有限长单位脉冲响应滤波器的设计

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1、第四章第四章 有限长单位脉冲响应（有限长单位脉冲响应（FIR）滤波器的设计方法滤波器的设计方法 序言序言4.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的特性数字滤波器的特性4.2 窗口设计法（时间窗口法）窗口设计法（时间窗口法） 4.3 频率采样法频率采样法 4.4 FIR数字滤波器的最优化设计数字滤波器的最优化设计 4.5 IIR与与FIR数字滤器的比较数字滤器的比较序言序言 FIR数字滤波器的差分方程描述数字滤波器的差分方程描述 10)()(Niiinxany 10)(NiiizazH 10)()()(Niinxihny10)()()(NiiizihzHiha对应的系统函数对应的系统函数 因为它

2、是一种线性时不变系统，可用卷积和形式表示因为它是一种线性时不变系统，可用卷积和形式表示 比较比较、得：得：FIR数字滤波器的特点数字滤波器的特点(与与IIR数字滤波器比较数字滤波器比较)： 优点优点 ：（：（1）很容易获得严格的线性相位，避免被处理）很容易获得严格的线性相位，避免被处理 的信号的信号 产生相位失真，这一特点在产生相位失真，这一特点在 宽频带信宽频带信 号处理、阵号处理、阵 列信号处理、数据传输等系统中列信号处理、数据传输等系统中 非常重要；非常重要； （2 ）可得到多带幅频特性；）可得到多带幅频特性； （3 ）极点全部在原点（永远稳定），无稳定）极点全部在原点（永远稳定），无稳

3、定 性问题；性问题； （4 ）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一 定的延时，转变为因果序列，定的延时，转变为因果序列， 所以因果性总是所以因果性总是 满足；满足； （5）无反馈运算，运算误差小。）无反馈运算，运算误差小。缺点：（缺点：（1）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较 高的阶数为代价；高的阶数为代价； （2）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解 析设计析设计 公式，要借助计算机辅助设计程序完成。公式，要借助计算机辅助设计程序完成。4.1 线性相位线性相

4、位FIR数字滤波器的特性数字滤波器的特性 )(4.1.1 线性相位的条件线性相位的条件线性相位意味着一个系统的相频特性是频率的线性函数，即式中为常数，此时通过这一系统的各频率分量的时延为一相同的常数，系统的群时延为 ddg)(FIR滤波器的DTFT为 NnnjjjenheHeH式中 H()是正或负的实函数。等式中间和等式右边的实部与虚部应当各自相等，同样实部与虚部的比值应当相等: NnNnnnhnnhcossincossin将上式两边交叉相乘，再将等式右边各项移到左边，应用三角函数的恒等关系 Nnnnhsin满足上式的条件是 10 ,121NnnNhnhN另外一种情况是，除了上述的线性相位外，

5、还有一附加的相位，即 )( nNhnhN1221利用类似的关系，可以得出新的解答为 20) 1( N 20) 5 . 0( N2 偶对称)(nh 奇对称)(nh图1 线性相位特性分四种情况4.1.2 线性相位线性相位FIR滤波器的幅度特性滤波器的幅度特性分四种情况1 h(n) 偶对称，N为奇数 h(n)=h(N-1-n)4.1.2 线性相位线性相位FIR滤波器的幅度特性滤波器的幅度特性 21230112121230102121)(NjNnnNjnjNNnnjNjNnnjNnnjjjeNheenhenheNhenhenheHeH2/ )3(021cos)(221)(NnNnnhNhH 2121c

6、os221)()(23021212302121NhNnnheNheenheeHNnNjNnjNnNnjNjj21)(N21Nnm令 ，则2/ ) 1(1cos)21(221)(NmmmNhNhH21, 2 , 1,212)(,21)0(NnnNhnaNha 2/10cos)(NnnnaH令则由于 偶对称，因此 对这些频率也呈偶对称。2 , 0cos关于n H(1)/2111( )2 ()cos22NmNNHhhmm 2 0 2h(n)偶对称，偶对称，N为偶数为偶数 h(n)=h(N-1-n) 12/021cos)(2NnNnnhH令 ，则mNn12 2/121cos122NmmmNhH 120

7、211201120112021cos21NnNjNnnNjnjNnnNjNnnjjNnnheeenhenNhenheH 120121cos22NmNHhmm nNhnbnnbHNn122)(21cos)(2/1或写为： 由于 奇对称，所以 对 也为奇对称，且由于 时， 处必有一零点，因此这种情况不能用于设计 时 的滤波器，如高通、带阻滤波器。对2/1cosn H1)(, 0)(zzHH在故 0H, 02/1cosn0 023. h(n)奇对称，奇对称，N为奇数，为奇数，h(n)=-h(N-1-n) 230221230112123021sin2NnNjNnnNjnjNNnnjNnnjjNnnhe

8、eenhenhenheH 令 n=m+(N-1)/2，得： 2/ )1(1sin212NmmmNhH)21(sin)(2)(230NnNnnhH mmNhHNm211sin212所以 nNhncnncHNn212)(sin)(211由于 点呈奇对称，所以 对这些点也奇对称。由于 时， 相当于H（z）在 处有两个零点，不能用于 的滤波器设计，故不能用作低通、高通和带阻滤波器的设计。2 , 0sin对n H1z2 , 0 , 0, 0sinHn 00)0(HH和02 2 4.h(n)奇对称，N为偶数 12022121sin2NnNjjNnnheeH)21(sin)12(2)(21NmmmNhH12

9、Nnm令1201( )2 (1)sin ()22NmNHhmm 2/121sin)(NnnndHnNhnd122)(21sinn由于 在=0,处为零，所以H()在=0, 2处为零，即H(z)在z=1上有零点，并对=0,2呈奇对称。 0 022 四种线性相位FIR滤波器四种线性相位FIR DF特性，参考表4.1第一种情况 ，偶、奇，四种滤波器都可设计。第二种情况，偶、偶，可设计低、带通滤波器，不能设计 高通和带阻。第三种情况，奇、奇，只能设计带通滤波器，其它滤波器 都不能设计。第四种情况，奇、偶，可设计高通、带通滤波器，不能设 计低通和带阻。例例1 N=5, h (0) = h (1) = h

10、(3) = h (4) = -1/2, h (2) = 2，求幅度函数H ()。解 为奇数并且h(n)满足偶对称关系a (0) = h (2) = 2a (1) = 2 h (3) = -1a (2) = 2 h (4) = -1H () = 2 - cos- cos2 = 2- (cos+cos2) 小结： 四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于h(n)的对称性，而与h(n)的值无关。幅度特性取决于h(n)。设计FIR数字滤波器时，在保证h(n)对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。注意：当H()用H()表示时，当H()为奇对称时，其相频特性中还应加一个固定相移。4.1.3 线性相位线性

11、相位FIR滤波器的零点特性滤波器的零点特性 )1()(nNhnh 10NnnznhzH101NnnznNh 101101)(NmmNNmmNzmhzzmhzH 11zHzzHN由该式可看出，若z=zi是H（z）的零点，则z=z-1i也一定是H（z）的零点。由于h(n)是实数，H（z）的零点还必须共轭成对，所以z=z*i 及 z=1/z*也必是零点。 所以线性相位滤波器的零点必须是互为倒数的共轭对，即成四出现，这种共轭对共有四种可能的情况：既不在单位园上，也不在实轴上，有四个互为倒数的两组共轭 对， zi z*i 1/zi 1/z*i 图4.2(a) 在单位圆上，但不在实轴上，因倒数就是自己的共