 是矢量是矢量电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析58哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：1 1、矢量场的源、矢量场的源1.6 1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场旋度源：旋度源： 产生的矢量场绕着
38、旋度源所在产生的矢量场绕着旋度源所在曲面边界的积分不等于曲面边界的积分不等于0。 曲面曲面 上的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭上的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回路的环量合回路的环量 在给定点上，这种源的（面）密度等于（或正比于）在给定点上，这种源的（面）密度等于（或正比于）矢量场在该点的旋度。矢量场在该点的旋度。 是矢量是矢量电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析59哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：2 2、矢量场按源的分类、矢量场按源的分类（1 1）无旋场）无旋场性质：性质：，线积分与路径无关，是保守场。，线积分与路径无关，是保守场。仅有散度源而无
39、旋度源的矢量场仅有散度源而无旋度源的矢量场无旋场无旋场可以用标量场的梯度表示可以用标量场的梯度表示例如：静电场例如：静电场0Fd0CFlFu 0EE ()0u 电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析60哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：（2 2）无散场）无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场仅有旋度源而无散度源的矢量场性质：性质：0dSSF无散场可以表示为另一个矢量场的旋度无散场可以表示为另一个矢量场的旋度例如，恒定磁场例如，恒定磁场0Fd0SFSFA ()0A 0B BA 电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析61哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email
40、：（3 3）无旋、无散场）无旋、无散场0FFu 0F()0u 20u电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析62哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：（4 4）有散、有旋场）有散、有旋场无旋场部分无旋场部分无散场部分无散场部分( )( )( )lCF rF rF r( )u r ( )A r这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析63哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：矢量函数矢量函数标量函数标量函数散度散度梯度梯度旋度旋度( , , )u x y z( , , )
41、F x y z( , , )u x y z( , , )F x y z( , , )F x y z1. 梯度、散度与旋度的定义梯度、散度与旋度的定义2. 算子的定义及其与坐标系的关系。算子的定义及其与坐标系的关系。电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析64哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：1.7 1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理 1 1、拉普拉斯运算、拉普拉斯运算 标量拉普拉斯运算标量拉普拉斯运算2u2()uu 拉普拉斯算符拉普拉斯算符直角坐标系直角坐标系()u 22222222uuuuxyz2()uu 圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系22222
42、211()uuuuz22222222111()(sin)sinsinuuuurrrrrr电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析65哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：1.7 1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理 1 1、拉普拉斯运算、拉普拉斯运算 标量拉普拉斯运算标量拉普拉斯运算2u概念：概念：2()uu 拉普拉斯算符拉普拉斯算符直角坐标系直角坐标系计算公式：计算公式：圆柱坐标系圆柱坐标系球坐标系球坐标系2u2()uu 22222222uuuuxyz22222211()uuuuz22222222111()(sin)sinsinuuuurrrrrr电磁场与电
43、磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析66哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email： 矢量拉普拉斯运算矢量拉普拉斯运算即即注意注意：对于非直角分量，对于非直角分量，直角坐标系中：直角坐标系中： 如：如：2()()FFF 2222xxyyzzFeFeFeF22()iiFF (, , )i x yz22()iiFF 22()FF 2FAB CB A CC A B()F 电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析67哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：2. 2. 格林定理格林定理 设任意两个标量场设任意两个标量场 及及，若在区域，若在区域 V 中具有连续的二阶中具有连续的二阶
44、偏导数偏导数上式又可写成上式又可写成 为标量场为标量场 在在S表面的外法线表面的外法线 e en 方向上的偏导数。方向上的偏导数。以上两式称为标量第一格林定理。以上两式称为标量第一格林定理。SV , ne2 ()ddVSVSn 2 ()d() dVSVS n电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析63哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：基于上式还可获得下列两式：基于上式还可获得下列两式：上两式称为上两式称为标量第二格林定理标量第二格林定理。 利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。的求解问题。 如果已知
45、其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布。场的分布。22 ()ddVSVS 22 ()d()dVSVSnn电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析69哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理: : 若矢量场在无限空间中处处单值，且若矢量场在无限空间中处处单值，且，源分，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为表示为 式中：式中：在无界空间区域，矢量场可由其散度及旋度确定。在无界空间区域，矢量场可由其散度及旋度确
46、定。1.8 1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理( )( )( )F ru rA r 1( )( )d4VF ru rVrr 1( )( )d4VF rA rVrr 电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析70哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：有界区域有界区域 在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。1( )1( ) d( )d 44VSF rF rSu rVrrrr 1( )1( ) d( )d44VSF rF rSA rVrrrr 电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析71哈尔滨工业大学 信息与电气工程学院韩勇 Email：
