多项式的综合除法.pdf

4.多项式的综合除法
多项式的除法定理：
设 f (x), g(x) 是两个多项式，且 g(x)  0 ，则恰有两个多项式q(x),r(x) 使得
f (x)  g(x)q(x)  r(x) 成立，其中 r(x)  0 或者 deg r(x)  deg g(x) 。
（1）， f (x)称为被除式， g(x)称为除式， q(x)称为商式， r(x)称为余式。
(2),被除式=除式×商式+余式。
（3），简式：A=BQ+R
综合除法中定义 g(x)为一次多项式(x  a) ，a 为为任意数。
一、用综合除法写出 f (x) 按降幂排列的系数，设
f (x)  c x n  c x n1    c x  c
n n1 1 1 0
c c c  c c c
a n n1 n2 2 1 0
ac a(c  ac )  b d e
n n1 n
c c  ac c  a(c  ac ) c  b c  d c  e
n n1 n n2 n1 n 2 1 0
则有：b  a(c  a(c  a((a(c  ac ))));
3 4 n1 n
d  a(c  a(c  a(c  a((a(c  ac )))))
2 3 4 n1 n
e  a(c  a(c a(c  a(c  a((a(c  ac ))))))
1 2 3 4 n1 n
则
q(x)  (c  ac )x n1  (c  a(c  ac ))x n2   (c  b)x 2  (c  d )x, r(x)  c  e
n1 n n2 n1 n 2 1 0
注意：缺项的系数为 0。
例题：（1） f (x)  2x 5  5x 3  8x, g(x)  x  3
2 0 - 5 0 - 8 0
3
解： - 6 18 - 39 117 - 327
2 - 6 13 - 39 109 - 327
所以 q(x)  2x 4  6x 3 13x 2 19x 109, r(x)  327
（2） f (x)  x 3  x 2  x, g(x)  x