矩阵代数基本知识

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1、附录I 矩阵代数基本知识矩阵和行列式是研究多元统计分析的重要工具，这里针对本书的需要，对有关矩阵代数的基本知识作回顾性的介绍，其中有些内容是过去教学计划中没有涉及到的。 一、 向量矩阵的定义 将个实数排成如下形式的矩形数表，记为 则称为阶矩阵，一般记为，称为矩阵的元素。当时，称为阶方阵；若，只有一列，称其为维列向量，记为 若，只有一行，称其为维行向量，记为 当为阶方阵，称为的对角线元素，其它元素称为非对角元素。若方阵的非对角元素全为，称为对角阵，记为进一步，若，称为阶单位阵，记为或。 如果将阶矩阵的行与列彼此交换，得到的新矩阵是的矩阵，记为称其为矩阵的转置矩阵。 若是方阵，且，则称为对称阵；

2、若方阵，当对一切元素，则称为下三角阵；若为下三角阵，则称为上三角阵。二、 矩阵的运算 1对与的和定义为： 2若为一常数，它与矩阵阶矩阵的积定义为： 3若，则与的积定义为： 根据上述矩阵加法、数乘与乘的运算，容易验证下面运算规律：1加法满足结合律和交换律 2乘法满足结合律， 3乘法和加法满足分配律， ， 4对转置运算规律 ， ， 另外，若满足，则称为正交阵。 三、 矩阵分块对于任意一个阶矩阵，可以用纵线和横线按某种需要将它们划分成若干块低阶的矩阵，也可以看作是以所分成的子块为元素的矩阵，称为分块矩阵，即：写成 其中， ，且，。分块矩阵也满足平常矩阵的加法、乘法等运算规律。不难证明：。 四、 方阵

3、行列式的性质一个阶方阵中的元素组成的行列式，称为方阵的行列式记为或。它有以下我们熟知的性质：1若的某行（或列）为零，则；2； 3将的某行（或列）乘以数所得的矩阵的行列式等于； 4若是一个阶方阵，为一常数，则5若的两行（或列）相同，则； 6若将的两行（两列）互换所得矩阵的行列式等于； 7若将的某一行（或列）乘上一个常数后加到另一行相应的元素上，所得的矩阵的行列式不变，仍等于； 8若和均为阶方阵，则； 9若为上三角矩阵或下三角矩阵或对角矩阵，则 1011若和都是方阵，则12若和分别是和的矩阵，则 五、 逆矩阵 设为阶方阵，若，则称是非退化阵或称非奇异阵，若，则称是退化阵或称奇异阵。 若是阶非退化阵