最新数学分析知识点最全汇总
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1、1第一章实数集与函数第一章实数集与函数11 实数实数授课章节：授课章节：第一章实数集与函数1 实数教学目的教学目的：使学生掌握实数的基本性质教学重点教学重点：(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；(2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式 （它们是分析论证的重要工具）教学难点教学难点：实数集的概念及其应用教学方法教学方法：讲授 （部分内容自学）教学程序教学程序：引引 言言上节课中，我们与大家共同探讨了数学分析这门课程的研究对象、主要内容等话题从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始 问题问题 为什么从“
2、实数”开始答：数学分析研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课复变函数研究的是定义在复数集上的函数） 为此，我们要先了解一下实数的有关性质一、实数及其性质一、实数及其性质21 1、实数、实数( ,qp qp有理数: 任何有理数都可以用分数形式为整数且q0)表示，也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示.无理数: 用无限十进不循环小数表示. |Rx x一一一-一一一一一一一 问题问题 有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的为以下讨论的需要，我们把“有限小数” （包括整数）也表示为“无限小数” 为此作如下规定：对于正有限小数其中012.,nxa a aa，
3、记；009,1,2, ,0,inain aa为非负整数011.(1)9999nnxa aaa对于正整数则记；对于负有限小数（包括0,xa0(1).9999xa负整数），则先将表示为无限小数，现在所得的小数之前加yy负号0 表示为00.0000例： ；2.0012.0009999利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示在此规定下，如何比较实数的大小？2 2、两实数大小的比较、两实数大小的比较1）定义定义 1 1 给定两个非负实数，. 其01.nxa aa01.nyb bb中为非负整数，为整数，若有00,a b,kka b(1,2,)k 09,09kkab32.99992.0012.0
4、0999932.9999 ；3，则称 与相等，记为；若或存在非负,0,1,2,kkabkxyxy00ab整数 ，使得，而，则称 大于或小于l,0,1,2,kkabkl11llabxyy，分别记为或对于负实数 、，若按上述规定分别有xxyyxxy或，则分别称为与（或） xy xy xyxyyx规定规定：任何非负实数大于任何负实数2）实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较） 定义定义 2 2（不足近似与过剩近似不足近似与过剩近似）：为非负实数，称01.nxa aa有理数为实数 的 位不足近似位不足近似；称为实数01.nnxa aaxn110nnnxx的 位过剩近似位过剩近似，.xn0,1,2,
5、n 对于负实数，其 位不足近似；01.nxa aa n011.10nnnxa aa 位过剩近似.n01.nnxa aa 注：实数 的不足近似当 增大时不减，即有； xnxn012xxx过剩近似当 n 增大时不增，即有nx012xxx命题命题：记，为两个实数，则的等01.nxa aa01.nyb bbxy价条件是：存在非负整数 n，使（其中为 的 位不足近似，nnxynxxn为的 位过剩近似） nyyn命题应用命题应用例例 1 1设为实数，证明存在有理数 ，满, x yxyr足xry证明：由，知：存在非负整数 n，使得令xynnxy，则 r 为有理数，且12nnrxy即nnxxryyxry43
6、3、实数常用性质、实数常用性质（详见附录） 289302PP1 1）封闭性）封闭性（实数集对）四则运算是封闭的即任意两R, , , 个实数的和、差、积、商（除数不为 0）仍是实数2 2）有序性）有序性：，关系，三者必居其一，也, a bR,ab ab ab只居其一.3 3）传递性）传递性：，abcR，,ab bcac若，则4 4）阿基米德性）阿基米德性：使得,0a bR banN nab5 5）稠密性）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数6 6）一一对应关系）一一对应关系：实数集与数轴上的点有着一一对应关系R例例 2 2设，证明：若对任何正数 ，有，, a bRab则ab（提示：反证法利用
7、“有序性” ，取）ab二、绝对值与不等式二、绝对值与不等式1 1、绝对值的定义、绝对值的定义实数 的绝对值的定义为a,0|0aaaaa2 2、几何意义、几何意义从数轴看，数 的绝对值就是点 到原点的距离表示a|aa|xa就是数轴上点 与 之间的距离xa3 3、性质、性质1）（非负性） ； | | 0;| 00aaaa 2）；|aaa53），；|ahhah |.(0)ahhah h 4）对任何有（三角不等式） ；, a bR| | |ababab5）； | | |abab6）（） |aabb0b 三、几个重要不等式三、几个重要不等式1 1、 ,222abba. 1 sin x. sin xx 2
8、 2、均值不等式:对记,21Rnaaa (算术平均值),1 )(121niiniannaaaaM (几何平均值),)(1121nniinniaaaaaG (调和平均值).1111111)(1121niiniiniananaaanaH有平均值不等式:即：),( )( )(iiiaMaGaH121212111nnnnaaana aanaaa等号当且仅当时成立.naaa213 3、Bernoulli 不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)有不等式, 1x(1)1, .nxnxn N当且,且时,有严格不等式1x0 xNn2n.1)1 (nxxn证：由且01 x111)1 (1)1 ( , 01nnxn
9、xx ).1 ( )1 ( xnxnnn.1)1 ( nxxn4 4、利用二项展开式得到的不等式:对由二项展开式, 0h6 ,! 3)2)(1(! 2) 1(1)1 (32nnhhnnnhnnnhh 有 上式右端任何一项.nh)1 ( 练习练习P45课堂小结课堂小结：实数：.一 实数及其性质二 绝对值与不等式作业作业P41(1)，2(2)、(3)，322 数集和确界原理数集和确界原理授课章节：授课章节：第一章实数集与函数2 数集和确界原理教学目的教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.教学要求：教学要求：(1)掌握邻域的概念；(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证
10、明中正确地加以运用.教学重点教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.教学难点教学难点：确界的定义及其应用.教学方法教学方法：讲授为主.教学程序教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.引引 言言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章1 实数的相关内容.下面，我们先来检验一7下自学的效果如何！1、证明：对任何有：(1)；(2) xR|1|2| 1xx.|1|2|3| 2xxx（）111 (2)12 ,121xxxxx （）（）2121,231,232.xxxxxx （）三式相加化简即可2、证明：.|xyxy3、设，证明：若对
11、任何正数 有，则., a bRabab4、设，证明：存在有理数 满足.,x yR xyryrx 引申引申 ：由题 1 可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具.本节主要内容本节主要内容：1、先定义实数集 R 中的两类主要的数集区间与邻域；2、讨论有界集与无界集；3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理
