IASK高考数学压轴题讲练专题02曲线切线问题探究【解析版】.doc

IASK_高考数学压轴题讲练专题02曲线切线问题探究【解析版】
IASK_高考数学压轴题讲练专题02曲线切线问题探究【解析版】
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IASK_高考数学压轴题讲练专题02曲线切线问题探究【解析版】
第一章函数与导数
专题02曲线的切线问题探究
【压轴综述】
纵观近几年的高考命题，对曲线的切线问题的考查，主要与导数相结合，涉及切线的斜率、倾斜角、切线
方程等问题，题目的难度有难有易.利用导数的几何意义解题，主要题目类型有求切线方程、求切点坐标、求参数值（范围）等.与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略有：
1.已知斜率求切点．已知斜率
k，求切点x1,f
x1
，即解方程f
x
k.
2.求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线
.即注意两个“说法”：求曲线在点
P处
的切线方程和求曲线过点
P的切线方程，在点
P处的切线，一定是以点
P为切点，过点P的切线，不论点P
在不在曲线上，点P不一定是切点．
（1）已知切点求切线方程：①求出函数y
f
x在点x
x0处的导数，即曲线yf
x在点x0,f
x0
处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为
y
y0
f
x0xx0．
（2）求过点P的曲线的切线方程的步骤为：
第一步，设出切点坐标
P′(x1，f(x
1))；
第二步，写出过
P′(x
1，f(x1))的切线方程为
y-f(x
1)＝f′(x1)(x-x
1)；
第三步，将点
P的坐标(x，y
)代入切线方程，求出
x；
0
0
1
第四步，将x
的值代入方程
y-f(x
1
)＝f′(x
1
)(x-x)可得过点P(x，y)的切线方程．
1
1
0
0
求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．
4.根据导数的几何意义求参数的值（范围）时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程
组求解．
5.
已知两条曲线有公切线，求参数值（范围）.
6.
导数几何意义相关的综合问题．
【压轴典例】
例1.（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系
xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点
A处的切线
经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.
【答案】(e,1)
.
【解析】
设点Ax0,y0
，则y0lnx0.又y
1
，
x
当x
x0时，y
1
，
x0
点A在曲线y
lnx上的切线为yy0
1(x
x0)，
x0
即y
lnx0
x
1，
x0
e,
1
，得1
lnx0
e
代入点
1，
x0
即x0lnx0
e，
考查函数H
x
xlnx，当x
0,1时，H
x
0，当x1,
时，Hx
0，
且H'
x
ln
x
1，当x
1时，H'x
0,Hx单调递增，
注意到He
e，故x0lnx0
e存在唯一的实数根
x0e，此时y0
1，
故点A的坐标为Ae,1.
例2.（2019·全国高考真题（理））
已知函数fxlnx
x1.
1
1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线
y=ln
x在点A(x0，ln
x0)处的切线也是曲线
yex的切线.
【答案】（1）函数f(x)在(0,1)和(1,
)上是单调增函数，证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】