第七章离散时间系统的Z域分析.
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1、 第七章 离散时间系统的Z域分析本章的主要内容vz变换定义、典型序列的变换定义、典型序列的z变换变换vz变换的收敛域变换的收敛域v逆逆z变换变换vz变换的基本性质变换的基本性质vz变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系v利用利用z变换解差分方程变换解差分方程v离散系统的系统函数离散系统的系统函数v序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换第一节 引言一、Z变换方法的发展历史v1730年，英国数学家棣莫弗（De Moivre 1667-1754)将生成函数（generation function)的概念引入概率理论中。v19世纪拉普拉斯（P.S.Laplace)至20世纪的沙尔（H.L.Seal)等人贡
2、献。v20世纪50，60年代z变换成为重要的数学工具。vz变换的地位与作用：类似于连续系统中的拉普拉斯变换。二、z变换的引入v借助于抽样信号的拉氏变换引出。借助于抽样信号的拉氏变换引出。v连续因果信号连续因果信号x(t)经均匀冲激抽样，则抽样信经均匀冲激抽样，则抽样信号号xs(t)的表示式为：的表示式为： 0( )( )( )() ()sTnx tx ttx nTtnT两边取拉氏变换两边取拉氏变换000( )( )() ()ststssnX sx t e dtx nTtnTe dtz变换的引入v积分与求和的次序对调积分与求和的次序对调sTze引入一个新的引入一个新的复变量复变量z000( )(
3、)()()stsnnTsnX sx nTtnT e dtx nT e100( )()( )( )TnnnnX zx nT zX zx n z 令第二节Z变换定义、典型序列的z变换一、Z变换定义Z变换定义变换定义Z序列的 变换：-nZx(n)x(n)zn双边 变换 X(z)=Z-0nZx(n)x(n)znX(则其单边 变换z) =Zx(n)设 某 序 列 为ZZZ：非因果序列也有一定应用， 着重单边变换分析同时 适当兼顾双边变换变换的应用分析。ssejz其 中 复 变 量 ,；-1x(n)z也 称的， X(z 是的 幂 级 数 或生 成 函 数)洛 朗 级 数Z变换定变换定义义二、二、 典型序列
4、的典型序列的Z变换变换 ( )2u n单位阶跃序列 ( )3nu n 斜变序列 )1(n单位样值序列1 Z1,1zz zZ21,1zz zZn0( )n1n0( )u n1 ( )na u n4 单边指数序列 0sin(5)nu n单边正弦序列 0020012sin2 cos1,1jjzzjzezezzz zZzza Z典型序列的典型序列的Z变换变换 0cos(6)nu n单边余弦序列 0002012(cos)21cos,1jjzzz ez ez zzz zZ典型序列的典型序列的Z变换变换第三节Z变换的收敛域一、一、 Z变换的收敛域变换的收敛域收敛域(ROC:region of converg
5、ence)：收敛域的说明： 变换中序列与变换式、收敛域对应； 变换中序列与变换式、收敛域双边不唯单边唯一一对应。x(n), zz对任意给定的有界序列使级数收敛其 变换定义式的所有 值集合级数收敛的充分条件：,limnnn=-n+1n比值判定法(a1)： 设一个正项级数a令a其11则当时，级数收敛；当时，级数发散。 -nn=-x(n)zZ变换的收敛域变换的收敛域,limnnn=nn-(2)： 设一个正项级数a令根值a判定法其11则当时，级数收敛；当时，级数发散。p.52 8-1（常用序列的收敛域参见表）Z变换的收敛域变换的收敛域举例举例7.1( )x n解：为双边序列( )( )(1),0,zn
6、nx na u nb unbaab 已知序例、求其 变换并确定其收敛域-n0Zx(n)zn若求单边变换 X(z)=nn00( )(1)nnnna u n zb unzX(z)=n0nna z=z当za时，X(z)=z-aa8.1收敛域为以零点为圆心、 为半径的园外部分 （如例图所示）举例举例7.10jIm(z)Re(z)a图8.1序列单边Z变换的收敛域-nZx(n)zn若求双边 变换 X(z)=nn( )(1)nnnna u n zb unzX(z)=1nn0nnnna zb z=n001nnnnna zbz=举例举例7.1zz当a z b时，X(z)=z-az-b8.2收敛域为以零点为圆心、
7、 内/外半径a/b的园环形 （如例图所示）举例举例7.10jIm(z)Re(z)a图8.2序列双边Z变换的收敛域b二、几类序列的Z变换收敛域1、有限长序列、有限长序列此序列只在有限的区间有限的区间(n1n n2)具有非零非零的有限值，此时，Z变换为：1）n10时，除z=及z=0外，X(z)在z平面上处处收敛。即收敛域为：21-nx(n)znnn X(z)=0z 几类序列的Z变换收敛域2）n10时，除z=0外，X(z)在z平面上处处收敛。即收敛域为：0z 所以，有限长序列的z变换收敛域至少为：0z 且有可能包括z=或z=0点。几类序列的几类序列的Z变换收敛域变换收敛域2、右边序列、右边序列此序列
8、是有始无终的序列，即当(nn1时x(n)=0),此序列的Z变换为：1-nx(n)znn X(z)=1limlimnxnR - nnn 根 据 根 值 判 别 法 :x ( n ) z 1即 : zx ( n )几类序列的几类序列的Z变换收敛域变换收敛域看出：11xxRR 则 该 级 数 收 敛 .其 中是 级 数 的z收 敛 半 径 .可见：右边序列的收敛域是半径为Rx1的圆外部分。1xRz1）如果n1 0，则收敛域包括z=。即收敛域为2）如果n10，则收敛域不包括z=。即收敛域为1xR n2时,x(n)=0),此序列的Z变换为：2-nx(n)znn X(z)=22xxRR 其 收 敛 域 为
9、 : 则 该 级 数 收 敛 .其 中是 级 数z的 收 敛 半 径 .几类序列的几类序列的Z变换收敛域变换收敛域2-nx(n)znn 推 导 : X(z)=2lim1limnxnR 22mnm=-nn=-nnnn若 令 m=-n,上 式 变 为 :X(z)=x(-m)z即 X(z)=x(-n)z根 据 根 值 判 别 法 :x(-n)z1即 : zx(-n)几类序列的几类序列的Z变换收敛域变换收敛域2xR 可见,左边序列的收敛域是半径为的圆内部分.20 xRz1）如果n2 0，则收敛域不包括z=0。即收敛域为2）如果n2 0，则收敛域包括z=0。即收敛域为2xR z2xR z几类序列的几类序
10、列的Z变换收敛域变换收敛域4、双边序列、双边序列双边序列是从n=- 延伸到n=+ 的序列，此序列的Z变换为：1-n-n-n0 x(n)zx(n)zx(n)znnn X(z)=双边序列看成右边序列和左边序列的z变换叠加。几类序列的几类序列的Z变换收敛域变换收敛域2xRx1 可见,双边序列的收敛域是以半径为R 和之间的圆环部分.2112120,xxxxxxRRRRRR 其收敛域为:两级数收敛域的重叠部分. 则该级数收敛.其中R,N(z),D(z)按z的降幂排列若收敛域是zR,N(z),D(z)按z的升幂排列再用长除法,便可得到x(n).举例举例7.3 2( ),1,z(1)zX zzz已知求其逆
11、变换x n221111212123232224232363zzzzzzzzzzzzzzzz-1-2-3解：举例举例7.31230( )23nnX zzzznz得到:x(n)=nu(n) 112111( )1 2zzzX zzz另:和情况下,的逆变换x n部分分式3)展开法： N z设X(z数)=有理D z XXz=Rzkrz对因果序列 z为的收敛域， 需保证在处收敛。111111rrrrkkkkbb zbzb zaa zaza z00=逆逆Z Z变换变换则（1）当X(z)仅含一阶极点时 mmm=0Az-zk部分分式展开先X zz zXzzm一其中为的阶极点， zzXzzmmmz=A =z-逆逆
