微分近似计算、中值定理

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1、医用高等数学医用高等数学Differential Calculus of One Variable数学教研室数学教研室 徐清华徐清华第二节第二节 导数的运算导数的运算复习：复习：2.2.隐函数求导法则隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导3.3.对数求导法对数求导法先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数0),(yxF1.1.复合函数求导法则复合函数求导法则ddddddyyuxux链式法则链式法则第三节第三节 函数的微分函数的微分复习：复习：4.4.微分的定义微分的定义 ()yAxx

2、 函数是可微的函数是可微的dyAx函数的微分函数的微分( )可可导导可可微微，且且 Afx dxx 自变量的微分自变量的微分d( )dyfxxd( )dyfxx2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则()d uvdudv()d CuCdu 2( )uvduudvdvv ()d uvvduudv第三节第三节 函数的微分函数的微分三、三、微分的几何意义微分的几何意义)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 几何意义几何意义:(:(如图如图) ).,对应的增量对应的增量就是切线纵坐标就是切线纵坐标坐标增量时坐标增量时是曲线的纵是曲线的纵当当dyy xx0 P .,

3、MNMPMx可近似代替曲线段可近似代替曲线段切线段切线段的附近的附近在点在点很小时很小时当当 R） 四、四、复合函数的微分复合函数的微分( (微分形式的不变性微分形式的不变性) )是是自自变变量量(1)(1) 若若时时) ), ,( (; ;xdyfx dx (2)(2) 若若时时, ,即即另另一一变变量量的的可可微微函函数数( ),( ), 则则是是中中间间变变量量txtx ),()(xfxfy 有有导导数数设设函函数数dttxfdy)()( ,)(dxdtt ( ( ) ). .dyfx dx 结论结论：的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论)

4、(,xfyx 微分形式的不变性微分形式的不变性dxxfdy)( 例例5sincos ,xyex求求d . y解：解：dy cos xxdxedxxexxsincossinsin2dxexxxsin2)sin(coscosxsinxdesincosxedxsinsinxedxsinsinxxedx()d uvvduudv练习练习解解2 21 1设设, , 求求. .xxyedy 2 21212(1)(1)xxdyedxxxdx(12 )(12 )2 21 1(21)(21)xxxedxxxe2 21 1（一）计算函数增量的近似值一）计算函数增量的近似值若若在在点点处处的的导导数数且且很很小小时时

5、00( )()0,yf xxfxx 补例补例1 1?,05. 0,10问问面面积积增增大大了了多多少少厘厘米米半半径径伸伸长长了了厘厘米米的的金金属属圆圆片片加加热热后后半半径径解解,2rA 设设.05. 0,10厘厘米米厘厘米米 rrrrdAA205. 0102 ).(2厘米厘米 .)(0 xxf 00 xxxxdyy 五、微分在近似计算中的作用五、微分在近似计算中的作用补例补例2 在一直径为在一直径为10cm10cm的金属球表面上镀铜，的金属球表面上镀铜，铜的厚度为铜的厚度为0.005cm0.005cm，问约需用铜多少克？，问约需用铜多少克？（铜的比重为铜的比重为8.98.9克克/cm/c

6、m3 3) )32324 4半半径径为为 的的球球的的体体积积而而4 43 3解解从从,.RVRVR RRRVdVV 24 所以铜的体积为：所以铜的体积为：571005051434005052., VRR代入，得代入，得将将（克）（克）于是镀球需用的铜约为于是镀球需用的铜约为9731398571. （二）计算函数的近似值（二）计算函数的近似值;)(. 10附附近近的的近近似似值值在在点点求求xxxf )()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf ( (很很小小时时) )x 补例补例3 3计计算算s si in n3 31 1 的的近近似似值值. .o解解

7、000000利利用用sin()sincossin()sincosxxxxx 0 03 30 0, ,1 10 0. .0 01 17 74 45 5, ,6 61 18 80 0 xx sin 31sincos0.5151sin 31sincos0.51516618066180o;0)(. 2附附近近的的近近似似值值在在点点求求 xxf.)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfxfxxf ., 00 xxx 令令常用近似公式常用近似公式( (很很小小时时) )x为为弧弧度度为为弧弧度度（）(1)1;(2)ln(1).(3)sin();(4)tan();(5) 11;xexxxx

8、x xxx xxx 证明证明设设（）(5)( )1,f xx 1( )(1),fxx (0)1,(0).ff xffxf)0()0()( 1. x (P44)计计算算补补例例4 4 1.051.05解解1.051+0.051.051+0.05 由由（1 1）1,1,有有：xx 1 11 10 05 51 1 0 00 05 5 1 10 00 05 52 2 1 10 02 25 5. 利利用用计计算算器器 1.051.0246951.051.024695 比比1 1小得多小得多补例补例5 5.计计算算下下列列各各数数的的近近似似值值解解.)2(;5 .998)1(03. 03 e335 .