数值分析Newton-Cotes公式

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1、1第二节第二节 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式2 2009, Henan Polytechnic University24.2.1 牛顿牛顿柯特斯柯特斯(Newton-Cotes)求积公式求积公式 nkkkbabaxfAdxxPxxf0)()(d)(中中, ,当所取节点是等距时称为牛顿当所取节点是等距时称为牛顿- -柯特斯公式。柯特斯公式。)()()(0 nkkkxfxlxP bakkdxxlA)(在插值求积公式在插值求积公式其中其中 插值多项式插值多项式 求积系数求积系数 3 2009, Henan Polytechnic University3公式的推导公式的推导

2、设将积分区间设将积分区间 a,b n等分，求积节点为等分，求积节点为那么，那么， 令令x=a+th，则t=(x-a)/h，且由且由 可知可知nkkx0 ,0jhaxbxaxjn nabhnj , 1 , 0, 0nt ,bax 4 2009, Henan Polytechnic University4所以所以nkdtitknknCnnkiiknnk, 0)()!( !)1(100)()( 记：记：Cotes系数系数)(nkCdxxxxxdxxlAbankiiikibakk 0)(dtitknknabnnkiikn 00) )()!( !) 1()( nkhdtthal0)(hdtikitnnk

3、ii 005 2009, Henan Polytechnic University5)()()()(0)(knknkbanbaxfCabdxxLdxxf 且且则有则有：), 2 , 1 , 0()()()(nkCabdxxlAnkbakk Newton-Cotes求积公式求积公式6 2009, Henan Polytechnic University6Cotes系数性质系数性质)()1()()(对称性对称性nknnkCC 1)2(n0k)( nkC几种常用的几种常用的Newton-Cotes求积公式求积公式梯形公式，辛普生公式梯形公式，辛普生公式，Cotes公式公式7 2009, Henan

4、Polytechnic University71. n=1时的梯形求积公式时的梯形求积公式按按Newton-Cotes系数公式计算得系数公式计算得 10)1(110)1(02121) 1(! 1! 011tdtCdttCab10 xxab故求积系数故求积系数A0, A1为为210abAA 8 2009, Henan Polytechnic University8 bafRbfafabdxxf)()(2)()(1记记求积公式为求积公式为)()(2bfafabT 9 2009, Henan Polytechnic University9容易验证梯形公式的代数精确度的次数为容易验证梯形公式的代数精确

5、度的次数为1.1.),()(12)()2(31bafabfR )(! 2)()2(bxaxf 1fR在在 a, b 上积分，可得上积分，可得考虑梯形求积公式的误差估计考虑梯形求积公式的误差估计假定假定 用推广的积分中值定理，将过用推广的积分中值定理，将过(a, f(a), (b, f(b)点的线性插值的余项点的线性插值的余项,)(2baCxf 10 2009, Henan Polytechnic University102. n=2=2时的时的Simpson（抛物线）（抛物线）求积公式求积公式按按Newton-Cotes系数公式可以计算出系数公式可以计算出 210 xxxab 202)2(06

6、1)2)(1(! 2! 02)1(dtttC 201)2(132)2(! 1! 12)1(dtttC 200)2(261)1(!0!22)1(dtttC620abAA )(641abA 11 2009, Henan Polytechnic University11容易验证容易验证Simpson求积公式具有求积公式具有次的代数精确度次的代数精确度余项公式为：余项公式为：),()(2880)()4(52bafabfR babfbafafabdxxf)()2(4)(6)()(所以所以上述公式称为上述公式称为Simpson求积公式求积公式。12 2009, Henan Polytechnic Univ

7、ersity123. . n=4=4时的时的Cotes求积公式求积公式按按Newton-Cotes系数公式可以计算出系数公式可以计算出 ,907,4516,152,4516,907)4(4)4(3)4(2)4(1)4(0 CCCCC)(7)(32)(12)(32)(7(90)(43210 xfxfxfxfxfabdxxfba 由此可得由此可得Cotes求积公式：求积公式：43210 xxxxxab13 2009, Henan Polytechnic University13余项公式为：余项公式为：),()()4(945)(2)6(64bafababfR n阶阶Newton-Cotes求积公式当

8、求积公式当n为偶数时代数精度为为偶数时代数精度为n+114 2009, Henan Polytechnic University14 10sindxxxx00.250.50.751f(x)10.98961580.9588510.90885160.8414709 10sindxxx)1()0(201ff 例：例：分别用梯形公式，辛普生公式和柯特斯公式计算分别用梯形公式，辛普生公式和柯特斯公式计算准确值为准确值为：0.94608310.9460831解解：利用梯形公式可得：利用梯形公式可得：)8414709. 01(21 9207355. 0 15 2009, Henan Polytechnic

9、University15x00.250.50.751f(x)10.98961580.9588510.90885160.8414709)1()5 . 0(4)0(601fff 946146. 0 10sindxxx利用辛普生公式得：利用辛普生公式得：利用柯特斯公式得：利用柯特斯公式得： 10sindxxx)1(7)75. 0(32)5 . 0(12)25. 0(32)0(7(9001fffff 946083. 0 16 2009, Henan Polytechnic University16例例 : : 用辛普森公式和柯特斯公式计算定积分用辛普森公式和柯特斯公式计算定积分 3123d)572(x

10、xxx的近似值的近似值, ,并估计其误差并估计其误差( (计算结果取计算结果取5 5位小数位小数) ) 解解: : 辛普森公式辛普森公式 S )(24)(6bfbafafab 25941613 3220362 17 2009, Henan Polytechnic University17由辛普森公式余项由辛普森公式余项 bafabfR,),(2880)()4(5 知其误差为知其误差为 0 fR由于由于 572)(23 xxxxf0)()4( xf18 2009, Henan Polytechnic University18柯特斯公式柯特斯公式 误差为误差为 0)( fRC )3(7)5 . 2

11、(32)2(12)5 . 1(32)1(79013fffff 978125329128353274513220 该定积分的准确值该定积分的准确值 3220 I19 2009, Henan Polytechnic University19 这个例子告诉我们，对于同一个积分，当这个例子告诉我们，对于同一个积分，当n2时，公式却是精确的，这是由于辛普森公式具有三时，公式却是精确的，这是由于辛普森公式具有三次代数精度，柯特斯公式具有五次代数精度，它们次代数精度，柯特斯公式具有五次代数精度，它们对被积函数为三次多项式当然是精确成立的。对被积函数为三次多项式当然是精确成立的。 20 2009, Henan