电磁场与电磁波基础(第6章).

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1、第第6 6章章 自由空间中的自由空间中的电磁波电磁波 J自由空间是一个没有电荷因而也就自由空间是一个没有电荷因而也就不存在电流的空间。不存在电流的空间。 这并不是说在这并不是说在整个空间中没有源存在，而只是指整个空间中没有源存在，而只是指在我们所感兴趣的区域不存在源，在我们所感兴趣的区域不存在源，这个区域应有这个区域应有 =0和和 =0。 J这样，一般形式的麦克斯韦方程式组就变得特别简单，即为：这样，一般形式的麦克斯韦方程式组就变得特别简单，即为： 0E/EBt 0B2/cBEt 自由空间？自由空间？自由空间中存在着电波（自由空间中存在着电波（ 波）和磁波（波）和磁波（ 波）？波）？BE表明：

2、变化的电场产生变化的磁场，变化的磁场产生变化的表明：变化的电场产生变化的磁场，变化的磁场产生变化的电场，二者相互依存。电场，二者相互依存。 (波长波长)观看波形图观看波形图1. 波的数学形式波的数学形式J J6.6.波的数学描述波的数学描述自变量为（自变量为（z-vtz-vt）的函数）的函数f f（z-vtz-vt）表示以速度）表示以速度 v v 沿着沿着 Z Z 方向传播的行波（方向传播的行波（Traveling waveTraveling wave） 沿着沿着 Z Z 方向传播的行波方向传播的行波 以速度以速度v v向前传播的波向前传播的波任何变量为任何变量为(z-vt)(z-vt)的函数

3、所描述的波是随时间变化沿着的函数所描述的波是随时间变化沿着z z轴正方向传播轴正方向传播; ;任何变量为任何变量为(z+vt)(z+vt)的函数所描述的波则是随时间变化沿着的函数所描述的波则是随时间变化沿着z z轴负方向传播轴负方向传播 222221tvz则表示一个随时间和空间变化的任意函数，例如，力、则表示一个随时间和空间变化的任意函数，例如，力、位移或概率。位移或概率。 v表示函数表示函数 的传播速度的传播速度例例：试试证证vtzgvtzf满足一维波动方程满足一维波动方程 证明：证明： 首先考虑函数首先考虑函数 ffzvtfzvtfzvtz则有则有问问题题vtz 以以和和为变量的函数满足一

4、维波动方程？为变量的函数满足一维波动方程？vtz 二阶导数二阶导数 22ffzvtz函数函数 对时间的导数则为对时间的导数则为 ff zvtf zvtv fzvtt 22222ff zvtv fzvttt所以有所以有 222221ffvtz根据叠加定理，我们就证明了根据叠加定理，我们就证明了 满足一维波动方程。满足一维波动方程。 f zvtg zvt并且并且对于函数，对于函数， 也可以得出类似的结果。也可以得出类似的结果。 gg zvt6.2 6.2 均匀平面波与三维波动方程均匀平面波与三维波动方程 定义定义平面波，是三维波中最简单的一种。这个波在空间平面波，是三维波中最简单的一种。这个波在空

5、间传播过程中，对应于任意时刻传播过程中，对应于任意时刻t t，在其传播空间具，在其传播空间具有相同相位的点所构成的等相位面（也称为波阵面有相同相位的点所构成的等相位面（也称为波阵面即波源发出的电磁波经相同时间到达的各点组成的即波源发出的电磁波经相同时间到达的各点组成的面。面。 ）为平面，于是就称其为平面波。）为平面，于是就称其为平面波。 观看波形图观看波形图均匀平面波是研究起来最简单同时也是最均匀平面波是研究起来最简单同时也是最容易理解的。容易理解的。均匀（均匀（UniformUniform）: :在任意时刻，在所在的在任意时刻，在所在的平面中场的大小和方向都是不变的。平面中场的大小和方向都是

6、不变的。 理解理解 在距离电磁波的激励源很远处，球面波阵在距离电磁波的激励源很远处，球面波阵面上的一小部分可视为平面，该处的电磁波可面上的一小部分可视为平面，该处的电磁波可称为均匀平面电磁波。称为均匀平面电磁波。 或或2222222221tvzyx三维三维波动方程：波动方程：22221tv三个一维波叠加起来所得到结果也将会满足三维波动三个一维波叠加起来所得到结果也将会满足三维波动方程方程 证明：证明：vtzZvtyYvtxX（三个一维波叠加）（三个一维波叠加）（代入三维波动方程）（代入三维波动方程）2222222zyxvtzZvtyYvtxXzyx222222222222222zvtzZyvt

7、yYxvtxXvtzZvtyYvtxX 类似地有类似地有 vtzZvvtyYvvtxXvt 22222这样便证明了函数这样便证明了函数: vtzZvtyYvtxX满足三维波动方程满足三维波动方程 22221tv6.3 6.3 电波与磁波电波与磁波 已知已知方程二两边取旋度得方程二两边取旋度得()(/)EBt 假设假设 是空间和时间无关的函数是空间和时间无关的函数, ,那么我们就可以将上式右边的运那么我们就可以将上式右边的运算顺序交换算顺序交换, ,并在其左边运用矢量三重积恒等式，有并在其左边运用矢量三重积恒等式，有 B与上一节中给出的与上一节中给出的三维波动方程形式相同三维波动方程形式相同 2

8、()EEBt （2)EEtt21 （c222EEt21c0E/EBt 0B2/cBEt 关于电波关于电波2001c由于由于上式还可表示为上式还可表示为22020EEt 0此式又被称为亥姆霍兹方程（此式又被称为亥姆霍兹方程（Helmholtz equationHelmholtz equation）。）。亥姆霍兹磁场方程的导出亥姆霍兹磁场方程的导出变化的电场产生磁场变化的电场产生磁场两边取旋度得两边取旋度得2/cBEt 假设假设 是空间和时间无关的函数是空间和时间无关的函数, , 左边运用矢量三重积恒等式，有左边运用矢量三重积恒等式，有 E2()/cBEt 22cBBEt 与上一节相类似的推导，与

9、上一节相类似的推导，我们可以推断在自由空间中也存在着以我们可以推断在自由空间中也存在着以光速传播的磁波光速传播的磁波 亥姆霍兹磁场方程亥姆霍兹磁场方程22020BBt 0关于磁波关于磁波理想介质理想介质 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 在时谐时情况下，将在时谐时情况下，将 、 ，即可得到复即可得到复矢量的亥姆霍兹方程。矢量的亥姆霍兹方程。222t tj 瞬时矢量瞬时矢量复矢量复矢量22222200ttEEHH222200kkEEHH()k 0yxzEEEExyz由于由于 设在无限大的无源空间中，充满线性、各向同性的均匀理想设在无限大的无源空间中，充满线性、各向同性的均匀理想介质。均匀平面波沿介质。均

10、匀平面波沿 z 轴传播，则电场强度和磁场强度均不是轴传播，则电场强度和磁场强度均不是 x和和 y 的函数，即的函数，即0 ,0EEHHxyxy0zEz0zE 222222dd0 ,0ddEHk Ek Hzz2220zzEk Ez同理同理0yxzHHHHxyz0zH 结论：结论：均匀平面波的电场强度和磁场强度都垂直于波的传播均匀平面波的电场强度和磁场强度都垂直于波的传播 方向方向 横电磁波（横电磁波（TEM波）波）6.4 6.4 自由空间中的均匀平面波自由空间中的均匀平面波 1jjj111 m( )eeexkzkzxxEzAE1jjj11 m1 m1( , )Reeeecos()xkztxxxx

11、Ez tEEtkz0)(d)(d222zEkzzExxk)()(zEezExx设电场只有设电场只有x 分量，即分量，即jj12( )eekzkzxEzAA其解为：其解为：可见，可见， 表示沿表示沿 +z 方向传播的波。方向传播的波。j1ekzA 的波形的波形1mcos()xEEtkz 解的物理意义解的物理意义 第一项第一项2jjj222 m( )eeexkzkzxxEzAE2jjj22 m2 m2( , )Reee ecos()xkztxxxxEz tEEtkz 第二项第二项沿沿 z 方向方向传播的波传播的波11111j1xyyxzxxzEkHeeEee EeEzjEH 由由 ，可得，可得 )