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1、应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材1第三章 平稳时间序列模型的建立v本章首先介绍利用时间序列的样本统计特征识别时间序列模型，然后分别介绍模型定阶、模型估计和模型检验的多种方法，对Box-Jenkins建模方法和Pandit-Wu建模方法归纳总结，最后给出实际案例。应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材2第一节 模型识别与定阶v一、一、 自相关函数和偏自相关函数的估计自相关函数和偏自相关函数的估计（一）自协方差函数和自相关函数的估计（一）自协方差函数和自相关函数的估计,.1 , 0,11kyyyyNkNkkttk,.1 , 0,11*kyyyykNkNkkttk应用时间序列分析”十一五“
2、国家级规划教材3,.1 , 0,0kkk,.1 , 0,0*kkk应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材4v1） 是平稳时间序列自协方差的无偏估计量； 则是平稳时间序列自协方差的渐进无偏估计量。v2） 通常是正定的。 *kk021201110.kkkkk应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材5v（二）偏自相关函数的估计（二）偏自相关函数的估计 sssssssss1112121212111应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材6二、 模型的初步识别v（一）（一） 截尾性的判断截尾性的判断若若yt是一个真实是一个真实MA（q）模型）模型 ，kqkskNN12)21 (1, 0%3 .68)2
3、1 (1|1212qsskNP%5 .95)21 (2|1212qsskNP应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材7例例1，某资产组合过去，某资产组合过去100个交易日收益率情况个交易日收益率情况020406080100120-3-2-101234应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材8应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材9应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材10v（二）偏相关系数截尾性的判断（二）偏相关系数截尾性的判断v若若yt是一个是一个AR（p）过程）过程 ，ps )1, 0(NNkk应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材11%3 .681|Npss%5 .952|Npss
4、应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材12（三） ARMA（p，q）模型识别模型AR(p)MA(q)ARMA(p,q)ACF拖尾截尾拖尾PACF截尾拖尾拖尾应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材13三、模型的定阶1、残差的方差2残 差 的 方 差实 际 观 测 值 个 数 模 型 的 参 数 个 数应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材14残差方差小，相应的阶数合理。应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材15模型残差平方和自由度残差方差AR(1)8184.65468120.03095AR(2)7920.03767117.76331AR(3)7919.294766119.53610应用时
5、间序列分析”十一五“国家级规划教材16应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材172、ACF和PACF定阶法模 型AR(p)MA(q)ARMA(p,q)自相关函数（ACF）拖 尾截 尾拖 尾偏自相关函数（PACF）截 尾拖 尾拖 尾应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材18应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材19应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材20模型残差平方和自由度残差方差MA(1)80065.715837.1543MA(2)72345.915735.6262MA(3)71123.965635.6381MA(4)71104.135535.9956应用时间序列分析”十一五“国家级
6、规划教材2104:0H14:0H10071123.9671104.1310.015160571104.13/55QQQF两模型几乎没有差异。应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材22（四）模型定阶的最佳准则函数法1、基本思想：确定一个函数，该函数既要考虑用某一模型拟合原始数据的接近程度，同时又考虑模型中所含参数的个数。当该函数取最小值时，就是最合适的阶数。 衡量模型拟合数据的接近程度的指标是残差方差。2、最佳准则函数包括AIC、BIC等准则。应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材23vAIC准则是1973年由赤池（Akaike）提出，此准则是对FPE准则(用来判别AR模型的阶数是否合适)的
7、推广，用来识别ARMA模型的阶数。该准则既适合于AR，也适合于ARMA模型。应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材24应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材25应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材26应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材27第二节 模型参数的估计v一、模型参数的矩方法估计v二、最小二乘估计v三、极大似然估计应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材28v一、模型参数的矩估计一、模型参数的矩估计v（一）（一）AR(p)模型的矩估计模型的矩估计应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材29tptptttaxxxx2211pkpkkk2211应用时间序列分析”十一五“国家级规
8、划教材30v于是可得如下的Yule-Walk方程：02211202112112011ppppppppppppppppp11121113212311122121应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材3122211221120)()(apptptpttttaxxxxExE于是可得到 的矩估计：)1 (221102ppa应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材32v例1，AR(1)模型的矩估计)(axxattt11020111111则设应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材33v例2，AR(2)模型参数的矩估计)1 (11)1 (:,2211022121222121211221112212211
9、aattttaxxx求解得由前推导的一般公式得待估计参数设应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材34v（三）MA(q)模型参数的矩估计v第四章已经推导出MA(q)的自协方差结果，将 代替 ， 代替 (i=1,2q) , 得如下方程组：2,ak2,akqkkqkqkkaaqk,2 , 1)(0)1 (112222221i上式是含有q+1个参数的非线性方程组，解此方程组，即可以求出各参数：方程组可以直接求解，也可以用迭代法求解。qa,212i应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材35v例3. MA(1)模型参数的矩估计0112211112111211121212011:)()()()()(:a
10、axaattt即得由则由前结论可知设应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材362411:) 1 ()3()3(2411:, 1,2411:2102121111211aMA式解得式代入将所以可逆性知由解一元二次方程式得应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材37例例4. 求求AR(2)模型系数的矩估计模型系数的矩估计v AR(2)模型v Yule-Walker方程v 矩估计 ttttxxx22112112121112121112121221应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材38v 优点 估计思想简单直观 不需要假设总体分布 计算量小（低阶模型场合）v 缺点 信息浪费严重 只用到了p+q个
11、样本自相关系数信息，其他信息都被忽略 估计精度差v 通常矩估计方法被用作极大似然估计和最小二乘估计迭代计算的初始值 应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材39二、最小二乘估计二、最小二乘估计040320132122)ex(E:x.st,)ee(E:.)e(E)e(Var:.;)e(E:.:en,texy:tttstettttttt不相关与解释变量无序列相关常方差零均值有以下的基本假定误差项模型先考虑以下简单的回归应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材40应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材41v对于ARMA模型或MA模型参数的估计，一般采用非线性最小二乘法，或极大似然估计法。应用时间序
12、列分析”十一五“国家级规划教材42v模型参数的极大似然估计模型参数的极大似然估计222212ln2|lg212ln2),|,(yyNMNyyylNNNM0212ln20222ln222222222yyyyNyyNyyNNNNNMMMM应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材43v四、模型参数的最小平方和估计四、模型参数的最小平方和估计 yySNM0212yyNM应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材44第三节 模型的适应性检验 v一、模型的适应性检验v 二、模型的平稳性和可逆性分析应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材45一、模型的适应性检验一、模型的适应性检验v 若建立的模型恰当的描绘了
13、已给数据数据序列的ARMA模型，那么模型拟合的残差应是白噪声序列，即均值为零、常数方差、彼此不相关。v ARMA模型的适应性检验，主要就是检验残差是否为白噪声序列残差是否为白噪声序列。应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材46 散点图法散点图法 估计相关系数法估计相关系数法F检验法检验法卡方检验法卡方检验法应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材47F检验法检验法)qp(pNQdfdfQQF102101应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材48v如果 ,则拒绝原假设，即认为ARMA（p，q）与ARMA（p-1，q-1）模型的拟合精度有显著性差异，降阶是不恰当的。反之，如果 ，则两个模型的拟
14、合精度没有显著性差异，降阶是合理的。 FFFF应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材49 卡方检验法卡方检验法v设 为估计出的残差序列，其样本自相关函数为：121 n ktt ktkntta aa通常用Q统计量检验原假设是否为白噪声。ta 应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材50.a,H),mL(Q.a,H),mL(Q:m)mL(Q:kn)n(nQ:QBoxLjungnQ:QPierceBox:)n(nLnL:H:ttLkkLkkLo不是白噪声此时认为则拒绝若为白噪声此时可认为则不能拒绝若均对于给定的显著性水平检验为模型中参数个数在原假设成立的条件下统计量修正的或统计量检验统计量数为时间
15、序列观察值的个或原假设检验原理02102121212212100应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材51 例例5 对某商场对某商场100天的销售金额取对数后进行一阶差分得到每日销售额增长率序列天的销售金额取对数后进行一阶差分得到每日销售额增长率序列 0102030405060708090100-3-2-101234应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材52应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材53应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材54应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材55应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材56应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材57v从信息准则可见
16、，AR（1）模型的信息准则最小，因此初步认定是AR（1）模型。接下来对模型的残差是否存在相关性进行检验。 应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材58应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材59应用时间序列分析”十一五“国家级规划教材60本章小结v1样本自相关和偏自相关函数是识别平稳时间序列模型的重要方法。由于样本自相关和偏自相关函数是随机变量，因此判断其是否截尾的方法是通过构造统计量进行统计检验。如果滞后若干期的样本自相关函数不显著，而偏自相关函数是统计显著异于零的，则可能是MA模型，反之则可能是AR模型，若二者均统计显著异于零，则可能是ARMA模型。v2模型阶数越高，往往残差方差越小，但待
17、估参数增加，有效样本量随之也减小，因此在模型定阶时需要遵循“约减”原则，即当残差方差变化不大时，尽量选择阶数低的模型。此外，AIC，BIC等信息准则考虑了模型残差与模型阶数之间的权衡关系，是重要的模型定阶准则。v3对于AR模型，参数估计比较简单，可以利用线性最小二乘方法。而MA和ARMA模型的参数估计相对困难，需要用到非线性最小二乘方法。对于ARMA模型，最小平方和估计和极大似然估计是两种重要的估计方法，从极大似然估计出发可以得到最小平方和估计。v4模型检验是建立时间序列模型的重要步骤。除了传统的系数显著性检验之外，时间序列模型还需要对参数是否冗余、残差是否还存在相关性进行检验。只有通过模型检验之后，时间序列模型才能最后确定。常用的参数冗余检验有F检验，残差相关性检验有卡方检验。v5Box-Jenkins方法是以序列的自相关函数和偏自相关函数的统计特性为依据，找出序列可能适应的模型，然后对模型进行估计。对于非平稳时间序列往往通过差分使其平稳后建模。Pandit-Wu建模方法是从ARMA（n，n-1）模型出发，从n=1开始，逐步建立为ARMA（2n，2n-1），通过F检验确定ARMA模型的阶数。
