浅谈数学分析中求极限的常用方法

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1、浅谈数学分析中求极限的常用方法浅谈数学分析中求极限的常用方法Preliminary analysis on the common method of limit problem in mathematical analysis 摘 要求极限问题是数学分析学习的基础，也是其极为重要的内容之一。极限问题分为函数极限和数列极限两类，其他很多重要的数学概念的学习都建立在极限基础上，比如导数，积分，级数等等。因此要学好数学分析，就要学好极限。解决极限问题看似简单，但却很抽象，往往很难求出。我们不能仅仅局限于用极限的概念求极限，我们应该掌握多种方法，并且运用各种方法结合，快速而准确的求出极限。因为极限贯穿

2、于数学分析学习的始终，许多数学概念是从极限出发而得出的。所以反过来，我们也可以通过有关于极限的数学概念而求出极限。但是这并不是非常容易的事情，因为极限问题过于抽象，所以我们应该单独的学习各种方法针对性的求极限，最后再进行整合，把多种方法相结合来求极限。由此可以看出求极限问题是十分繁琐的，针对这种情况，本文中介绍了多种基本的求极限方法和注意事项，并且通过例题的运算过程清晰明了的展现了极限问题的解决过程，使极限问题变得相对简单易懂，为数学分析的学习打下基础。关键词：数列极限；函数极限；方法- I -浅谈数学分析中求极限的常用方法Preliminary analysis on the common

3、method of limit problem in mathematical analysisAbstract Limit problem is the base of mathematical analysis. It can be divided into function limit and sequence limit, both of them are very important. Mary other important mathematical ideas are based on limit, such as derivative integral and progress

4、ion. If one wants to learn mathematical analysis well, he must learn limit well. It is usually very hard to solve limit problem, it seems to be simple, but rather abstract in fact we can not be restricted to solve limit problem by using the concept of limit. We should master multiple methods and use

5、 them together to solve the limit problem quickly and accurately. Limit exists in the whole process of mathematical analysis many mathematical concepts start from limit. On the contrary, we can use these concepts to solve limit problem. All these are no easy things. Because of the abstract of limit

6、problem, we should learn multiple of methods in a target way and eventually combine them to solve limit problem. We can see that solving limit problem is very complicated. Aiming at this circumstances, this article introduce multiple basic ways to solve the problem and master needing attention, The

7、calculation of example shows the solving process of limit problem. It make limit problem easier to understand and provide a foothold for the study of mathematical analysis. - III -目 录摘 要IAbstractII引 言11 极限相关的概念11.1 数列极限21.2 函数极限21.3 函数极限和数列极限的关系32 求极限的常用方法32.1 极限的四则运算法则32.2 两个重要极限52.3 用函数的连续性求极限72.4

8、 等价无穷小代换82.5 洛必达法则92.6 根据定积分的定义求极限102.7 利用泰勒公式求极限112.8 利用极限存在准则求极限132.9 拉格朗日中值定理求极限153 求极限的小技巧163.1 有界函数与一个无穷小量的积仍为无穷小量163.2 换元法163.3 数列极限转化成函数极限16结 论17参 考 文 献18浅谈数学分析中求极限的常用方法引 言求数列极限和函数极限是数学分析中的基础，求极限问题贯穿在数学分析学习的始终。例如求导数、积分、级数都是建立在极限概念之上的，所以我们要培养极限思想，首先，我们应该学会计算极限问题。我国古代，数学家刘徽首创割圆术，便是首次在解决问题中运用了极限

9、思想。所谓割圆术就是不断地增加圆内接多边形的边数来求得圆周率。即“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割”。极限思想从产生、发展到完善经历了很长时间的历史过程。到了19世纪时，法国数学家柯西通过总结前人的成果的基础上，才比较完整的阐述了极限的概念与理论。他在分析教程中指出：“当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小有多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值（绝对值）无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小”。极限的概念与理论为后人研究极限提供了更好的基础。本文，笔者将对常用的求极限的方法进行总结，并以例题形式加深了解。通过此

10、种方式，使读者掌握求极限的方法和技巧。 1 极限相关的概念1极限的概念对于求极限问题是基础，我们要从基本概念出发，要清晰的明确极限问题，才可以更深入的解决极限问题，所以，首先我们要了解掌握相关的概念。1.1 数列极限定义1.1设是一给定数列，是一个实常数。如果对于任意给定的，可以找到正整数，使得当时，成立，则称数列收敛于（或是数列的极限），记为，有时也记为（）。如果不存在实数，使收敛于，则称数列发散。性质：（1）极限的唯一性：收敛数列的极限必唯一。（2）数列的有界性：一个数列，若既有上界又有下界，则称之为有界数列。（3）数列极限运算法则：设，则 ； ； （为常数）； （）。（4）保序性：若，且

11、，则，有。（5）夹逼定理：设有三个数列，若（），且，则。（6）单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必有极限。1.2 函数极限定义1.2设函数在点的某个去心邻域中有定义，即存在，使。如果实数A，对于任意给定的，可以找到，使得当时，成立，则称A是函数在点的极限，记为，或如果不存在具有上述性质的实数A，则称函数在点的极限不存在。性质：（1） 极限的唯一性：设A与B都是函数在点的极限，则A=B。（2） 局部保序性：若，且AB，则存在，当时，成立。（3） 夹逼性：若存在，使得当时，成立,且，则。（4） 函数极限的四则运算：设，则（，是常数）；（）.1.3 函数极限和数列极限的关系Heine定