高考清华大学自主招生数学试题.docx

高考清华大学自主招生数学试题
2006届清华大学自主招生数学试题
2005年11月28日 1．求最小正整数n ，使得n i I )32121
(+=为纯虚数，并求出I ．
2．已知b a 、为非负数，1b a ,b a M 44=++=，求M 的最值．
3．已知θαθcos sin sin 、、为等差数列，θβθcos sin sin 、、为等比数列，求
β-
α2cos 2
12cos 的值． 4．求由正整数组成的集合S ，使S 中的元素之和等于元素之积． 5．随机取多少个整数，才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数．
6．2x y =上一点P (非原点)，在P 处引切线交y x 、轴于R Q 、，求PR PQ ．
7．已知)(x f 满足：对实数b a 、有)()()(a bf b af b a f +=?，且1)(≤x f ，求证)(x f 恒为零．
(可用以下结论：若M x f x g x ≤=∞→)(,0)(lim ，M 为一常数，那么0))()((lim =?∞
→x g x f x ) 8．在所有定周长的空间四边形ABCD 中，求对角线AC 和BD 的最大值，并证明．沁园春·雪


北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
2006届清华大学自主招生数学试题
2005年11月28日 1．求最小正整数n ，使得n i I )32121
(+=为纯虚数，并求出I ．
2．已知b a 、为非负数，1b a ,b a M 44=++=，求M 的最值．
3．已知θαθcos sin sin 、、为等差数列，θβθcos sin sin 、、为等比数列，求
β-
α2cos 2
12cos 的值． 4．求由正整数组成的集合S ，使S 中的元素之和等于元素之积． 5．随机取多少个整数，才能有0.9以上的概