注册岩土空间解析几何与向量代数

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1、注册岩土工程师考试 高等数学第一节 空间解析几何与向量代数一、向量代数1、向量的有关概念：向量间的夹角、向量的方向角、方向余弦、向量在数轴上的投影向量的坐标 在相应坐标轴上的投影模长：方向余弦：， 单位向量 2、向量的运算：（1）向量的加法：向量加法的平行四边形法则与向量加法的三角形法则。（2）向量的减法：向量与的和称为与的差，记作。（3）数与向量乘法：实数与向量的乘积是一个平行于的向量，它的模是向量的模的倍，即，并规定，当时，与的方向相同，当时，与的方向相反，当时，为零向量。3向量的加法，数与向量的的乘法有以下运算性质：（1） 交换律 a+b=b+a（2） 结合律 （a+b）+c=a+（b+

2、c） （3） 分配律 -向量的数量积（内积） 平面向量数量积（内积）的定义，ab = |a|b|cosq， 并规定0与任何向量的数量积为0。 几何意义: 数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。性质：（1） （2）-向量的向量积（外积、叉积）两向量和的向量积是一个向量，记为。由下列条件确定：（1），（）。（2）且。（3）、的方向服从右手法则：即平移、使其有共同的始点，当右手的四个手指从以不超过的角度转向握拳时，大拇指所指方向就是的方向。向量积又称为叉积或外积，向量积的模的几何意义是：它的数值是以、为邻边的平行四边形的面积。 向量的向量积满足下列运算规律（1）（2）（为实数）

3、（3） -两向量间的关系 设 关系向量表示向量坐标表示间夹角与垂直与平行 二、空间解析几何 (一)空间解析几何 1空间解析几何研究的基本问题 （1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程。 （2）已知坐标和间的一个方程（组），研究这方程（组）所表示的曲面（线）。 2距离公式 空间两点与间的距离为 3定比分点公式 是的分点：，点的坐标为，则 当为中点时， (二)平面及其方程 1法（线）向量，法（线）方向数。 与平面垂直的非零向量，称为平面的法向量，通常记成。法向量的坐标称为法（线）方向数。对于给定的平面，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。 2点法式方程 已知平面过点，

4、其法向量，则平面的方程为 或 其中 3一般式方程 其中不全为零。前的系数表示的法线方向数，是的法向量。 特别情形： ，表示通过原点的平面。 ，平行于轴的平面。 ，平行平面的平面。 表示平面。 6有关平面的问题 两平面为： 与间夹角垂直条件平行条件重合条件 设平面的方程为，而点为平面外的一点，则到平面的距离： (三)直线及其方程 1方向向量、方向数 与直线平行的非零向量，称为直线的方向向量，方向向量的坐标称为方向数。 2直线的标准方程（对称式方程）。 其中为直线上的点，为直线的方向数。 3参数式方程 为参变量。 4一般式方程（作为两平面的交线）： ，方向向量 5有关直线的问题 两直线为 , 与间

5、夹角垂直条件平行条件 (四)平面与直线相互关系 平面的方程为： 法向量 直线的方程为： 方向向量与间夹角（）与垂直条件与平行条件与重合条件上有一点在上 三常见的曲面方程 1球面方程 设是球心，是半径，是球面上任意一点，则，即 2旋转曲面的方程 （1）设是平面上一条曲线，其方程是绕轴旋转得到旋转曲面，设是旋转面上任一点，由点旋转而来（点是圆心）。 由得旋转面方程是 或 由参数方程，得旋转面的参数方程 ， （2）求空间曲线绕轴一周得旋转曲面的方程 第一步：从上面联立方程解出， 第二步：旋转曲面方程为 绕轴一周或绕轴一周的旋转曲面方程类似地处理。 5二次曲面曲面名称方程曲面名称方程椭球面旋转抛物面椭圆抛物面双曲抛物面单叶双曲面双叶双曲面二次锥面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面 (四)空间曲线在坐标平面上的投影 1曲线的方程 曲线在平面上的投影 先从曲线的方程中消去得到，它表示曲线为准线，母线平行于轴的柱面方程，那么 就是在平面上的投影曲线方程。 曲线在平面上投影或在平面上投影类似地处理 2曲线的方程 则曲线在平面上的投影曲线方程为 曲线在平面上投影曲线方程为 曲线在平面上投影曲线方程为第 8 页 共 8 页