第二章 内积空间

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1、第二章第二章 内积空间内积空间 当向量元素在复数域内取值时，欧氏空间当向量元素在复数域内取值时，欧氏空间就被推广到了就被推广到了。许多欧氏空间中的定义。许多欧氏空间中的定义和性质几乎可以和性质几乎可以“平滑地平滑地”推广到酉空间。欧推广到酉空间。欧氏空间和酉空间统称为氏空间和酉空间统称为。 线性空间中向量的运算仅是线性空间中向量的运算仅是线性运算线性运算。一。一般而言，我们知道，现实世界是般而言，我们知道，现实世界是3维欧氏空间。维欧氏空间。对于对于 维线性空间，定义了维线性空间，定义了以后，向量不以后，向量不仅有了仅有了长度长度（模），还有了两向量之间的（模），还有了两向量之间的夹角夹角等等

2、。特别是有了。特别是有了概念后，我们可概念后，我们可以得到以得到标准正交基标准正交基、勾股定理勾股定理、正交投影正交投影等许等许多优美的结果。多优美的结果。n1、欧氏空间的基本概念、欧氏空间的基本概念向量空间中向量的长度与夹角是用内积向量空间中向量的长度与夹角是用内积定义的，因此要在线性空间中引入相关定义的，因此要在线性空间中引入相关概念，自然要概念，自然要对内积的概念进行推广对内积的概念进行推广。由于向量的内积与向量的线性运算无关，由于向量的内积与向量的线性运算无关，所以欧氏空间实际上是所以欧氏空间实际上是特殊的线性空间特殊的线性空间，即定义了内积的线性空间。即定义了内积的线性空间。一、内积

3、空间一、内积空间(Inner Product Space)在在线性代数线性代数中，我们将中，我们将 中的内积推广到中的内积推广到 ：nRnR11( , ),TTnnnx yx yx yx yy xx yR 3R并在此基础上定义了并在此基础上定义了 中的向量长度、夹角等概念。中的向量长度、夹角等概念。当然可以将这种定义推广到任意线性空间，但由于这当然可以将这种定义推广到任意线性空间，但由于这种定义与向量空间的基有关，我们目前不打算这样做。种定义与向量空间的基有关，我们目前不打算这样做。取而代之的是，注意到取而代之的是，注意到内积是从两个向量得到的一个内积是从两个向量得到的一个数数，我们自然希望确

4、定这种运算的性质，进而给出线，我们自然希望确定这种运算的性质，进而给出线性空间中内积的性空间中内积的公理化定义公理化定义。(1)( , )( , );x yy x 对对称称性性：(2)(, )( , )( , );(+ )( , )( , );xy zx zy zxy zx yx z 性性性性：，双双线线(, )( , ) ,;( ,)( , ) ,;kx yk x ykRx kyk x ykR(3)( , )0;x x 正正性性：(4)( , )=0.x xx 定定性性：注意到注意到 中的内积显然具有如下性质：中的内积显然具有如下性质：nR(2)(, )( , )( , );(+ )( ,

5、)( , );xy zx zy zxy zx yx z 性性性性：，双双线线(, )( , ) ,;( ,)( , ) ,;kx yk x ykRx kyk x ykR(1) ( ,)( ,); (2) (,)( ,);()R (3)(, )( , )( , ); (4) ，当且仅当，当且仅当 时，等号成立。时，等号成立。 ( ,)0 V 、 、 是实数域是实数域 上的线性空间。如果对上的线性空间。如果对 中任意中任意两个向量两个向量 都存在所谓都存在所谓 与与 的的 ，满足下面，满足下面四个条件四个条件。称定义了内积的线。称定义了内积的线性空间性空间 为为，简称，简称。VVRVV 、 ()R

6、 , ,据此，我们可以给出线性空间中内积的据此，我们可以给出线性空间中内积的公理化定义公理化定义。( ,)TT 例例2 2 定义了定义了的的 是欧氏空间。这里，是欧氏空间。这里，对任意两个向量对任意两个向量 及及 ， 标准内积为标准内积为nR12(,)Tnna aaR 12(,)Tnnb bbR 1 122.nna ba ba b ( ,)TT 2121|(,) ,TniiHa aaa 1 122nna ba ba b例例3 3 定义了定义了的集合的集合 称为称为，这里，这里 是所有是所有平方和收敛平方和收敛的的实数列实数列的集合，即的集合，即HH将向量推广到无限维，可得到：将向量推广到无限维

7、，可得到： , (, ),Tn nx yAx yy AxAR 例例 4 4 在向量空间在向量空间 中，对任意中，对任意 和和实对称矩阵实对称矩阵 ，定义，定义nRAnxyR 、则则 是是 的一个内积。的一个内积。 , x ynR特别地，特别地， 时时 就是二就是二次型次型 ；当；当 时就是前面的标准内积。时就是前面的标准内积。 , Tx xx Ax xy AI 注意到标准内积是特殊的二次型注意到标准内积是特殊的二次型 ，因此有如下推广：，因此有如下推广：由于由于函数也可以看成向量函数也可以看成向量，所以内积也可以推广到函，所以内积也可以推广到函数。先考虑折线函数：数。先考虑折线函数：12|(,

8、) TnFfffff 显然其内积可定义为显然其内积可定义为1122(, )nniif gf gf gf gf g 如果将一般函数看成具有无穷段折线段的向量如果将一般函数看成具有无穷段折线段的向量，此时，此时上面的内积定义又会变成什么形式呢？上面的内积定义又会变成什么形式呢？无限求和即积分！无限求和即积分！, , ( , )( ) ( )baf gf x g x dxfgC a b、 证明：证明：例例 5 5 线性空间线性空间 按下列内积构成欧氏空间：按下列内积构成欧氏空间： , C a b则由函数的连续性，存在邻域则由函数的连续性，存在邻域( )0,( , ).f cca b 当当 时，若有时

9、，若有 2( ,)( )0baf ffx dx ，使其内任意点的函数值满足，使其内任意点的函数值满足 ， 从而从而2( )0fx ( , )N c 22( ,)( )( )0bcacf ffx dxfx dx 矛盾。其他性质显然可证。矛盾。其他性质显然可证。11( ,)mni ji jija bA B 则则 是定义了内积是定义了内积 的内积空间。的内积空间。( ,)A BmnR 例例6 6 在矩阵空间在矩阵空间 中，对任意中，对任意定义定义mnR m nABR 、类似地，类似地，将矩阵看成由行向量依次连接而成将矩阵看成由行向量依次连接而成的一个超级向量的一个超级向量，即可得如下，即可得如下内积

10、定义内积定义：()()TTtr B Atr A B (7) ( , )( ,). 根据前面的分析，欧氏空间中内积还具有下列性质。根据前面的分析，欧氏空间中内积还具有下列性质。(5) (+ )( , )( , );xy zx yx z，(6) ( ,)( , ) ,;x kyk x ykR 222123123( , ),(,)Txxxxx xxxxx 注意到注意到3维空间中，维空间中， 欧氏空间欧氏空间 中的向量中的向量 的的为为V ,.() 特别地，称特别地，称 的向量的向量 称为称为。 1 任意非零向量任意非零向量 ，经过，经过或或后可得到单位后可得到单位向量向量. 二、欧氏空间的度量二、欧

11、氏空间的度量我们知道，平面几何中成立余弦定理，那么我们知道，平面几何中成立余弦定理，那么n维空维空间中余弦定理是否仍然成立呢？间中余弦定理是否仍然成立呢？注意到注意到 (,)( ,)( ,) (,)( , )( , ) 2 ( , )( , ) ( , )( , )( , ) 2( ,)( ,) ( ,). 证明证明：对任意对任意 ，显然，显然R 0(,) 2( ,)2( ,)( ,) 当当 时，取时，取 即即两向量线性相关两向量线性相关时等式时等式 成立。成立。0 （柯西柯西-施瓦茨不等式施瓦茨不等式）如果如果 是是数域数域 上上的的，则对，则对 中的任意向量中的任意向量 ，有，有VRV 、