八年级数学下册第18章《平行四边形》专题训练五特殊平行四边形的性质与判定新版新人教版.pdf

专题训练(五) 特殊平行四边形的性质与判定
1．(吉林中考)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 DE∥AC，AE∥BD.求证：四边形
AODE 是矩形．
证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形 AODE 是平行四边形．
又∵四边形 ABCD 为菱形，
∴AC⊥BD，即∠AOD＝90°.
∴四边形 AODE 是矩形．
2．如图，在 ABCD 中，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，点 F 在边 CD 上，CF＝AE，连接 AF，BF.
(1)求证：四边形 BFDE 是矩形；
(2)若 CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：AF 是∠DAB 的平分线．
证明：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵CF＝AE，
∴BE＝DF.
∴四边形 BFDE 为平行四边形．
∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°.
∴四边形 BFDE 是矩形．
(2)∵四边形 BFDE 是矩形，
∴∠BFD＝90°.∴∠BFC＝90°.
在 Rt△BFC 中，由勾股定理得
1
BC＝ CF2＋BF2＝ 62＋82＝10.
∴AD＝BC＝10.
又∵DF＝10，∴AD＝DF.
∴∠DAF＝∠DFA.
∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠FAB.
∴∠DAF＝∠FAB.
∴AF 是∠DAB 的平分线．
3．如图 1，在 ABCD 中，AF 平分∠BAD 交 BC 于点 F，CE 平分∠BCD 交 AD 于点 E.
图 1 图 2
(1)求证：四边形 AFCE 是平行四边形；
(2)如图 2，若 BE⊥EC，求证：四边形 ABFE 是菱形．
证明：(1)∵AF 平分∠BAD，CE 平分∠BCD，
1 1
∴∠FAE＝ ∠BAE，∠FCE＝ ∠FCD.
2 2
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠BAE＝∠FCD，AD∥BC.
∴∠FAE＝∠FCE，∠FCE＝∠CED.
∴∠FAE＝∠CED.
∴AF∥EC.
又∵AE∥CF，