第1章线性规划应用

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1、1生产计划问题生产计划问题l明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？甲乙丙资源限制铸造工时(小时/件)51078000机加工工时(小时/件)64812000装配工时(小时/件)32210000自产铸件成本(元/件)354外协铸件成本(元/件)56-机加工成本(元/件)213装配成本(元/件)322产品售价(元/件)2318162l解：设 x1，x2，x3分

2、别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数， x4，x5 分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。 求 xi 的利润：利润 = 售价 各成本之和 可得到 xi （i= 1,2,3,4,5） 的利润分别为 15、10、7、13、9 元。 这样我们建立如下的数学模型: 目标函数： max 15x1 + 10 x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5 约束条件： s.t. 5x1 + 10 x2 + 7x3 8000 6x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 12000 3x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 10000 x1,x2,x

3、3,x4,x5 03市场应用市场应用l某房地产开发公司正在建造一个湖边小区，公司准备投入3万元进行广告媒体宣传，希望能够吸引周围的中高收入家庭前来购房。目前有5种媒体可供选择，相关信息如表所示：4市场应用市场应用媒体被告知的潜在顾客数（人/次）广告费用（元/次）媒体最高使用次数（次）每次宣传的质量日间电视100015001565夜间电视200030001090日报15004002540周末新闻杂志25001000460电台广播30010030205市场应用市场应用l要求：1）至少进行10次电视广告播放；2）至少有5万名潜在顾客被告知；3）电视广告收入不超过18000元。如何进行媒体组合，才能使

4、广告质量最高？6l解（1）确定决策变量：设 分别表示日间电视、夜间电视、日报、周末新闻杂志、电台广播五种媒体的使用次数。 （2）确定约束条件： 1）预算资金约束。 2）潜在顾客被告知度的限制。 3）电视广告播放次数的限制。 12345,xxxxx1234515003000400100010030000 xxxxx12345100020001500250030050000 xxxxx1210 xx74）电视广告投入资金的限制。5）媒体最高使用次数约束（3）确定目标函数121500300018000 xx12345151025430 xxxxx12345max6590406020zxxxxx8l综

5、上所述，该问题的线性规划问题模型为123451234512345121212345max65904060201500300040010001003000010002000150025003005000010150030001800015.10254300,1,7izxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxstxxxxxi9金融计划金融计划l连续投资问题 某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知： 项目A，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115 % ； 项目B，第三年初需要投资，到第五年末能回收本利125 % ，但规定最大投资额不超过4万元； 项目C，第二年初需要投资，到第

6、五年末能回收本利140 % ，但规定最大投资额不超过3万元； 项目D，五年内每年年初可购买公债，于当年年末归还，并加利息6%。 该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目每年的投资额，使到第五年末拥有的资金的本利总额为最大？10(1),(1,2,3,4,5), ,iAiBiCiDxxxxiiA B C D解： 确定变量：设分别表示第 年年初给项目的投资额。12345A x1Ax2Ax3Ax4ABx3BCx2CDx1Dx2Dx3Dx4Dx5D年份项目111122213331244235343(2)1000001.06(1 15%)(1 6%)1.151.061.151.06,ADACDDA

7、BDADADADDADBxxxxxxxxxxxxxxxxxxB Cx投资额应等于手中拥有的资金额，手中不应当有剩余的呆滞资金。第一年：该部门年初拥有100000元，所以有第二年：第三年：第四年：第五年：此外，项目的投资有限额的规定：即：243254000030000(3)1.151.251.401.06CABCDxMaxzxxxx目标函数：要求第五年末该部门手中拥有的资金额达到最大。12432511122212333234434532(4)1.151.251.401.06. .1000001.0601.151.0601.151.0601.151.0604000030000,ABCDADDACD

8、ADABDADADADDBCiAiBiMaxzxxxxstxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx数学模型,0,1,5.CiDxi 1311222333445(5)3478365217391306521700,40000045000,0014375043 75%.ADACDABDADDxxxxxxxxxxx用单纯形法计算结果得到第一年：元，元第二年：元，元,元第三年：元元,元第四年：元元第五年：元到第五年末该部门拥有资金总额为元，即盈利.14套裁下料套裁下料l合理利用线材问题。现要做100套钢架，每套用长2.9m，2.1m和1.5m的元钢各一根。已知原料长7.4m，问应如何下料，使用的原

9、材料最省。15l解：写出所有可能的下料方案（从剪裁的一种思路考虑）方案 1方案 2方案 3方案 4方案 5方案 6方案 7方案 82.9 m211100002.1 m021032101.5 m10130234合计7.37.16.57.46.37.26.66.0剩余料头0.10.30.901.10.20.81.4整理为剩余料头从小到大的方案顺序方案 1方案 2方案 3方案 4方案 5方案 6方案 7方案 82.9 m120101002.1 m002211301.5 m31203104合计7.47.37.27.16.66.56.36.0剩余料头00.10.20.30.80.91.11.416考虑下