第五章(第4,5节)多自由度系统的振动

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1、自由振动初始条件的响应自由振动初始条件的响应 系统自由振动的微分方程是系统自由振动的微分方程是n个二阶的常微个二阶的常微分方程组，其矩阵形式为分方程组，其矩阵形式为 ttMqkq0(5.4-1)式中式中q(t)为广义坐标为广义坐标qi(t)(i=1,2,n)的向量。的向量。 如果给定如果给定2n个初始条件个初始条件(即初始位移向量即初始位移向量q(0)=q0和初始速度向量和初始速度向量 ) ，就完全确，就完全确定了方程的一组特解，定了方程的一组特解，这组特解就是系统对初始这组特解就是系统对初始条件的响应。条件的响应。 00 qq 数学上称这类问题为微分方程组的初值问题。数学上称这类问题为微分方

2、程组的初值问题。求解初始条件响应的方法求解初始条件响应的方法 一般来说，式一般来说，式(5.4-1)是耦合是耦合( (弹性耦合或惯性耦弹性耦合或惯性耦合合) )方程，这样在给定方程，这样在给定2n个初始条件下，要求解联立方个初始条件下，要求解联立方程组。程组。 显然理想的情况是把方程解耦，使每一个方程中显然理想的情况是把方程解耦，使每一个方程中只有一个待求的坐标，方程之间无耦合，如同单自由度只有一个待求的坐标，方程之间无耦合，如同单自由度系统一样，每个方程可以独立求解。系统一样，每个方程可以独立求解。 前面已经阐述了方程的耦合不是系统本身固有的前面已经阐述了方程的耦合不是系统本身固有的属性，而

3、是由坐标系的选择所决定的。属性，而是由坐标系的选择所决定的。 借助于固有振型或正则振型进行坐标变换，就可借助于固有振型或正则振型进行坐标变换，就可以找到使方程解耦的一组广义坐标，避免求解联立方程，以找到使方程解耦的一组广义坐标，避免求解联立方程，这就是这就是振型叠加法振型叠加法的长处。的长处。 求解公式的推导求解公式的推导 解方程解方程(5.4-1)的特征值问题，求得系统的振型矩阵的特征值问题，求得系统的振型矩阵u，取，取u为坐标变换矩阵，可以将方程为坐标变换矩阵，可以将方程(5.4-1)解耦。令解耦。令称称 (t)为固有坐标向量。为固有坐标向量。 式式Mr为模态质量矩阵，为模态质量矩阵，Kr

4、为模态刚度矩阵，它们都是对为模态刚度矩阵，它们都是对角矩阵。角矩阵。 ttqu(5.4-2) 将式将式(5.4-2)代入方程代入方程(5.5-1)后，得后，得 ttMuku0 ttrrM K 0(5.4-3)由正交性得解耦的方程为由正交性得解耦的方程为用用uT左乘方程两边，得左乘方程两边，得 TTttu Muu ku0求解公式的推导求解公式的推导 若取正则振型矩阵若取正则振型矩阵u为坐标变换矩阵，有为坐标变换矩阵，有称称 (t)为正则坐标向量。为正则坐标向量。 同样将式同样将式(5.4-4)代入方程代入方程(5.4-1)后，并用正则振型后，并用正则振型矩阵的转置矩阵的转置uT左乘方程两边，由正

5、交性条件得解耦方程左乘方程两边，由正交性条件得解耦方程为为式中式中uTMu=I为单位矩阵，为单位矩阵，uTKu= 为对角元素是各阶固为对角元素是各阶固有频率平方的对角矩阵。有频率平方的对角矩阵。 ttqu(5.4-4) tt0(5.4-5) 正则坐标下的运动方程具有单位模态质量矩阵和正则坐标下的运动方程具有单位模态质量矩阵和由由n阶固有频率平方组成的模态刚度矩阵。阶固有频率平方组成的模态刚度矩阵。 求解公式的推导求解公式的推导由此可见，由固有坐标和正则坐标表达的运动微分方程由此可见，由固有坐标和正则坐标表达的运动微分方程(5.4-3)和和(5.4-5)在形式上与单自由度系统是一样的，所在形式上

6、与单自由度系统是一样的，所以应有与无阻尼单自由度系统自由振动方程相类似的解，以应有与无阻尼单自由度系统自由振动方程相类似的解，即即 把方程把方程(5.4-5)写成分量的形式为写成分量的形式为 02ttrrr ), 2 , 1(nr(5.4-6) tttrrrrrrsincos00), 2 , 1(nr(5.4-7)式中式中r0和和 (r=1,2,n)为正则坐标的初始位移和初始速为正则坐标的初始位移和初始速度，它由给定的原坐标的初始条件度，它由给定的原坐标的初始条件q(0)=q0和和 来来确定。确定。 0 0qq0r求解公式的推导求解公式的推导为了避免求逆矩阵的繁琐运算，可以在方程为了避免求逆矩

7、阵的繁琐运算，可以在方程(5.4-4)两边两边同时左乘同时左乘uTM，有，有由式由式(5.4-4)得得 1ttu q(5.4-8) TTttu Mqu Mu Tttu Mq(5.4-9)这里必须注意的是这里必须注意的是u为正则振型矩阵。这样正则坐标向为正则振型矩阵。这样正则坐标向量的初始条件为量的初始条件为TT,0000u Mqu Mq(5.4-10) ttqu求解公式的推导求解公式的推导所以正则坐标的初始位移所以正则坐标的初始位移r0和和 初始速度可以表示为初始速度可以表示为r0由式由式(5.5-4)求出原坐标求出原坐标q(t)的普遍表达式为的普遍表达式为 TT ,(1,2, )rrr0r0

8、rn00uMquMq(5.4-11) 11TT1cossin1cossinnnrrr0rr0rrrrrnrrrrrrrttttttt00quuuuuMquMq(5.4-12)上式表达了系统对初始位移向量上式表达了系统对初始位移向量q0和初始速度向量和初始速度向量 的响应，是由的响应，是由n个简谐运动叠加而成。个简谐运动叠加而成。0q 振型叠加法总结振型叠加法总结振型叠加法：振型叠加法： 采用振型矩阵作为坐标变换矩阵；采用振型矩阵作为坐标变换矩阵； 将原广义坐标下耦合的运动微分方程变换将原广义坐标下耦合的运动微分方程变换为固有坐标或正则坐标表示的相互独立的运动微为固有坐标或正则坐标表示的相互独立

9、的运动微分方程；分方程； 广义坐标的响应是固有坐标或正则坐标表广义坐标的响应是固有坐标或正则坐标表示的各阶固有振型的线形组合；示的各阶固有振型的线形组合； 振型叠加法的理论基础为展开定理。振型叠加法的理论基础为展开定理。例题：求解初始条件的响应例题：求解初始条件的响应（例（例5.5-1) 例例5.4-1 考虑图考虑图5.4-1所示的两自由度系统。所示的两自由度系统。若给定初始条件若给定初始条件q1(0)=q2(0)=0， ， ，求系统的响应。求系统的响应。 010vq 002q 解：解：系统的运动系统的运动微分方程为微分方程为0023212222212111qkkqkqmqkqkkqm MqK