第三章力系的简化

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1、定义：定义： 设有一力设有一力F ，在力，在力F的作用线所在平面内任选一的作用线所在平面内任选一x轴，从力轴，从力F的始端和末端分别向的始端和末端分别向x轴的作垂线，可得垂轴的作垂线，可得垂足足a、b，将，将a、b间的直线段间的直线段ab冠以适当的正负号，冠以适当的正负号，称为力称为力F在在x轴上的轴上的，用用Fx表示。表示。Bx baAxabAxxB(a)(b)FFFF(+)(-) 若力若力F 和和x和和Y轴正向之间的夹角分别为轴正向之间的夹角分别为和和，称为力的称为力的方向角方向角，则有，则有ycoscosxFFFF 即即力在坐标轴上的投影等于力在坐标轴上的投影等于力的大小乘以该力与坐标轴

2、正向力的大小乘以该力与坐标轴正向之间夹角的余弦。之间夹角的余弦。 力在轴上的投影是代数量。力在轴上的投影是代数量。 当由力当由力F F的始点垂足到终点垂足的指向与坐标轴的方的始点垂足到终点垂足的指向与坐标轴的方向一致时，投影取正号，反之取负号。向一致时，投影取正号，反之取负号。y y b b a a a ab bF FO Ox xB BF Fx xF Fy y （3-1） 力力F F在直角坐标轴上投影的大小与其沿相应轴方在直角坐标轴上投影的大小与其沿相应轴方向分力的模相等，且投影的正负号与分力的指向对应向分力的模相等，且投影的正负号与分力的指向对应一致。一致。 力力F 可沿直角坐可沿直角坐标轴

3、分解为两个正交标轴分解为两个正交分力：分力：=+xyF FFF FF Fy yF Fx xx xy yj ji io o（3-2） 若以若以i，j分别表示沿分别表示沿 x，y轴方向的单位矢量，轴方向的单位矢量，则力则力 F 的两个正交分力可用力在对应轴上投影与相的两个正交分力可用力在对应轴上投影与相应的单位矢量的乘积表示为：应的单位矢量的乘积表示为：xxyyFFFiFj可得可得解析表达式解析表达式为：为：=+xyFFFij（3-4）（3-3）22cos(, )cos(, )xyxyFFFFFFFF iFj 若已知力若已知力F在两个直角坐标轴上的投影在两个直角坐标轴上的投影Fx、Fy，则，则力力

4、F的大小和方向余弦可用下列各式计算的大小和方向余弦可用下列各式计算： 力沿坐标轴的分力与力在对应轴上的投影是两力沿坐标轴的分力与力在对应轴上的投影是两个不同的概念。个不同的概念。（3-5） 力力F沿坐标轴沿坐标轴x、y、z的分力的分力Fx、Fy是是，它，它有大小、方向、作用线；而力在坐标轴上的投影有大小、方向、作用线；而力在坐标轴上的投影Fx、Fy是是，它无所谓方向和作用线。，它无所谓方向和作用线。 力沿力沿x、y轴方轴方向的分力大小与力向的分力大小与力在该坐标轴上投影在该坐标轴上投影的绝对值的大小不的绝对值的大小不相等。相等。yxo图 3-6ab,a,bABFyFxFyxFFR12niFF

5、+ F + FF=LyF2oFnFxio,jF1i图 3 -7 设有一汇交于设有一汇交于O点的平面汇交力系，点的平面汇交力系，F1、F2、Fn，由力的平行四边形法则可知，该汇交力系可以合，由力的平行四边形法则可知，该汇交力系可以合成为一个合力，合力等于各个成为一个合力，合力等于各个分力的矢量和，即：分力的矢量和，即： （3-6）=( =1,2, )LFijiixiyF +Fin=RRxRyF+FFij 建立直角坐标系并取单位矢量，则（建立直角坐标系并取单位矢量，则（3-6）式）式右右端端分力的解析表达式为：分力的解析表达式为： （3-9）（3-7）（3-8）将（将（3-7）和（）和（3-8）代

6、入（）代入（3-6）中得）中得RxRyixiyixiyF+FF+FF+Fij =ijij而（而（3-6）式）式左端合左端合力的解析表达式为：力的解析表达式为： RxixRyiyFFFF= 比较（比较（3-9）式等式两端单位矢量）式等式两端单位矢量i、j前面的系数，前面的系数，可得可得（3-10）上式表明：上式表明： RxRyixiyixiyF+FF +FF+Fij =ijijA AF F2 2F F1 1(a)(a)F F3 3F F1 1F F2 2R RF F3 3x xA AB BC CD D(b)(b)证明：证明： 以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力以三个力组成的共点力系为例。

7、设有三个共点力F F1 1、F F2 2、F F3 3 如图。如图。合力合力 R 在在x 轴上投影：轴上投影：F F1 1F F2 2R RF F3 3x xA AB BC CD D(b)(b) 推广到任意多个力推广到任意多个力F1、F2、 Fn 组成的平面组成的平面共共点力系，可得：点力系，可得：a ab bc cd d各力在各力在x 轴上投影：轴上投影：abFx1bcFx2dcFx3RFxadabbcdcR123FxxxxFFFR123FxxxxnxxFFFFF 汇交力系的合成可以采用汇交力系的合成可以采用几何法几何法和和解析法解析法，本书，本书主要介绍使用较多的解析法。主要介绍使用较多的

8、解析法。12LxxnxF ,F ,F12LyynyF ,F ,FRxixRyiyFFFF如图所示的平面汇交力系如图所示的平面汇交力系F1、F2、Fn，各力在直角坐标系的各力在直角坐标系的x、y轴上投影是：轴上投影是：和和利用合力投影定理，可得合力利用合力投影定理，可得合力在在x、y轴的投影为轴的投影为yF2oFnFxio,jF1i图 3 -7 2222cos(, )cos(, )RRxRyRxRRRyRRFFFFFxyFFFFiFjF合力合力FR的大小和方向余弦分别为的大小和方向余弦分别为确定。确定。通常合力通常合力FR的方向也可由合力的方向也可由合力FR与与x轴所夹锐角轴所夹锐角tanRyR

9、xFF再由再由FRx和和FRy的正负号来判定的正负号来判定FR的指向的指向。的值由下式确定：的值由下式确定： 用力多边形求汇交力系合力的方法称为几何法用力多边形求汇交力系合力的方法称为几何法 力的平行四边形法则；力的平行四边形法则； 力多边形法则：力多边形法则： A443A2AO3211A4321O(a)(b)FFFFFFFFF4F3F1FRFa1bFRFe24Fd3cFcFdb1F(c)RFaR2FFFe4R12F3F2(d)(e)力的平行力的平行四边形法则四边形法则中间过程可以省掉中间过程可以省掉力多边形法则力多边形法则作力多边形与力作力多边形与力的次序无关的次序无关 从任一点出发，依次从

10、任一点出发，依次将力系中各分力首尾相连将力系中各分力首尾相连（次序可变），再连接第（次序可变），再连接第一力矢的始点和最后一力一力矢的始点和最后一力矢的终点所得力多边形的矢的终点所得力多边形的封闭边，即为原力系的合封闭边，即为原力系的合力矢。力矢。121.nRniiFFFFF4aR132dcbeFFFFF力多边形的封闭边的长度；力多边形的封闭边的长度；力多边形的封闭边起点到终点的指向；力多边形的封闭边起点到终点的指向；通过原力系的汇交点。通过原力系的汇交点。FFac1bF2F3ReF4dOA4F42AA1F2F1F3RFA3 若汇交力系由若汇交力系由 n n个力组成的，汇交力系可以个力组成的，

11、汇交力系可以合成为一个作用线通过汇交点的合力，合力的大合成为一个作用线通过汇交点的合力，合力的大小和方向由力多边形的封闭边确定。小和方向由力多边形的封闭边确定。 即：即：。简写为：简写为： 121.nRniiFFFFF1nRiiFF452ooo6069.5oxy1kN图3-9比例尺(a)(b)A BCDEFF13F4FRFFR1FF4F3F2如图所示一平面汇交力系，已知如图所示一平面汇交力系，已知:F13kN，F21kN，F31.5kN，F42kN。各力方向如图。各力方向如图所示。求此力系的合力所示。求此力系的合力FR。452ooo6069.5oxy1kN图3-9比例尺(a)(b)A BCDE