第三章间接平差

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1、 误差理论与测量平差误差理论与测量平差主 编：夏春林副 主 编：钱建国、张恒璟参 编：李伟东、文晔编写高校：辽宁工程技术大学 吉林建筑大学 大连理工大学城市学院第三讲第三讲 间接平差间接平差【学习要点及目标】1.了解间接平差原理；2.熟悉间接平差计算步骤及方法；3.熟悉误差方程；4.熟悉误差精度评定步骤。3.1 间接平差原理在介绍间接平差原理之前，先看一个具体的测角三角形内角平差问题。例3-1 在一个三角形中，同精度独立观测了3个内角，角度观测值见第2章例2-1。1122LxLx31212180180LLLxx在三角形内角平差问题中，总的观测数n=3，必要观测数t=2。选定两个未知数，例如以观

2、测值L1、L2的平差值为未知数，有则将3个角度观测值的平差值用观测值加上改正数表示，即3.1 间接平差原理11122233121 8 0LvxLvxLvxx方程等号左侧仅保留观测值的改正数v，其他各项移至等号右侧则有1112223123180vxLvxLvxxL 3.1 间接平差原理222123m invvv222123vvv以上3个方程，共有5个待求量，分别是3个观测值的改正数，2个未知数，可知方程个数少于未知数的个数，方程组有无穷多个解。下面利用最小二乘原理，求解未知数的最优估值。当观测值等精度时，有令自由极值函数3.1 间接平差原理1112312212322() 2(180) ( 1)0

3、2() 2(180) ( 1)0 xLxxLxxLxxLx 是每一个观测值的改正数v的函数，由方程组可知v又是所选的两个未知数x的函数，因此自由极值函数是未知数x的函数，v是中间变量。对两个未知数分别求偏导数并令其为0，则有则3.1 间接平差原理123112322180021800 xxLLxxLL1212216656 440219150 160 xxxx化简得将三角形内角观测值代入以上方程组得3.1 间接平差原理124 72 10 47 21 43 6xx11223124721 047214 361806024 20LxLxLLL两个未知数，两个方程，具有唯一解： 故三角形内角的平差值为总结

4、：在上述测量平差问题中，有3个观测值，其中有两个必要观测值，选定两个未知数，用求自由极值的方法，求出观测值的最优估值，这种平差方法称为间接平差(或参数平差法)。3.1.1 间接平差公式推导1nLX0XXx xL L VLBXd在一个测量平差问题中，有n个观测值，其中有t个必要观测值，选定t个独立的未知参数，将每个观测值的平差值分别表达成这t个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测值的平差值这种平差方法称为间接平差(或参数平差法)。设观测向量为已知其协因数阵Q=P-1，必要观测数为t，选定t个独立的未知参数其近似值为X0，有称为未知参数的改

5、正数，观测值L与改正数V之和具体平差问题，可列出n个平差值方程为(3-1) 3.1.1 间接平差公式推导其纯量形式可表示为111111221122211222221122 ttttnnnnnttnLvb Xb Xb XdLvb Xb Xb XdLvb XbXb Xd(3-2)1212tiiiiitiLvb Xb Xb Xdi即 =1,2,3,ni=1,2,3,n3.1.1 间接平差公式推导TT121211TT121211nnnntntnLLLvvvXXXddd，LVXd111212122212ttntnnntbbbbbbbbbB令 则平差值方程的矩阵形式为LVB Xd (3-3)3.1.1 间

6、接平差公式推导0XXx0()lLBXdVB xl x将代入，并令 得误差方程式为按最小二乘原理，式(3-5)的必须满足V TPV = min的要求，因为t个参数为独立量，故可按数学上求函数自由极值的方法，得(3-4)(3-5)TTT220V PVVV PV PBxx3.1.1 间接平差公式推导T0BP V xTT0BP B xBP l转置后得以上所得的式(3-5)和式(3-6)中的待求量是n个观测值的改正数V和t个未知参数的改正数解此基础方程，一般是将式(3-5)代入式(3-6)，先消去V，得(3-6)，而方程个数也是n+t个 有唯一解，称此两式为间接平差的基础方程。 (3-7) 令TTbb1

7、,tt tNB PBWB Pl3.1.1 间接平差公式推导bb0NxW x1bbxNW上式可简写成 式中，系数阵Nbb为满秩方阵，即R(Nbb)=t，有唯一解，式(3-8)称为间接平差的法方程。解之，得(3-8)(3-9) 或T1T()xBP BBP l (3-10)3.1.1 间接平差公式推导 xLLV0XXx将求出的，代入误差方程式(3-5)，即可求得改正数V， 从而平差结果为(3-11) 法方程式的纯量形式为11 11221121 1222221 122000ttttttttttN xN xN xWN xN xN xWN xN xN xW (3-12) 3.1.1 间接平差公式推导当P为

8、对角阵时，法方程系数和常数项的计算式分别为 1nijkkikjkNp b bi,j=1,2,t (3-13) 1nikki kkWp b li,j=1,2,t (3-14)当P为非对角阵时，法方程系数和常数项的计算式分别为11nnijkm kimjkmNp b b11nnikm ki mkmWp b l(3-15) (3-16) 3.1.2 间接平差的计算步骤(1) 根据平差问题的性质，选择t个独立量作为参数，并确定观测值的权阵P。(2) 将每一个观测量的平差值分别表达成所选参数的函数，若函数非线性要将其线性化，列出误差方程式(3-5)。(3) 由误差方程系数B和自由项l组成法方程式(3-8)

9、，法方程个数等于参数的个数t。(4) 解算法方程，求出参数，计算参数的平差值。(5) 由误差方程计算V，求出观测量平差值。(6) 评定精度。3.1.2 间接平差的计算步骤例3-2 水准网平差，已知点高程和观测值见第2章例2-2，试按间接平差法求待定点P1、P2的高程平差值和各段观测高差的平差值。解 (1) 依题意知，必要观测数t=2，分别选P1、P2两点的平差高程作为未知参数 3.1.2 间接平差的计算步骤确定观测值的独立权阵为 111 / 21P(2) 列出每一个观测值的平差值与未知数之间的函数关系式为11A21B32142ChXHhXHhXXhXH3.1.2 间接平差的计算步骤 3.1.2

10、 间接平差的计算步骤3.1.2 间接平差的计算步骤(3) 组成法方程，其中系数矩阵和常数项为 (4) 解算法方程为3.1.2 间接平差的计算步骤未知参数的改正数1210 xxx(mm) 未知参数的平差值，即待定点的平差高程为 1201110222144.499(m)145.851(m)PPHXXxHXXx3.1.2 间接平差的计算步骤 (5) 计算观测值的平差值为 3.2 误差方程式 按间接平差法进行平差计算，第一步就是列出误差方程。为此，要确定平差问题中参数的个数、参数的选择以及误差方程的建立等。 在间接平差中，待定参数的个数必须等于必要观测的个数t，而且要求这t个参数必须是独立的，关于必要

11、观测个数的确定问题，在第2章中已有详细论述。 参数的选取应该选刚好个而又函数独立的一组量作为参数，即可以选直接观测量的平差值为参数，也可以选非直接观测量的平差值为参数，或者二者兼而有之。在水准网中，常选取待定点的平差高程作为参数，也可选取点间的平差高差作为参数，但要注意参数的独立性。在平面控制网、GPS网中，一般选取未知点的二维坐标或三维坐标作为未知参数，也可以选取观测值的平差值作为未知数，同样要注意参数之间的独立性。至于应选择其中哪些量作为参数，则应按实际需要和是否便于计算而定。 3.2.1 水准网误差方程式 在水准网中，若有高程已知的水准点，则t等于待定点的个数；若无已知点，则假定其中一点

12、高程已知，以作为全网高程的基准，此时t仍等于网中待定点的个数。下面以选取网中待定点的平差高程为未知参数，分析水准网误差方程式的列式方法。 在一个水准网中，j、k是某一段观测高差的起、终点，且为两个待定高程点，根据水准网推算出两点的近似高程为Xj0、Xk0，从j观测至k点的观测高差为hjk，选定两点的平差高程为未知参数、 ，则观测高差的平差值方程为jkkjhXX(3-17) 00() ()jkkkjjhvXxXx 3.2.1 水准网误差方程式 移项后，得 kjv x x l (3-18) 式中， 00jkjklhXX若高差的某一端点为已知点，则端点的未知参数改正数为0。从误差方程式可以看出，系数

13、矩阵B的元素只能有1、-1、0这3个数字的任意两两组合构成。若将起点近似高程加上观测高差称为终点的观测高程，则自由项l等于终点的观测高程减去终点的近似高程。3.2.2 测角网误差方程式 这里讨论测角网中选择待定点的平差坐标为未知参数时，误差方程的线性化问题。先介绍坐标改正数与坐标方位角改正数之间的关系。 在图3-1中，j、k是两个待定点，它们的近似坐标为 。根据这些近似坐标可以计算j、k两点间的近似坐标方位角 和近似边长 。设这两点平差坐标的改正数为 ，则有0000jjkkXYXY、0000jjkkXYXY、0000jjkkX Y X Y、 、 、0jk0jk0jkS0jkSjjkkxyxy、

14、 、 、3.2.2 测角网误差方程式 设由坐标改正数引起的坐标方位角的改正数为jk，即 0jkjkjk现求坐标改正数 (3-19) jjkkx y x y、 、 、与坐标方位角改正数 jkjk之间的线性关系。 根据图3-1可以写出 0000() ()arctan() ()kkjjjkkkjjYyYyXxXx将上式右端按泰勒级数展开并取至一阶项，得 3.2.2 测角网误差方程式00000000arctankjjkjkjkjkjkjjkkkjjjkkYYxyxyXXXYXY等式中右边第一项就是由近似坐标算得的近似坐标方位角 0jk对照式(3-19)知 0000jkjkjkjkjkjjkkjjkkx

15、yxyXYXY(3-20) 3.2.2 测角网误差方程式 式中 0000200020020020200000()()()()1kjjkkjkjjkkjkjjkjkjkjYYXXYYYXXYYSXYYXX同理可得 002000200020()()()j kj kj kjj kj kj kkj kj kj kkXSYYSXXSY3.2.2 测角网误差方程式 将上列结果代入式(3-20)，并顾及全式的单位得 000002020202()()()()jkjkjkjkjkjjkkjkjkjkjkYXYXxyxySSSS (3-21) 或写成00000000sincossincosjkjkjkjkjkjj

16、kkjkjkjkjkxyxySSSS (3-22) 3.2.2 测角网误差方程式 以上两式就是坐标改正数与坐标方位角改正数间的一般关系式，称为坐标方位角改正数方程。其中以“为单位。平差计算时，可按不同的情况灵活应用上式。例如： (1) 若某边的两端均为待定点，则坐标改正数与坐标方位角改正数间的关系式就是式(3-21)或式(3-22)。此时，与前的系数绝对值相等； 与 前的系数绝对值也相等。 jxkxjyky(2) 若测站点j为已知点，则0jjxy，得000202()()jkjkjkkkjkjkYXxySS (3-23) 3.2.2 测角网误差方程式，得 若照准点k为已知点，则 0kkxy000

17、202()()jkjkjkjjjkjkYXxySS (3-24) (3) 若某边的两个端点均为已知点，则 0jjkkx y x y ，得 0jk (4) 同一条边的正反坐标方位角的改正数相等，它们与坐标改正数的关系式也一样，这是因为000002020202()()()()kjkjkjkjkjkkjjjkjkjkjkYXYXxyxySSSS 3.2.2 测角网误差方程式 对照式(3-21)，顾及 据此，实际计算时，只要对每条待定边计算一个坐标方位角改正数方程即可。对于角度观测值Li(图3-2)来说，其观测方程为 iijkjhLv(3-25) (3-26) (3-27) 3.2.2 测角网误差方程

18、式 根据这个角的3个端点具体情况灵活运用式(3-21)，并代入式(3-27)，即得线性化后的角度误差方程式。例如，j、h、k点都是未知点时，式(3-27)为3.2.2 测角网误差方程式 (3-28) 3.2.2 测角网误差方程式 式(3-28)即为线性化后的角度观测值的误差方程式。综上所述，对于角度观测的三角网，采用间接平差，选择待定点的平差坐标为未知参数时，列误差方程的步骤如下。 (1) 计算各待定点的近似坐标X0，Y0。(2) 由待定点的近似坐标和已知点的坐标计算各待定边的近似坐标方位角0和近似边长S0。(3) 列出各待定边的坐标方位角改正数方程，并计算其系数。(4) 按照式(3-28)、

19、式(3-26)列出角度误差方程。 3.2.3 测边网误差方程式 现在讨论在测边网平差中，选择待定点的平差坐标为未知参数时，误差方程的线性化问题。 在图3-3中，测得待定点间的边长Li，选定待定点的坐标平差值 为未知参数，令 3.2.3 测边网误差方程式由图3-3可写出边长平差值方程为 22()()iiikjkjL L vXXY Y 按泰勒级数展开，得 00000()()jkjkiijkkjkjjkjkXYLvSxxyySS(3-29) 3.2.3 测边网误差方程式 (3-30) (3-31) (3-32) 3.2.3 测边网误差方程式 式(3-31)或式(3-32)等号右边前4项之和是由坐标改

20、正数引起的边长改正数。式(3-31)或式(3-32)就是测边网坐标平差时误差方程式的一般形式，它是在假设两端点都是待定点的情况下导出的。具体计算时，可按不同情况灵活运用。(1)若某边的两端点均为待定点，则式(3-31)就是该观测边的误差方程。式中，与 的系数的绝对值相等， 与 的系数的绝对值也相等。常数项等于该边的观测值减去其近似值。jxkxjyky(3-33) 3.2.3 测边网误差方程式 (3-34) 若j、k均为已知点，则该边为固定边(不观测)，故对该边不需要列误差方程。(3) 某边的误差方程，按j到k方向列出或按k到j方向列出的结果相同。3.2.4 导线网误差方程式 在导线网中，有两类

21、观测值，即边长观测值和角度观测值，所以导线网也是一种边角同测网。导线网中角度观测值的误差方程，其组成与测角网坐标平差的误差方程相同，边长观测的误差方程，其组成与测边网坐标平差的误差方程相同，因此导线网中观测值的误差方程列式与上述测角、测边网相同。由于在导线网中有边、角两类观测值，所以，确定两类观测值的权是平差中的重要环节。设先验单位权方差为 20，测角中误差为 i，测边中误差为 iS，则定权公式为 (3-35) 3.2.4 导线网误差方程式 当角度为等精度观测时， 12n。定权时一般令 220，即以测角中误差为导线网平差中的先验单位 权中误差，由此即得 (3-36) 22iS为了确定边、角观测

22、的权，必须已知和3.2.4 导线网误差方程式 3.2.5 GNSS网误差方程式 在GPS测量时，可以得到两点之间的基线向量观测值，它是在WGS-84坐标系下的三维坐标差(Xij，Yij，Zij)，用这些基线向量构成的网称为GPS网，平差该网时一般采用间接平差。设GPS网中某一基线向量观测值为(Xij，Yij，Zij)，平差时选GPS网中各待定点的空间直角坐标平差值 ()iiiXYZ， ，为参数，并取相应的近似值 000()iiiXYZ， ，则有 000iiiiiiiiiXXxYYyZzZ(3-37) 3.2.5 GNSS网误差方程式 按照间接平差列出误差方程的方法，每个基线向量可以列出3个误差

23、方程，有 ijijijXjiijijYjiijjiZVXXXYVYYZZZV(3-38) 顾及式(3-37)，基线向量的误差方程为 000000()()()ijijijXjiijjiYjiijjijiijjiZVxxXXXVyyYYYzzZZZV (3-39) 3.2.5 GNSS网误差方程式 (3-40) 3.2.5 GNSS网误差方程式 则编号为K的基线向量的误差方程为 (3-41) (3-42) 当网中有m个待定点、n条基线向量时，则整个GPS网的误差方程为3 33 1313 1n mnmnVB xl(3-43) 3.2.5 GNSS网误差方程式 关于观测值随机模型的确定，一般形式仍然为

24、 22100DQP(3-44) 用两台GPS接收机在一个时段内只能得到一条观测基线向量(Xij，Yij，Zij)，它们的协方差阵直接由软件给出，设为222ijijijijijijijijijXXYXZijYYZZ对称D(3-45) 3.2.5 GNSS网误差方程式 不同基线向量之间认为是独立的，因此，对整个GPS网而言，式(3-44)中的D是块对角阵，即13 323 33 3000000gDDDD(3-46) 矩阵中各个D的下角编号1,2,g为各观测基线向量号，对应式(3-45)中的Dij。3.2.5 GNSS网误差方程式 对于多台GPS接收机测量的随机模型的组成，其原理同上，全网的D也是一个

25、块对角阵，只是对角块阵是多个同步基线向量的协方差阵。根据式(3-44)可得观测基线向量的权阵为 210PD(3-47) 式中 20可任意选取。 3.3 精精 度度 评评 定定间接平差与条件平差虽采用了不同的函数模型，但它们是在相同的最小二乘原理下进行的，所以两种方法的平差结果总是相等的，这是因为在满足V TPV = min条件下的V是唯一确定的，故平差值 不因方法不同而异。LL V3.3.1 单位权中误差单位权中误差单位权方差 的估值 ，计算式仍然是V TPV除以其自由度，即TT20rn tV PVV PV (3(3-48)8)中误差为中误差为T0 ntVP V(3(3-49)9)TV PV

26、的计算除了将V代入直接计算外，还可以按式(3-50)计算，即20203.3.1 单位权中误差单位权中误差(3(3-50)50)3.3.2 协因数阵 根据前面的定义和有关说明知，根据前面的定义和有关说明知，3.3.2 协因数阵式中对角线上的子矩阵，就是各基本向量的自协因数阵，非对角线上的子矩阵为两两向量间的互协因数阵。现分别推求如下。其基本思想是把各量表达成协因数已知量(观测向量L或自由项l)的函数，上述各量的关系式已知为3.3.2 协因数阵3.3.2 协因数阵3.3.2 协因数阵由表3-1可知，平差值 与改正数V的互协因数阵为零，说明 统计不相关，这是一个很重要的结果。3.3.3 参数与参数函

27、数的中误差参数与参数函数的中误差 i由前面的讨论知，未知参数的协因数阵为(3(3-55)55)其中对角线元素iiX XQ是未知参数iX的自协因数，故参数iX的中误差为3.3.3 参数与参数函数的中误差参数与参数函数的中误差 在间接平差中，解算法方程后首先求得的是t个未知参数。有了这些参数，便可根据它们来计算该平差问题中任意量的平差值(最或然值)。因为网中任何一个量的平差值都可以表达为所选未知参数的函数。下面从一般情况来讨论如何求参数函数的中误差的问题。设间接平差问题中参数的函数为3.3.3 参数与参数函数的中误差参数与参数函数的中误差(3(3-58) 8) (3(3-59)9)(3(3-60)

28、60)(3(3-61)61)3.3.3 参数与参数函数的中误差参数与参数函数的中误差例3-3 在图3-4中，A、B为已知水准点，高程无误差，各高差测段的路线长度为：S1=1，S2=2，S3=2，S4=1，单位km。观测高差互相独立。试求：待定点P1、P2平差高程的协因数。3.3.3 参数与参数函数的中误差参数与参数函数的中误差 根据水准路线定权方法iiCPS ，令C=2，即以2km观测高差为单位权观测值，2iiPS ，可得 P1=2，P2=1，P3=1，P4=2观测高差互相独立，构成观测值的独立权阵为3.3.3 参数与参数函数的中误差参数与参数函数的中误差3.3.3 参数与参数函数的中误差参数

29、与参数函数的中误差3.4 间接平差特例间接平差特例直接平差直接平差 对同一个待定量进行多次独立观测，求该量的平差值并评定精度的平差，称为直接平差。实际上它是间接平差中只有一个未知参数的特殊情况。3.4.1 平差原理平差原理设对某待定量 进行n次不同精度的观测，观测值为权阵为 ，且它为对角阵，对角线元素分别为P1,P2, X,1nL，,nnPXPn ，按间接平差选该量的平差值为参数 ，可以列出误差方程为组成法方程为3.4.1 平差原理平差原理 解得由此可见，直接平差的结果就是观测值的加权平均值。为方便计算，通常取参数的近似值0X，有0XXx ，则误差方程为式中3.4.1 平差原理平差原理 3.4

30、.1 平差原理平差原理特别地，当各观测值等精度时，取权全为1，则与式(3-64)、 式(3-68)相对应的待定量的平差值为或者式(3-69)说明，当观测值等精度独立时，直接平差的结果就是观测值的算术平均值。3.4.2 精度评定精度评定3.4.2 精度评定精度评定3.4.2 精度评定精度评定即当对某量作n次同精度观测时，其平差值为观测值的算术平均值，算术平均值的权为单个观测值权的n倍。例3-4 如图3-5所示的水准网中，A、B、C为已知点，P为待定高程点，已知HA=121.910，HB=122.870，HC=26.890，单位为m。各段观测高差和路线长度为h1=3.552m，h2=2.605m，

31、h3=1.425 m；S1=2km，S2=6km，S3=3km。试求：(1) P点的平差高程；(2) P点平差高程的中误差。3.4.2 精度评定精度评定3.4.2 精度评定精度评定3.4.2 精度评定精度评定3.5 间接平差算例3.5.1 水准网间接平差算例 例3-5 第2章例2-3所示的水准网，按间接平差求：(1) 待定点B、C的高程平差值。(2) 待定点B、C平差高程的中误差。(3) 各段高差平差值的中误差。解 (1) n=5，t=2，选待定点B、C的高程平差值为未知参数。列观测值的平差值方程，即 3.5.1 水准网间接平差算例3.5.1 水准网间接平差算例代入具体数值，自由项l以mm为单

32、位，有 3.5.1 水准网间接平差算例 m 3.5.1 水准网间接平差算例 (2) 高程平差值的中误差。单位权中误差为3.5.1 水准网间接平差算例 (3) 高差平差值的中误差。平差高差的协因数阵为3.5.2 测角网间接平差算例例3-6 测角网见第2章例2-4，试按间接平差法，求：(1) 待定点C、D的坐标平差值；(2) C、D点的点位中误差；(3) 角度平差值的中误差；(4) CD边平差边长的相对中误差。解 (1) t=4，选取C、D两点的平差坐标作为未知参数。0CCC0CCCXXxYYy0DDD0DDDXXxYYy令未知参数的改正数向量TCCDDxyxyx。 3.5.2 测角网间接平差算例

33、(3-1) 本例计算过程中，角度改正数以为单位， 长度以m为单位。 推算各边的近似边长和近似坐标方位角：在ABC和BCD中，分别由前方交会公式，计算C、D两点的近似坐标如下(计算过程见例2-4)：按已知点坐标和未知点的近似坐标推算各边的近似边长和近似坐标方位角，见表3-2。 3.5.2 测角网间接平差算例表3-2 近似边长和方位角方 向近似边长/m近似坐标方位角/()CA118.4833150.222940CB115.9370217.284137CD112.1936277.475533DB114.6632159.1521433.5.2 测角网间接平差算例反算已知边AB的边长和方位角 SAB=1

34、29.5788m，AB=2745153.43 列各待定边的坐标方位角改正数方程，其中0 3.5.2 测角网间接平差算例列各个观测角度的平差值方程为 3.5.2 测角网间接平差算例将各个边的坐标方位角改正数方程代入角度平差值方程，写成误差方程的形式，即3.5.2 测角网间接平差算例其中自由项l(单位：)：3.5.2 测角网间接平差算例误差方程式系数矩阵B6400CACA00CACA00CBCB00CBCB0000CBCACACB0000CBCACACB0000CBCBDBDB0000CBCBDBDB0000CDCDCDDB000CDCDCDsincos00sincos00sinsincoscos

35、00sincossincossincossinsinSSSSSSSSSSSSSSSB00CDDB000DBDBCD000000CDCBCBCDCDCD000000CDCBCBCDCDCDcoscossinsincoscossincosSSSSSSSSS3.5.2 测角网间接平差算例代入具体数值，有组成并求解法方程bb NxW3.5.2 测角网间接平差算例3.5.2 测角网间接平差算例改正数V和角度平差值代入各个矩阵的值，得待定点坐标平差值0XXx代入具体数值，可得(单位：m) 3.5.2 测角网间接平差算例(2) 待定点平差坐标的中误差。验后单位权中误差3.5.2 测角网间接平差算例 (3)

36、角度平差值的中误差。观测值的平差值的协因数阵为 3.5.2 测角网间接平差算例因为各个内角是同精度观测， 由2 0LLLLDQ可得各个内角平差值的中误差 3.5.2 测角网间接平差算例 (4) CD边的边长相对中误差。CD平差边长的函数式为 22CDCDCD()()SXXYY全微分，得权函数式 0000CDDCCDCCDCDDCDdcossincossinSxyxy3.5.2 测角网间接平差算例3.5.2 测角网间接平差算例 3.5.3 测边网间接平差算例 例3-7 测边网，见第2章例2-5，试按间接平差法，求：(1) 待定点C、D的平差坐标。(2) C、D两点平差坐标的中误差。(3) 各个边

37、长平差值的中误差和相对中误差。(4) CD边平差后方位角的中误差。解 (1) n=5，t=4，选取C、D两点的平差坐标为未知参数。3.5.3 测边网间接平差算例 独立权阵 P=Q-1=I未知参数的改正数向量为TCCDD x y x yxC、D两点近似坐标计算，采用边长交会公式，同例2-5，单位为m。3.5.3 测边网间接平差算例 推算各边近似边长。由已知点坐标和C、D两点的近似坐标反算AC、AD、BC、BD、CD各边近似边长，单位为m。结果为：00000123451850.5121041.8361664.2301673.3081096.8076LLLLL，列边长误差方程式001ACCACC10

38、02ADDADD2003BCCBCC3004BDDBDD400005CDCCDCCDDCDD5cossincossincossincossincossincossinvxylvxylvxylvxylvxyxyl 3.5.3 测边网间接平差算例 (mm)3.5.3 测边网间接平差算例误差方程式系数矩阵为 00ACAC00ADAD00BCBC00BDBD0000CDCDCDCDcossin0000cossincossin0000cossincossincossinB代入具体数值，有 0.241010.970520.00.00.00.00.292440.956280.470600.882350.00

39、.00.00.00.916660.399660.684420.729090.684420.72909 B3.5.3 测边网间接平差算例 其中：3.5.3 测边网间接平差算例 3.5.3 测边网间接平差算例 边长观测值的改正数 3.5.3 测边网间接平差算例 (2) 待定点平差坐标的中误差。 验后单位权中误差 3.5.3 测边网间接平差算例 待定点平差坐标分量的中误差CCCCC CDDDDDD000017.18mm7.99mm11.79mm10.96mmXXXYY YXXXYYYQQQQ 3.5.3 测边网间接平差算例 (3) 边长平差值的精度。 边长平差值的协因数阵1Tbb0.686070.2

40、75100.161940.253440.221900.275100.758920.141910.222100.194450.161940.141910.916460.130740.114470.253440.222100.130740.795390.179140.221900.194450.114470.179140.84315LLQBN B3.5.3 测边网间接平差算例 则各个边长平差值的中误差与相对中误差K 3.5.3 测边网间接平差算例 同理，可得 345345110.40mm15994619.69mm17262619.98mm109902LLLKKK，(4) CD边方位角平差值的中误差

41、。 CD边方位角的函数式 DCCDDCarctanYYXX3.5.3 测边网间接平差算例 3.5.3 测边网间接平差算例 3.5.4 边角网间接平差算例 例3-8 边角网如图3-6所示，已知点A、B的坐标，观测角度与观测边长为：A(0.0，0.0)，B(0.0，1000.0)，单位为m；1=600005，2=595958，3=600000，S=999.99m； 已知：=2，=1cm，令单位权中误差0=。试按间接平差法，求：(1) 待定点P的平差坐标。(2) P点平差坐标的中误差。(3) 观测值的平差值的中误差。3.5.4 边角网间接平差算例 3.5.4 边角网间接平差算例 解 (1) n=4，

42、t=2，选定待定点P的平差坐标为未知参数。，令未知参数的改正数向量为 TPP x yx观测值向量为 L=1 2 3 ST 根据题意，定权时令角度观测值为单位权观测值 取长度单位为m，角度单位为， 3.5.4 边角网间接平差算例 在ABP中，由前方交会公式，得P点近似坐标为 3.5.4 边角网间接平差算例 由A、B、P 3点的坐标推算各边近似方位角和近似边长为 3.5.4 边角网间接平差算例 将各边坐标方位角改正数方程代入角度平差值方程，得角度误差方程式为3.5.4 边角网间接平差算例 3.5.4 边角网间接平差算例代入具体数值，有(自由项以为单位) 列边长误差方程式为 3.5.4 边角网间接平

43、差算例 其中：3.5.4 边角网间接平差算例 3.5.4 边角网间接平差算例 (2) 待定点P的坐标中误差。验后单位权中误差3.5.4 边角网间接平差算例 (3) 观测值平差值的中误差。观测值平差值的协因数阵为3.5.4 边角网间接平差算例 3.5.5 GNSS网间接平差算例 例3-9 GPS网平差。图3-7所示为一简单GPS网，网中A1点三维坐标已知，见表3-3，其余3个点为待定点，参数个数t=9。用两台GPS接收机观测，测得5条基线向量，见表3-4，n=15，每个基线向量中3个坐标差观测值相关，由于只用两台GPS接收机观测，所以各观测基线向量相互独立，试按间接平差法平差该网。 3.5.5

44、GNSS网间接平差算例 表3-3 已知点信息(单位:m) 点 名XYZA11974638.73404590014.81903953144.9235表3-4 观测基线信息 XYZ2.320999E007 5.097008E007 1.339931E006 4.371401E007 1.109356E006 1.008592E006对称1.044894E006 2.396533E006 6.341291E006 2.319683E006 5.902876E006 6.035577E006对称5.850064E007 1.329620E006 3.362548E006 1.252374E006 3.

45、069820E006 3.019233E006对称3.5.5 GNSS网间接平差算例 3.5.5 GNSS网间接平差算例 解 (1) 设A2、A3、A4点的三维坐标平差值为参数，即 T222333444XYZXYZXYZX取参数的近似值3.5.5 GNSS网间接平差算例3.5.5 GNSS网间接平差算例15 15249.5360.2088.8541.9471.63105.7900071.4300016.0719.2800011.7312.6818.38000000169.8300000039.6046.1200000030.1830.4646.4400000000049.05000000000

46、12.8917.590000000007.4714.1921.3500000000000对称P17.74000000000004.865.21000000000002.883.365.12468.4142112.6840152.553479.5936116.2839173.580549.050212.88527.472814.185312.885217.586814.18531对称7.745122.79477.472814.185321.346510.351017.550126.4702169.833639.600230.183017.73514.85992.8782259.003039.60

47、0246.118330.46494.85995.20793.364860.533770.606630.183030.464946.44302.878232223334440.02530.08010.06650.01850.05120.08870.29140.0649.36485.123744.795746.508669.95130.0405xyzxyzxyz3.5.5 GNSS网间接平差算例3.5.5 GNSS网间接平差算例 (4) 平差结果(单位：m) T22230334441973420.17334591054.04653951407.20441974825.70334591232.201

48、33950235.82171974909.19844590518.02123951265.9923XYZXYZXYZXT3.5.5 GNSS网间接平差算例 习 题 习 题 表3-5 观测高差值和已知数据 高差观测值/m路线长度/km已知高程/mh1 = +1.359h2 = +2.009h3 = +0.363h4 =+0.640h5 = +0.657h6 = +1.000h7= +1.650S1 = 1.0S2 = 1.0S3 = 2.0S4 = 2.0S5 = 1.0S6 = 1.0S7 = 1.5HA=5.000HB=6.000习 题3-2 测站平差，见第2章习题2-2，试用文字符号列出，

49、按间接平差时的误差方程式。3-3 如图3-9所示的测角网中， 是已知点，为待定点，网中观测了12个角度和6条边长。已知测角中误差为2边长测量精度公式为2+210-6，起算数据及观测值分别列于表3-6和表3-7中。试按间接平差法求各待定点的平差坐标，并评定网的精度。 习 题 习 题 表3-6 已知数据 点 名纵坐标x/m横坐标y/m坐标方位角()边长/mABC4534899.8464538781.9454534548.795500130.812501099.443507572.62214 00 35.77123 11 00.824001.11727734.6386习 题 表3-7 边角观测值编

50、号观测角/()编号观测角()编号观测边/m12345684 07 38.237 46 34.958 05 44.133 03 03.2126 01 55.720 55 02.378910111274 18 16.877 27 59.128 13 43.255 21 09.972 22 25.852 16 20.51314151617182463.943414.715216.236042.945085.085014.99习 题3-4 在间接平差中，试证明： (1) 参数向量 与改正数向量V是互不相关的。 (2) 改正数向量V与平差值向量 是互不相关的。 3-5 某平差问题按条件平差有条件方程：X

51、L1234561423568 09 0701.80.35 0vvvvvvvvvvvv 习 题 试求：按间接平差时的误差方程式。3-6 如图3-10所示的导线网，在已知点A、B、C分别敷设导线相交于结点G，A1、B1、C1分别为定向点。已知的起算数据、观测各点上的方向值、网中的导线边长分别见表3-8至表3-10。设观测方向中误差为8，导线边长丈量中误差为 mm，不设固定误差参数。试按间接平差法平差此导线网，并评定精度。 0.8(m)is习 题 习 题 表3-8 已知数据表 点 号已知坐标/m编号已知方位角/()XYA11768.7148419.242A1 A274.2334B10878.3028

52、415.114B1 B8.1027C11131.9597722.199C1 C194.2012习 题 表3-9 方向观测值测站测站照准点照准点观测方向观测方向/()测站测站照准点照准点观测方向观测方向/()测站测站照准点照准点观测方向观测方向/()AA10 00 00BB10 00 00540 00 00186 43 163176 33 436165 40 291A0 00 003B0 00 00650 00 002182 22 43G123 09 05G165 59 58210 00 00CC10 00 00G188 59 57470 04 34G20 00 004C0 00 003115 23 375203 16 416246 51 23习 题表3-10 边长观测值 边 号观测值/m边 号观测值/m边 号观测值/m1221.6504189.7817148.3372195.843598.1638151.4803229.3566154.7739187.751