《经济数学基础》高职教学PPT课件

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1、经济数学基础 第一节 函数 第二节 极限 第三节 无穷小量与无穷大量 第四节 极限的运算法则第一章 极限与连续 第五节 两个重要极限 第六节 函数的连续性 第七节 经济学中常用的函数本章将主要学习极限与连续的基本概念，以及它们的一些性质，为进一步学好微积分打下基础；极限理论是微积分学的基本推理工具，微积分学中的很多概念和定理都是用极限方法推导出来的.学习重点第一章 极限与连续1.函数的定义定义1：设D是由数组成的集合.如果对于每个数xD，变量y按照一定的对应法则f总有唯一确定的数值和它对应，那么将对应法则f称为在D上x到y的一个函数，记作y=f（x），x称为自变量，y称为因变量，D称为函数的定

2、义域.2.函数的表示法（1） 表格法.一、函数的概念 第一节 函数（2） 图象法.用图象表示两个变量的函数关系的方法，如上图所示；（3） 解析法.用一个等式表示两个变量的函数关系的方法，如y=x+3，y=lg（x+2）等.一、函数的概念 第一节 函数3.函数的定义域要使解析式有意义，我们通常考虑以下几点：（1）分式的分母不能为零；（2）偶次根式的被开方数必须为非负数；（3）对数式中的真数必须大于零；（4）幂函数.指数函数.对数函数.三角函数.反三角函数考虑各自的定义域；（5）若函数表达式是由几个数学式子组成，则其定义域应取各部分定义域的交集；（6）分段函数的定义域是各个定义区间的并集.一、函数

3、的概念 第一节 函数1.奇偶性定义2：设函数的定义域D关于原点对称.如果对于任意的xD，f（-x）=-f（x），那么f（x）为奇函数；如果对于任意的xD，f（-x）=f（x），那么f（x）为偶函数.否则f（x）为非奇非偶函数.奇函数的图象关于原点对称，如图所示；偶函数的图象关于y轴对称，如图所示.二、函数的几种特性 第一节 函数二、函数的几种特性 第一节 函数2.单调性定义3：若对于区间D内任意的两点x1，x2，当x1x2时，恒有f（x1）f（x2），那么f（x）在区间D上单调增加，区间D称为单调增区间；特别地，当x1x2时，恒有f（x1)f（x2），则称f（x)为D上的严格增函数；如果恒有f

4、（x1）f（x2），那么f（x）在区间D上单调减少，区间D称为单调减区间；特别地当x1x2时，恒有f（x1)f（x2），则称f（x)为D上的严格减函数.单调递增函数的图象沿x轴正向上升，如图所示；单调递减函数的图象沿x轴正向下降，如图所示.二、函数的几种特性 第一节 函数二、函数的几种特性 第一节 函数3.有界性定义4:设函数f（x）的定义域为D，数集XD.若存在数K1，使得f（x）K1对任意xX都成立，则称函数f（x）在X上有上界，而K1称为函数f（x）在X上的一个上界（任何大于K1的数也是f（x)在X上的上界）；若存在数K2，使得f（x）K24.周期性定义5:设函数f（x）的定义域为D，对

5、于任意的xD，存在不为零的数T，使f（x+T）=f（x），那么f（x）为D上的周期函数，T称为函数的一个周期，并且nT（n为非零整数）也是它的周期.平时，我们把函数的最小正周期称为函数的周期.二、函数的几种特性 第一节 函数1.基本初等函数我们把常数函数y=c（c为常数）.幂函数y=x（为实数）.指数函数y=ax（a0，a1，a为常数）.对数函数y=logax（a0，a1，a为常数）.三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.2.复合函数定义6:若函数y=f（u），u=g（x），且u=g（x）的值域或部分值域包含在f（u）的定义域中，则变量y通过变量u与变量x建立了对应关系，这个对应关系称为y是

6、x的复合函数，u是中间变量，x是自变量，通常将y=f（u），u=g（x）合并写成y=fg（x）.三、初等函数 第一节 函数以前我们已经学过数列的概念，现在我们来考察当项数n无限增大时，无穷数列an的变化趋势.我们先看一个实例：一个篮球从距地面1m高处自由下落，受地心引力及空气阻力作用，每次触地后篮球又反弹到前一次高度的1/2处.于是，可得到表示篮球高度的一个数列：一、数列的极限第二节 极限我们知道，篮球最终会停在地面上，即反弹高度h=0，这说明，随着反弹次数n的无限增大，数列通项hn=1/2n-1的值将趋向于0.一、数列的极限第二节 极限从图中可看出，当n增大时，点（n，an）从横轴上方无限接

7、近于直线an=0.这表明，当n无限增大时，数列通项an=1/n的值无限趋近于零.同样，从图中可看出，当n增大时，点（n，an）从上下两侧无限接近于直线an=1.这表明，当n无限增大时，数列通项an=（n+（-1）n）/n的值无限趋近于常数1.一、数列的极限第二节 极限定义1:如果无穷数列an的项数n无限增大时，an无限趋近于一个确定的常数A，那么A就叫作数列an的极限（limit）limn1/2n-1=0；limn1/n=0；limn(n+（-1）n)/n=1.一、数列的极限第二节 极限1.当x时函数f（x）的极限定义2:如果当x时，函数f（x）无限趋近于确定的常数A，那么A就叫作函数f（x）

8、当x时的极限，记作limxf（x）=A或当x时，f（x）A.下面给出当x+或x-时函数极限的定义.定义3:如果当x+（或x-）时，函数f（x）的值无限趋近于一个确定的常数A，那么A就称为函数f（x）当x+（或x-）时的极限，记作limx+f（x）=A，或当x+时，f（x）A（limx-f（x）=A，或当x-时，f（x）A）.二、函数的极限第二节 极限2.当xx0时函数f（x）的极限定义4:设函数y=f（x）在x0的某空心邻域邻域就是在数轴上满足x|x-x0|，0的点的集合，即区间（x0-，x0+）内的一切实数.x0称为邻域的中心，为半径.若这个区间不含点x0，则称为x0的空心邻域.二、函数的极

9、限第二节 极限定义1:如果当xx0（或x）时，函数f（x）的极限为零，那么称函数f（x）当xx0（或x）时为无穷小量，简称无穷小.例如，当x0时，sinx是无穷小；当x时，1x是无穷小.一、无穷小量第三节 无穷小量与无穷大量定义2:如果当xx0（或x）时，函数f（x）的绝对值无限增大，那么称函数f（x）当xx0（或x）时为无穷大量，简称无穷大.如果按函数极限的定义来看，f（x）的极限不存在，但是为了便于叙述，我们称“函数的极限是无穷大”，并记作limxx0（x）f（x）=.二、无穷大量第三节 无穷小量与无穷大量定理:在自变量的同一变化过程中，如果f（x）为无穷大，那么1f（x）为无穷小；反之，

10、如果f（x）为无穷小，且f（x）0，那么1f（x）为无穷大.例如，因为limxx3=，所以limx1x3=0；因为limx0sinx=0，所以limx01sinx=. 四.无穷小量的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下三个性质：性质1:有限个无穷小的代数和为无穷小.性质2:有界函数与无穷小的乘积为无穷小.性质3:有限个无穷小的乘积为无穷小.三、无穷小量与无穷大量的关系第三节 无穷小量与无穷大量法则设limxx0f（x）=A，limxx0g（x）=B，则有（1） limxx0f（x）g（x）=limxx0f（x）limxx0g（x）=AB；（2） limxx0f（x）g（x）=limxx

11、0f（x）limxx0g（x）=AB；（3） limxx0Cf（x）=Climxx0f（x）=CA（C为常数）；（4） limxx0f（x）g（x）=limxx0f（x）limxx0g（x）=AB（B0）.第四节 极限的运算法则准则1:如果函数f（x），g（x），h（x）在同一变化过程中满足g（x）f（x）h（x）且limg（x）=limh（x）=A，那么limf（x）存在且等于A.准则2：若数列xn单调有界，则limnxn一定存在.一、判定极限存在的两个准则第五节 两个重要极限1.limx0sinx/x=1我们考察当x趋近于0时，函数sinx/x的变化趋势，列表如下：二、两个重要极限公式第五