设备振动基础与旋转体平衡简介

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1、安装原理课程辅导答疑主题设备振动基础与旋转平衡简介 物体在平衡位置附近的重复往返运动叫机械振动, 振动必然表现为某些物理量的周期变化 广义地说，只要某一物理量在时间上做周期性变化，就存在一种振动；如果某一物理量不仅在时间上做周期性变化，而且在空间上也做周期性变化，那么就存在一种波动 在力学、电磁学、光学、原子物理学中都普遍存在振动和波动现象，虽然本质不同，但对它们的数学描述是完全相同的 简谐振动是最基本、最简单的，各种复杂振动都可以看作若干简谐振动的合成 所谓回复力或回复力矩，就是迫使物体回到平衡位置的力或力矩 所谓平衡位置，就是振动物体所受的力或力矩等于零的位置，一般把坐标原点取在平衡位置

2、简谐振动的两个动力学特征完全等价物体在线性回复力或线性回复力矩的作用下运动， 回复力的形式f=-kx，回复力矩的形式= - c02022 QdtQd 动力学方程为二阶齐次线性常微分方程 设Q为振动物体的位移，则方程形式为：弹簧振子：忽略各种阻力和弹簧质量的理想模型 平衡位置：弹簧原长，选为原点 ；回复力：f = - kx kmoxf单摆：忽略阻力和摆线质量，摆锤可视为质点，摆角小于5度 mgTloox平衡位置：竖直位置；如当作角振动，选oo为角坐标的参考线；如当作线振动，选o为x轴的坐标原点回复力矩： mglmgl sin 由转动定理： 0,22222 lgdtddtdmglml令 0,202

3、022 dtdlg02022 xdtxd 0,2222 xkxmmkdtxddtxd由牛二定律：由牛二定律：0,202022 dtdIC令令Ixy证明：在平衡位置证明：在平衡位置 , , 取为原点取为原点o omglk 所以与水平弹簧振子一样也是简谐振动所以与水平弹簧振子一样也是简谐振动 动力学方程为动力学方程为mkdtxdx 2020, 022 loxFmg不计阻力和弹簧质量，试证明竖直弹簧振不计阻力和弹簧质量，试证明竖直弹簧振 子的运动也是简谐振动子的运动也是简谐振动kxxlkmgf )(回复力：回复力：0,2222 IcdtddtdcI由转动定理由转动定理扭摆扭摆 ：忽略各种阻力，忽略弹

4、性杆的质量：忽略各种阻力，忽略弹性杆的质量 回复力矩回复力矩= - c 动力学方程动力学方程 的解就是运动学方程的解就是运动学方程02022 xdtxd 简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程)cos(0 tAx据常微分方程理论，其解可写为：据常微分方程理论，其解可写为：0由振动系统本身决由振动系统本身决 定，定，和和A由由振动的初始条件决定，振动的初始条件决定，x 可以是线位移，也可以是角位移。可以是线位移，也可以是角位移。)cos(),sin(0200022 tAtAdtxddtdx解的正确性可进行验证解的正确性可进行验证: : 圆频率圆频率0：单摆：单摆 ,弹簧振子弹簧振子 ,扭摆扭摆

5、 lg 0 mk 0 IC 0 相位相位 用以确定振动状态，或比较振动步调用以确定振动状态，或比较振动步调 t0)cos()cos()cos(),sin(),cos(020200020000 tAtAtAatAvtAxt=0时的相位时的相位叫初相，用以确定振动的初始状态叫初相，用以确定振动的初始状态 简谐振动的周期性简谐振动的周期性 CIkmglT 2 ,2 ,2 频率频率v：单位时间完成全振动的次数，：单位时间完成全振动的次数，v =1/T，单位，单位 s-1 = HzvTT 2/2,200 或或0的单位：的单位：rad/s)(cos)cos(),()(00 TtAtATtxtx由周期含义由

6、周期含义振幅振幅A描述位移的变化范围，描述位移的变化范围，A=xm，A0周期周期T：完成一次全振动所需时间：完成一次全振动所需时间)sin(),cos(000 tAvtAx由初始条件确定A和 和和求求，时时，例例题题：Av ,xt),tcos(Ax3101010 )10sin(10),10cos( tAdtdxvtAx解解：2, 4222 AA得得： sin,cos000AvAx 设设t=0时，时，x=x0，v=v0，代入位移和速度表达式，代入位移和速度表达式由即可求出由即可求出A和和，注意：，注意：A为正值，为正值，要同时要同时满足两式，习惯上满足两式，习惯上|0即即， sin3,sin10

7、310cos1AAA 代入初始条件：代入初始条件：32321,sin,cos 将将A=2代入代入,得：得： 简谐振动的矢量表示法 Ax0)cos(),cos(20221011 tAxtAx简谐振动可用以旋转矢量简谐振动可用以旋转矢量 来表示，在任意时刻来表示，在任意时刻t，它，它在在x轴上的投影就是简谐振动的位移轴上的投影就是简谐振动的位移A)cos(0 tAxA1A2x 2 , 1 , 0,22121nn 若若 则相位相同则相位相同 2 , 1 , 0,)12(21nn 若若 则相位相反则相位相反 一般一般 即超前或落后的角度不大于即超前或落后的角度不大于 |0,21A1A2xA1A2x比较

8、如下两个振动的步调：比较如下两个振动的步调： 简谐振动的相平面表示和x-t图像 相平面表示：相平面表示： )sin(),cos(000 tAvtAx1)(20222 AvAx A0Axv 画画 的的x-t图像：图像： )5cos(2 . 03 tx)(5cos2 . 0151 tx 151 tt令令 据余弦函数曲线的特点和周期据余弦函数曲线的特点和周期 156525220 T以以 秒为时间单位，先画秒为时间单位，先画 的图像，的图像，然后将然后将x 轴向左平移轴向左平移 即可即可 5cos2 . 0tx 151151xt(1/15)01 23456781.3 简谐振动的能量 简谐振动的动能、势

9、能和总能 在简谐振动中只有保守内力做功，因此，动能和势能互相转换，总机械能保持不变。 以弹簧振子为例：)t(sinkA)t(sinAmmvEk 022210222021221mk),tsin(Av),tcos(Ax 20000 )t(cosAm)t(coskAkxEp 022202102221221CAmkAEEEpk 22021221 例题：将水平弹簧振子从平衡位置拉开4.010-2m后释放，水平拉力为24N，求：总机械能； x=A/2时的动能和势能解：由题意解：由题意 12100 . 4242106,100 . 42 NmkmAJkAE48. 0)100 . 4(10622221221 J

10、kxExpA12. 0)100 . 2(106222212212 时时，JEEEpk36. 012. 048. 0 oxF用能量守恒定律求简谐振动运动学方程)()( ,)(222221221221xAkAkxmmkdtdxdtdx dtdtxAmkxAdxmkxAdxmkdtdx2222,22) sin(, arcsin ttmkAxmkAx)cos()sin(020 tAtAx 20,mk取正号，令取正号，令以弹簧振子为例以弹簧振子为例 ：弹簧质量对固有频率的影响 lmsoxmdlL已知弹簧原长已知弹簧原长L，质量，质量ms，劲度系数，劲度系数k，振子质量，振子质量m ，设弹簧质量及形变沿设

11、弹簧质量及形变沿 x 轴均匀分布，在距固定端轴均匀分布，在距固定端l处取处取一线元一线元 dl ，振子位移为，振子位移为 x 时，时，dl 相对固定端的位移为相对固定端的位移为 ，速度为，速度为 ，动能为，动能为xLlxLl221)()(xdldELlLmkS 整个弹簧的动能：整个弹簧的动能：221232102221)(3xmxdllxESSmLLmk 其中，其中， ，称为弹簧的等效质量，称为弹簧的等效质量3/Smm 221) (xmmEk 整个振动系统的动能：整个振动系统的动能：3/0SmmkmmkMk 水平弹簧振子的总质量相当于水平弹簧振子的总质量相当于M=m+m, 所以振子的固所以振子的