高等数学 多元函数微分法及其应用

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1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束1/51多元函数微分法多元函数微分法及其应用及其应用第七章第七章习题课习题课一、关于多元函数极限的题类一、关于多元函数极限的题类二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类三、关于偏导数、全微分计算的题类三、关于偏导数、全微分计算的题类四、关于多元函数微分学应用的题类四、关于多元函数微分学应用的题类1.几何应用几何应用.2.极极(最最)值值机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束2/51本章基本概念及其关系本章基本概念及其关系连续性连续性 偏导数存在偏导数存在 方向导数存在方

2、向导数存在可微性可微性1. 多元函数的定义、极限多元函数的定义、极限 、连续、连续 定义域及对应规律定义域及对应规律 判断极限不存在及求极限的方法判断极限不存在及求极限的方法 函数的连续性及其性质函数的连续性及其性质2. 几个基本概念的导出关系几个基本概念的导出关系机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束3/51偏导数连续偏导数连续可可 微微连连 续续偏导数存在偏导数存在极限存在极限存在极限存在极限存在【必须【必须熟练掌握熟练掌握本章以下几个概念之间的关系本章以下几个概念之间的关系】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束4/51一、关于多元函数极限的题类一

3、、关于多元函数极限的题类二元函数的极限比一元函数的极限要复杂得多，计算二元函数的极限比一元函数的极限要复杂得多，计算也更困难：也更困难：【例【例1】2200limyxxyyx 求求【解【解】取路径取路径 y = k x，则，则 , 1)1(limlim22220220kkxkkxyxxyxkxyx 与与k有关有关,故不存在故不存在.【例【例2】2201)ln(limyxexyyx 计算计算初等函数初等函数.(1,0)定义域定义域内点内点.连续连续.代入法代入法【例【例3】2322222200)(sinlim yxyxyxyx 求求换元换元,化为一元化为一元函数的极限函数的极限机动机动 目录目录

4、 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束5/51【阅读与练习【阅读与练习】求下列极限求下列极限; )0( )sin(lim)1(0 axxyayx;)11(lim)2(222yxxayxx ;)sin1(lim)3(100 xyyxxy 【解【解】 )sin(lim)1(0ayxyxyayx 原式原式 1)11(lim)2(022 exyxxxayx原式原式 )sin1(lim)3(sinsin100exyxyxyxyyx 原式原式【提示【提示】可以引用一元函数求极限的各种技巧可以引用一元函数求极限的各种技巧4422lim)4(yxyxyx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结

5、束结束6/51【例【例4】【解【解】222limxyxxyyx 求求由于由于22221|2|022xxxxyxyyxxy 且且021lim2 xx故原极限故原极限=0夹逼准则夹逼准则 0lim22224422 yxyxyxyxyx原式原式,214422 yxyx0)11(limlim222222 xyyxyxyxyx(4) 【法【法】【法【法】0220,4444444422 yxyxyxyxyxyx夹逼准则夹逼准则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束7/51二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类1.一般来说，讨论一般来说，

6、讨论二元二元函数函数z = f (x,y)在某点的连续性、可在某点的连续性、可偏导性以及可微性时，都要用相应的偏导性以及可微性时，都要用相应的定义判定定义判定；尤其是；尤其是分段函数在分段函数在分界点分界点的上述的上述“性态性态”就是要用各自的就是要用各自的定义定义判断判断.连连 续续),(),(lim0000yxfyxfyyxx 可偏导可偏导hyxfyhxfyxfhx),(),(lim),(0000000 可可 微微0),(),(lim),( 0000000 yyxfxyxfzyxyx可微可微点点220000)()(, ),(),( yxyxfyyxxfz 其中其中内含三条，缺一不可内含三条

7、，缺一不可包括高阶偏包括高阶偏导数定义等导数定义等机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束8/512.【二元函数在区域内的偏导数二元函数在区域内的偏导数】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束9/51偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如u = f (x , y , z) 在在(x , y , z) 处处 ,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 3.【多元函数的偏导数【多元函数

8、的偏导数】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束10/514. 【偏导数的几何意义【偏导数的几何意义】,),(),(,(00000上上一一点点为为曲曲面面设设yxfzyxfyxM 如图如图机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束11/51 xyz),(00yx0MxTyTo0 x0y0M 00),(yyyxfz 00),(xxyxfz机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束12/51【5.5.几何意义】几何意义】 . tan . tan ? )5 , 4 , 2(44 . 522的倾角是多少的倾角是多少轴轴处的切线对于处的切线对于在点在点

9、曲线曲线xyyxz tan)5,4,2( xz机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束13/51【例【例1】【解【解】 , 0, 00,),(2222222 yxyxyxyxyxf设设 )0 , 0(),(？处是否连续处是否连续在点在点问问yxf2220000lim),(limyxyxyxfyxyx 0 0222 yyxyx)0 , 0(0),(lim00fyxfyx . )0 , 0(),(处是连续的处是连续的在点在点即即yxf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束14/51【解】【解】 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yx

10、yz.72213 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束15/51【证】【证】 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立 【证完】【证完】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束16/51例4. 计算函数计算函数在点 (2,1) 处的全微分. yxez 解解:xz222) 1 , 2(,) 1 , 2(eyzexzyexezd2dd22) 1 , 2(例例5. 计算函数的全微分. zyeyxu2sin解解: udyz,yxeyyxex)d2d(2yxe机动 目录 上页

11、下页 返回 结束 ?机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束17/51作业作业 p100 同济同济p62, p69机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束18/51三、三、关于高阶偏导数、关于高阶偏导数、全微分计算的题类全微分计算的题类),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfxyzyzxyx 二阶纯偏导数二阶纯偏导数二阶混合偏导数二阶混合偏导数1. 【高阶偏导数的定义【高阶偏导数的定义】 , ),(2yxfyxzxzyxy 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束19/51【定义式】【定义式】xyxfy