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1、任课教师：陈其科任课教师：陈其科联系方式：联系方式： E_mail ： 办公电话：办公电话：61830311总总 学学 时时: 4848课时（课时（3 3学分）学分）教教 材：材：梁昆淼，梁昆淼，数学物理方程数学物理方程（第四版）（第四版）成绩构成：成绩构成：课堂测验课堂测验(4(4次次)40% )40% + + 课程设计课程设计10%10% + + 平时（出勤，作业）平时（出勤，作业）10%10% + + 期末考试期末考试40%40%两点期望：两点期望： 1 1、按时出勤，请假须有请假条、按时出勤，请假须有请假条( (上课前有效上课前有效) )；课堂测验；课堂测验不定期不预先通知，缺勤不定期
2、不预先通知，缺勤1 1次，直接从总分减次，直接从总分减10%(10%(请假另计请假另计) )； 2 2、自己完成作业，并按时提交；、自己完成作业，并按时提交；电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程第二篇第二篇 数学物理方程数学物理方程要想探索自然界的奥秘，就得解微分方程要想探索自然界的奥秘，就得解微分方程 -牛顿牛顿电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程第一章第一章 典型方程与定解问题典型方程与定解问题 1.1 常见坐标系常见坐标系(补
3、充内容补充内容)1.2 典型的数学物理方程典型的数学物理方程1.3 定解条件定解条件 电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程 三维空间任意一点的位置可通过三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交线的三条相互正交线的交点交点来确定。来确定。 三种常用的正交坐标系为：三种常用的正交坐标系为：直角坐标系直角坐标系、圆柱坐标系圆柱坐标系和和球坐标系球坐标系。 三条正交线组成的确定三维空间任意点位置的体系，三条正交线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为称为正交坐标系正交坐标系；三条正交线称为；三条正交线称为坐标轴坐标轴；
4、描述坐标轴；描述坐标轴的量称为的量称为坐标变量坐标变量。1.1 1.1 常用坐标系常用坐标系电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程（一）直角坐标系（一）直角坐标系xyzre xe ye z位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量线元矢量线元矢量ddddxyzlexeye zdd dd dxxyzxSe lle y zdd dd dzzxyzSe lle x y体积元体积元dd d dVx y zdd dd dyyxzySellex z坐标变量坐标变量, ,x y z坐标单位矢量坐标单位矢量,xyze e e 点点P(x0,
5、y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐标系直角坐标系 xezeyex yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd1.1 1.1 常用坐标系常用坐标系电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程（二）（二） 圆柱坐标系圆柱坐标系dd dd ddd dd ddd dd dzzzzzSellezSellezSe lle , z 坐标变量坐标变量,zee e 坐标
6、单位矢量坐标单位矢量zree z位置矢量位置矢量ddddzreee z 线元矢量线元矢量dd d dVz 体积元体积元面元矢量面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系圆柱坐标系1.1 1.1 常用坐标系常用坐标系电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程2dd dsin d drrrSe lle r dd dsin d drzSel le rrdd dd drSel le r r球坐标系球坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元,r 坐标变量坐标变量,
7、re e e 坐标单位矢量坐标单位矢量rre r位置矢量位置矢量dddsin drrere re r 线元矢量线元矢量2dsin d d dVrr 体积元体积元面元矢量面元矢量（三）球面坐标系（三）球面坐标系1.1 1.1 常用坐标系常用坐标系电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程三种坐标系有不同适用范围：三种坐标系有不同适用范围：1 1、直角坐标系适用于场呈、直角坐标系适用于场呈面对称分布面对称分布的问题求解。的问题求解。2 2、柱面坐标系适用于场呈、柱面坐标系适用于场呈轴对称分布轴对称分布的问题求解。的问题求解
8、。3 3、球面坐标系适用于场呈、球面坐标系适用于场呈点对称分布点对称分布的问题求解。的问题求解。1.1 1.1 常用坐标系常用坐标系电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程（四）坐标单位矢量之间的变换关系（四）坐标单位矢量之间的变换关系 xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐标直角坐标与与圆柱坐标系圆柱坐标系eezereeesin0cossincos0001圆柱坐标圆柱坐标与与球坐标系球坐标系直角坐标直角坐标与与球坐标系球坐标系zereeecossincossinsincos0 xeyesins
9、insincoscossinoxy单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系xeyeeeorz单位圆单位圆 柱坐标系与球坐标系之间柱坐标系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系zeeree1.1 1.1 常用坐标系常用坐标系电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程1.1 1.1 常用坐标系常用坐标系xyzeeexyz 哈密顿算符：哈密顿算符：11()sinreeerrr ( (柱面坐标系柱面坐标系) )1()rzeeerrz ( (直角坐标系直角坐标
10、系) )( (球面坐标系球面坐标系) )拉普拉斯算符：拉普拉斯算符：2222222xyz 2222222( , , )uuuu x y zxyz如：如：电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程1.2 1.2 典型的数学物理方程典型的数学物理方程数学物理方程数学物理方程：从物理问题中导出的函数方程，一般是：从物理问题中导出的函数方程，一般是 偏微分方程和积分方程。偏微分方程和积分方程。 在科学研究和生产过程中，往往需要了解物理量在空间在科学研究和生产过程中，往往需要了解物理量在空间中的中的分布规律分布规律和随时间的和随
11、时间的变化规律变化规律。 如：研究电磁波时需知道电磁场的时、空变化规律如：研究电磁波时需知道电磁场的时、空变化规律 研究半导体工艺时需知道杂质浓度在硅片中的分布研究半导体工艺时需知道杂质浓度在硅片中的分布 与变化（扩散）规律。与变化（扩散）规律。电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程1.2 1.2 典型的数学物理方程典型的数学物理方程数学物理方程数学物理方程：从物理问题中导出的函数方程，一般是：从物理问题中导出的函数方程，一般是 偏微分方程和积分方程。偏微分方程和积分方程。物理规律是代表某物理现象物理规律是代表某物
12、理现象的物理量在空间的分布规律的物理量在空间的分布规律和时间的变化规律。可用和时间的变化规律。可用u(r,t)表示。物理规律反应的表示。物理规律反应的是同一类物理现象遵从的共是同一类物理现象遵从的共同规律，具有同规律，具有普遍性普遍性。 对于具体问题，由于所处的对于具体问题，由于所处的“环境环境”或或“历史原因历史原因”不不同，代表同一类物理现象的同，代表同一类物理现象的物理量的具体表达式不同，物理量的具体表达式不同，具有具有特殊性特殊性。物理规律的物理规律的普遍性普遍性具体问题的具体问题的特殊性特殊性电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分
13、 数学物理方程数学物理方程1.2 1.2 典型的数学物理方程典型的数学物理方程l 泛定方程泛定方程 描述物理规律的数学表示，反映物理量随空间位置和时间描述物理规律的数学表示，反映物理量随空间位置和时间变化的规律，是一类物理现象的变化的规律，是一类物理现象的共性共性，与具体现象无关。，与具体现象无关。例：例：牛顿第二定律牛顿第二定律反映的是力学现象的普遍规律，跟具体条反映的是力学现象的普遍规律，跟具体条件无关。件无关。 Fma几个概念几个概念（普遍规律）（普遍规律） 电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程1.2 1.
14、2 典型的数学物理方程典型的数学物理方程l定解条件定解条件同一类物理现象中，各个具体问题又各有其同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性，即个性。特殊性，即个性。边界条件：边界条件：周围周围“环境环境”影响体现在边界处的物理状况。影响体现在边界处的物理状况。初始条件：初始条件：某个某个“初始初始”时刻所处的状态。时刻所处的状态。例：一个物体做竖直上抛运动，一个物体斜抛运动。例：一个物体做竖直上抛运动，一个物体斜抛运动。例：如电磁波在无界空间传播和有界空间传播。例：如电磁波在无界空间传播和有界空间传播。几个概念几个概念 定解条件即体现物理现象个性的条件，包括定解条件即体现物理现象个性的条件，
15、包括边界条件边界条件和和初始条件初始条件。电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程1.2 1.2 典型的数学物理方程典型的数学物理方程（一）波动方程（一）波动方程( (双曲型方程双曲型方程) )1.1.弦振动方程弦振动方程条件条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近产生振幅：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近产生振幅极小极小的的 横振动。不受外力影响。横振动。不受外力影响。研究对象研究对象：线上某点在线上某点在 t t 时刻沿纵向的时刻沿纵向的位移位移。( , )u x t问题：问题：电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工
16、程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程1.2 1.2 典型的数学物理方程典型的数学物理方程（一）波动方程（一）波动方程( (双曲型方程双曲型方程) )1.1.弦振动方程弦振动方程简化假设：简化假设：(2)(2)振幅极小振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。张力与水平方向的夹角很小。(1)(1)弦是弦是柔软柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。gds M M ds x T y xdx x T 物理规律：牛顿运动定律物理规律：牛顿运动定律sinsinTTgdsma横向力：横向力：coscosTT纵向力：纵向力：c
17、os1cos1( , )(d , )sintansintanu x tu xx txxTT电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程1.2 1.2 典型的数学物理方程典型的数学物理方程（一）波动方程（一）波动方程( (双曲型方程双曲型方程) )1.1.弦振动方程弦振动方程gds M M ds x T y xdx x T (d , )( , )u xx tu x tTgdsmaxx其中：其中：ddsx22( , )mdsu x tat22(d , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tTg xxxxt
18、22( , )( , )ddu x tu x txxxxx2222( , )( , )ddux tu x tTgxxxt电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程1.2 1.2 典型的数学物理方程典型的数学物理方程（一）波动方程（一）波动方程( (双曲型方程双曲型方程) )1.1.弦振动方程弦振动方程2222( , )( , )Tux tu x tgxt2Ta令：令：22222( , )( , )u x tux tagtx 一维波动方程一维波动方程横向作用力横向作用力非齐次方程非齐次方程忽略外力作用（忽略外力作用（g=
19、0g=0）22222( , )( , )u x tux tatx一维齐次波动方程一维齐次波动方程简化表示：简化表示：2ttxxua u2( , )ttxxua uf x t考虑外力：考虑外力：gds M M ds x T y xdx x T 电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程2 2、均匀细杆的微小纵振动、均匀细杆的微小纵振动,ttP xx tP x tSS x ux t ,P xx tP x tPxxxx,u x t,u xx tx细杆振动的源动力为纵向应变细杆振动的源动力为纵向应变,uu x t振动位移振动位
20、移,P x t应力应力(两方单位横截面的作用力两方单位横截面的作用力),ttP xx tP x tux txttPux2222uuYtx222220uuatxuPYxYa1.2 1.2 典型的数学物理方程典型的数学物理方程（一）波动方程（一）波动方程( (双曲型方程双曲型方程) )胡克定律胡克定律2ttxxua u电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程1.2 1.2 典型的数学物理方程典型的数学物理方程（一）波动方程（一）波动方程( (双曲型方程双曲型方程) )3.3.薄膜振动方程薄膜振动方程2()( , , ,
21、)ttxxyyzzua uuuf x y z t2()( , , )ttxxyyua uuf x y t二维薄膜振动方程二维薄膜振动方程三维波动方程三维波动方程4.4.理想传输线方程（电报方程）理想传输线方程（电报方程）11,ttxxttxxiivvLCLC一维波动方程一维波动方程电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程, , ,EE x y z t, , ,HH x y z t麦克斯韦方程组及电流连续性方程麦克斯韦方程组及电流连续性方程 5.5.电磁场波动方程电磁场波动方程( (无源区无源区) )1.2 1.2 典
22、型的数学物理方程典型的数学物理方程（一）波动方程（一）波动方程( (双曲型方程双曲型方程) )电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程/0HEtEHJtEH 2()EEE 222EEt 220ttEaE1a220ttHaH5.5.电磁场波动方程电磁场波动方程( (无源区无源区) )1.2 1.2 典型的数学物理方程典型的数学物理方程（一）波动方程（一）波动方程( (双曲型方程双曲型方程) )00HEtEHtEH 无源区无源区2E ()Ht (0)J电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数
23、学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程1.2 1.2 典型的数学物理方程典型的数学物理方程（二）热传导方程（二）热传导方程( (抛物型方程抛物型方程) ) 一根长为一根长为L L的均匀导热细杆，侧面绝热，内部无热源。其热的均匀导热细杆，侧面绝热，内部无热源。其热传导系数为传导系数为k k，比热为，比热为c c，线密度为，线密度为。求杆内温度。求杆内温度 变化的变化的规律。规律。问题问题：一维热传导：一维热传导( , )u x t研究对象：研究对象： 温度场温度场 ( , , , )u x y z t物理规律物理规律：能量守恒定律：能量守恒定律推导：推导：热流强度：热流强度：uqkx
24、(扩散定律扩散定律) 设杆中的热流沿设杆中的热流沿x轴正向流动，强度为轴正向流动，强度为q(x,t)，温度分布为，温度分布为 u(x,t)。考察。考察x,x+dx段细杆，其其内部热能变化为：段细杆，其其内部热能变化为：dQc m du电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程1.2 1.2 典型的数学物理方程典型的数学物理方程（二）热传导方程（二）热传导方程( (抛物型方程抛物型方程) ) ( , )(, )dQq x tq xdx t dtcdx du1dudqdtcdx 221 dduk d ukcdxdxcdx2
25、2()txxkua uac一维热传导方程一维热传导方程由能量守恒定律：由能量守恒定律：dQc m dudqdxdtdx uqkx 电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程1.2 1.2 典型的数学物理方程典型的数学物理方程（二）热传导方程（二）热传导方程( (抛物型方程抛物型方程) )推广：三维热传导方程推广：三维热传导方程热场热场MSSVn三维热传三维热传导方程导方程222=(+)+ ( , , )txxyyzzuau a uuuf x y z热源分布热源分布函数函数电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子
26、工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程1.2 1.2 典型的数学物理方程典型的数学物理方程（三）稳定场方程（三）稳定场方程( (拉普拉斯方程拉普拉斯方程) )物理问题的产生物理问题的产生： 在演化问题中，有时会到达一个不随时间变化的在演化问题中，有时会到达一个不随时间变化的稳定状态，对应的方程称为稳定状态，对应的方程称为稳定场方程稳定场方程。 如细杆中热传导，或半导体中杂质扩散达到稳定状态。如细杆中热传导，或半导体中杂质扩散达到稳定状态。数学方程形式数学方程形式： 在对应的演化方程中取消时间变量在对应的演化方程中取消时间变量t，对对t的导数为零的导数为零。2(+
27、)+ ( , , )txxyyzzua uuuf x y z0稳定场方程稳定场方程电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程1.2 1.2 典型的数学物理方程典型的数学物理方程（三）稳定场方程（三）稳定场方程( (拉普拉斯方程拉普拉斯方程) )0 xxyyzzuuu1 1、热传导的稳定状态、热传导的稳定状态热传导趋于平衡热传导趋于平衡,温度温度u(x,y,z,t)趋于趋于u(x,y,z)0,ut有有故故方方程程可可化化成成：Laplace方程方程( , , )xxyyzzuuuf x y zPoisson方程方程不随时
28、间变化不随时间变化电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程1.2 1.2 典型的数学物理方程典型的数学物理方程（三）稳定场方程（三）稳定场方程( (椭圆型方程椭圆型方程) )2 2、静电场的电位方程、静电场的电位方程电势电势u 确定所要研究的物理量：确定所要研究的物理量：根据物理规律建立微分方程：根据物理规律建立微分方程：uE / E()Eu 2=/xxyyzzuuuu 2=0 xxyyzzuuuu2u / 拉普拉斯方程拉普拉斯方程( (无源场无源场) ) 泊松方程泊松方程 电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程
29、系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程1.3 1.3 定解条件定解条件 同一类物理现象中，各具体问题又有其特殊性。同一类物理现象中，各具体问题又有其特殊性。边界条边界条件件和和初始条件初始条件反映了具体问题的反映了具体问题的特殊环境特殊环境和和历史历史，即个性。，即个性。初始条件：初始条件： 能够用来说明某一具体物理现象能够用来说明某一具体物理现象初始状态初始状态的条件。的条件。边界条件：边界条件： 能够用来说明某一具体物理现象能够用来说明某一具体物理现象边界上边界上的约束情况的的约束情况的条件。条件。其他条件：其他条件： 能够用来说明某一具体物理现象情况
30、的条件。能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程1.3 1.3 定解条件定解条件（一）初始条件（一）初始条件描述系统的初始状态描述系统的初始状态初始时刻的温度分布：初始时刻的温度分布：2 2、热传导方程的初始条件、热传导方程的初始条件0( , , , )|( , , )tu x y z tx y z3 3、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 描述描述稳恒状态稳恒状态，与初始状态无关，无初始条件，与初始状态无关，无初始条件1 1、波动方程的初始条件
31、、波动方程的初始条件00|( )( )ttuxuxt系统各点的系统各点的初位移初位移系统各点的系统各点的初速度初速度 初始条件应当给出整个系统的初始状态，不能仅给出个初始条件应当给出整个系统的初始状态，不能仅给出个别地点的初始状态。别地点的初始状态。电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程1.3 1.3 定解条件定解条件（二）边界条件（二）边界条件描述系统在边界上的状况描述系统在边界上的状况(2)自由自由端：端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用端既不固定，又不受位移方向力的作用:1 1、波动方程的边界条件、
32、波动方程的边界条件(1)(1)固定固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：端：对于两端固定的弦的横振动，其为：( , )|0,x au x t( , )0u a t 或：或：0 x aux( , )0 xu a t(3) 弹性支承弹性支承端：在端：在x=a端受到弹性系数为端受到弹性系数为k 的弹簧支承：的弹簧支承：x ax auTkux 0 x auux第一类齐次边界条件第一类齐次边界条件第二类齐次边界条件第二类齐次边界条件第三类齐次边界第三类齐次边界条件条件 胡克定律：胡克定律：电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理
33、方程1.3 1.3 定解条件定解条件（二）边界条件（二）边界条件描述系统在边界上的状况描述系统在边界上的状况2 2、热传导方程的边界条件、热传导方程的边界条件(1) (1) 边界上边界上温度恒定温度恒定|sufS:给定区域给定区域 v 的边界的边界(2) (2) 绝热绝热状态状态0sun(3)(3)自由冷却自由冷却状态状态 牛顿冷却定律：牛顿冷却定律：1SSuuun第一类齐次边界条件第一类齐次边界条件第二类齐次边界条件第二类齐次边界条件第三类齐次边界条件第三类齐次边界条件电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程1.3
34、 1.3 定解条件定解条件（二）边界条件（二）边界条件描述系统在边界上的状况描述系统在边界上的状况3 3、稳定场方程的边界条件、稳定场方程的边界条件(1) (1) 第一类边界条件第一类边界条件1|sufS:给定区域给定区域 v 的边界的边界(2) (2) 第二类边界条件第二类边界条件sufn(3) (3) 第三类边界条件第三类边界条件211212,SSuf ufSSSnS:给定区域给定区域 v 的边界的边界S:给定区域给定区域 v 的边界的边界电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程0,0,0 xx lu x tu
35、x t0,0,0 xxxx lux tux t222220uuatx齐次边界条件齐次边界条件齐次边界条件齐次边界条件1.3 1.3 定解条件定解条件（二）边界条件（二）边界条件描述系统在边界上的状况描述系统在边界上的状况4 4、边界条件举例、边界条件举例 求解均匀细杆的微小纵振动问题：求解均匀细杆的微小纵振动问题：1 1）若两端固定：）若两端固定：2 2）若两端自由）若两端自由 且不受力：且不受力：泛定方程：泛定方程：102,( )/,( )/xxxx lux tf tYSux tf tYS非齐次边界条件非齐次边界条件3 3）若两端自由）若两端自由 且受力：且受力：电子科技大学微波工程系电子科
36、技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程 x luYSf tx 1x luf txYSuPYx 1x lftuxYS 20 xftuxYS边界条件推导过程：边界条件推导过程：（第二类边界条件）（第二类边界条件）（三）定解条件举例（三）定解条件举例1.3 1.3 定解条件定解条件xxx,u x t,u xx t 1ft 2ft 求解均匀细杆的微小纵振动问题：求解均匀细杆的微小纵振动问题：电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程（第三类边界条件）（第三类边界条件）（三）定
37、解条件举例（三）定解条件举例1.3 1.3 定解条件定解条件 细杆导热问题细杆导热问题 杆的端点杆的端点 自由冷却，即杆的端部与周围介质（温自由冷却，即杆的端部与周围介质（温度为度为T）按牛顿冷却定律交换热量。）按牛顿冷却定律交换热量。0,xxl0 x lx lukh uTx0 x lkuuThxuqkx xxdx0 x lqh uT 1x luuAftx 20 xuuBftx( (热传导定律热传导定律) )( (牛顿冷却定律牛顿冷却定律) )20txxua u泛定方程：泛定方程：边界条件：边界条件： 11Tft 22Tft电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数
38、学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程1.4 1.4 定解问题定解问题（一）定解问题及相关概念（一）定解问题及相关概念1 1、定解问题、定解问题(1)(1)初值问题初值问题：只有只有初始条件，初始条件，没有没有边界条件的定解问题；边界条件的定解问题；(2)(2)边值问题边值问题：没有没有初始条件，初始条件，只有只有边界条件的定解问题；边界条件的定解问题；(3)(3)混合问题混合问题：既有既有初始条件，初始条件，也有也有边界条件的定解问题。边界条件的定解问题。 把某种物理现象满足的把某种物理现象满足的偏微分方程偏微分方程( (泛定方程泛定方程) )和其相应的和其相应的定解条件定解条件结
39、合在一起，就构成了一个定解问题。结合在一起，就构成了一个定解问题。电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程1.4 1.4 定解问题定解问题（二）定解问题的适定性（二）定解问题的适定性l 定解问题的定解问题的适定性检验适定性检验： 解的解的存在性存在性：定解问题是否有解；：定解问题是否有解；解的解的唯一性唯一性：是否只有唯一解；：是否只有唯一解；解的解的稳定性稳定性：定解条件微小变动时，解是否相应微小变动。：定解条件微小变动时，解是否相应微小变动。不适定问题：一般来说，方程的阶数对应于定解条件的个数：如条件多了，将会破
40、坏解的存在性；如条件少了，将会破坏解的唯一性。l 适定性的意义：适定性的意义： 定解问题是实际问题的数学模型，其适定性是对模型能定解问题是实际问题的数学模型，其适定性是对模型能否反映实际问题的一般要求。否反映实际问题的一般要求。电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程1.4 1.4 定解问题定解问题（三）叠加原理（三）叠加原理 线性方程的解可以分解成几个部分的线性方程的解可以分解成几个部分的线性叠加线性叠加，只要这些，只要这些部分各自满足的方程的相应的线性叠加正好是原来的方程部分各自满足的方程的相应的线性叠加正好是原
41、来的方程 iiLuf,iiffuuLuf0iLu iuu0Lu 叠加原理应用：叠加原理应用：1 1）齐次方程的两个解的线性组合仍为原方程的解；）齐次方程的两个解的线性组合仍为原方程的解；2 2）非齐次方程的特解加对应的齐次方程的解，结果为非）非齐次方程的特解加对应的齐次方程的解，结果为非齐次方程的解；齐次方程的解；非齐次方程非齐次方程齐次方程齐次方程电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程例例 一根长为一根长为 的弦，两端固定于的弦，两端固定于 和和 , ,在距离坐标原点在距离坐标原点为为 的位置将弦沿着横向拉开距离
42、的位置将弦沿着横向拉开距离 ，如图所示，然后放手任其振，如图所示，然后放手任其振动，试动，试写出定解问题写出定解问题。 x x u u o o b b l l h h 7 7 解：解：弦自由振动满足波动方程弦自由振动满足波动方程边界条件：边界条件： l0 x xlbh22222,uuatx(0,0)xl t(0, )0,( , )0,(0)utu l tt初始条件：初始条件：0( , )( ,0)0,(0)tttu x tu xxl0(0)( , )()()thxxbbu x thlxbxllb1.4 1.4 定解问题定解问题电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程
43、数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程定解问题小结定解问题小结定定解解问问题题泛泛定定方方程程定定解解条条件件波动方程波动方程热传导方程热传导方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程2()( , , ; )ttxxyyzzua uuuf x y z t2()( , , ; )txxyyzzua uuuf x y z t2()( , , )xxyyzzuuuuf x y z初始条件初始条件(初值，初速初值，初速)边界条件边界条件(第一、二、三类第一、二、三类)其他条件其他条件初值问题初值问题边值问题边值问题混合问题混合问题电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方
44、法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程课程内容课程内容三种方程三种方程 四种求解方法四种求解方法 二个特殊函数二个特殊函数分离变量法分离变量法积分变换法（积分变换法（）格林函数法格林函数法波动方程波动方程热传导方程热传导方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程贝赛尔函数贝赛尔函数(柱坐标系柱坐标系)勒让德函数勒让德函数(球坐标系球坐标系)行波法行波法电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程第二章第二章 波动方程的达朗贝尔解法波动方程的达朗贝尔解法 达朗贝尔解法达朗贝尔解法行波法行波法2.1 一维波动方程的达朗贝尔解一维波动
45、方程的达朗贝尔解2.2 三维波动方程的达朗贝尔解三维波动方程的达朗贝尔解（自学）（自学） 电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程2.1 2.1 一维波动方程的达朗贝尔解一维波动方程的达朗贝尔解定解问题的定解问题的求解步骤求解步骤： 1 1、先求泛定方程的通解（含有待定积分常数）、先求泛定方程的通解（含有待定积分常数） 2 2、由定解条件确定积分常数。、由定解条件确定积分常数。电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程2222200( , )
46、, 0,( , )( )( , )( )tttuuaf x ttxRtxu x txu x tx2.1 2.1 一维波动方程的达朗贝尔解一维波动方程的达朗贝尔解（一）达朗贝尔公式的推导（一）达朗贝尔公式的推导无界弦无界弦振动的定解问题的一般形式振动的定解问题的一般形式作用力作用力初始位移初始位移初始速度初始速度达朗贝尔法仅适用于无界达朗贝尔法仅适用于无界/ /半无界时波动方程求解。半无界时波动方程求解。无界波动方程定解问题为初值问题。无界波动方程定解问题为初值问题。电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程2.1 2.
47、1 一维波动方程的达朗贝尔解一维波动方程的达朗贝尔解（一）达朗贝尔公式的推导（一）达朗贝尔公式的推导1 1、无界弦的自由振动（齐次方程）、无界弦的自由振动（齐次方程）2222200, 0,( , )( )( , )( )tttuuatxRtxu x txu x tx定解问题：定解问题：求解思路：先求通解，再求特解。求解思路：先求通解，再求特解。(a为常数为常数)作线性变换：作线性变换：xatxat1()21()2xta 第一步：求通解。第一步：求通解。电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程2.1 2.1 一维波动方
48、程的达朗贝尔解一维波动方程的达朗贝尔解（一）达朗贝尔公式的推导（一）达朗贝尔公式的推导1 1、无界弦的自由振动（齐次方程）、无界弦的自由振动（齐次方程）222220uuatx由复合函数求导法则：由复合函数求导法则：xatxatuuuxxx uu22uuuxxxxx222222uuu 同理可得：同理可得：222222222uuuuat 电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程2.1 2.1 一维波动方程的达朗贝尔解一维波动方程的达朗贝尔解（一）达朗贝尔公式的推导（一）达朗贝尔公式的推导1 1、无界弦的自由振动、无界弦的
49、自由振动( (续续) )20u 代入方程整理可得：代入方程整理可得：对对 积分积分0( )uf对对 积分积分02( )( )ufdf1( )f12( )( )uff12()()f xatf xat= =？由定解条件确定由定解条件确定第二步：利用定解条件定解。第二步：利用定解条件定解。（通解）（通解）00( , )( )( , )( )tttu x txu x tx12( )( )( )f xf xx12( )( )( )a fxfxx电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程2.1 2.1 一维波动方程的达朗贝尔解一维
50、波动方程的达朗贝尔解（一）达朗贝尔公式的推导（一）达朗贝尔公式的推导1 1、无界弦的自由振动、无界弦的自由振动( (续续) )1212( )( )( )( )( )( )f xfxxa fxfxx00121( )( )( )xxxxffdda 0121( )( )( )xxfxfxdCa 1020()()fxfx001211( )( )( )22211( )( )( )222xxxxCf xxdaCfxxda 12()()uf xatfxat11 ()()( )22x atx atxatxatda 达朗贝尔公式达朗贝尔公式电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学
51、方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程2.1 2.1 一维波动方程的达朗贝尔解一维波动方程的达朗贝尔解（二）达朗贝尔公式的物理意义（二）达朗贝尔公式的物理意义12()()uf xatfxat2()fxat以以 为例说明。为例说明。2()cos()fxatxt0t4t2tx xExEx 0 02 23 3 ：沿：沿x x方向传播行波方向传播行波2()fxat ：沿：沿-x-x方向传播行波方向传播行波1()f xat达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动，总是以行波的形达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动，总是以行波的形式分别向两侧传播的，且传播速度等于方程中的常数式分别向两侧传播的，且传播速度等于
52、方程中的常数a a。电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程2.1 2.1 一维波动方程的达朗贝尔解一维波动方程的达朗贝尔解（二）达朗贝尔公式的物理意义（二）达朗贝尔公式的物理意义11( , ) ()()( )22x atx atu x txatxatda 由达朗贝尔公式可知：解在由达朗贝尔公式可知：解在(x0,t)处的值，仅依赖于初始条件在处的值，仅依赖于初始条件在区间区间x0-at,x0+at的值的值依赖区间依赖区间：x0-at,x0+atxt0(, )x t1x2x区域内任意点的值区域内任意点的值由由x1,x2
53、初值决定初值决定 三角形区域内任意点的值，均由三角形区域内任意点的值，均由x1,x2的初值的初值决定决定称三角形区域为称三角形区域为x1,x2的的决定区域决定区域。1020,xxat xxat电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程20()ttxxua ux 00( , )cos( )( , )2tttu x txu x t例：求定解问题例：求定解问题11( , )cos()cos()222x atx atu x txatxatdacos cos2xatt11 ()()( )22x atx atuxatxatda 解
54、：由达朗贝尔公式解：由达朗贝尔公式( ) x( ) x2.1 2.1 一维波动方程的达朗贝尔解一维波动方程的达朗贝尔解11cos()cos()()()2xatxatxatxata电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程例：求解无界弦的自由震动，设弦的初始位移为例：求解无界弦的自由震动，设弦的初始位移为 ，初，初始速度为始速度为 。x（ ）( )ax解：写出其定解问题解：写出其定解问题20,(,0)( ,0),( ,0)( )ttxxtua uxtu xx u xax （ ）由达朗贝尔方程由达朗贝尔方程11( , )
55、()()( )22x atx atu x txatxatada ()xat11 ()() ()()22xatxatxatxat2.1 2.1 一维波动方程的达朗贝尔解一维波动方程的达朗贝尔解电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程2.1 2.1 一维波动方程的达朗贝尔解一维波动方程的达朗贝尔解（三）达朗贝尔公式的应用（三）达朗贝尔公式的应用2. 2. 无界弦的受迫振动无界弦的受迫振动（I）（II）（III）2222200( , ), 0,( , )( )( , )( )ttuuaf x ttxRtxu x txux
56、txt2222200, ( , )( )( , )( )ttuuatxu x txux txt2222200( , ), ( , )0( , )0ttuuaf x ttxu x tux tt+ +原问题原问题叠加原理叠加原理达朗贝尔公式达朗贝尔公式齐次化齐次化原理原理外力作用外力作用等效问题等效问题电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程2.1 2.1 一维波动方程的达朗贝尔解一维波动方程的达朗贝尔解（三）达朗贝尔公式的应用（三）达朗贝尔公式的应用3 3、端点固定半无界弦的自由振动、端点固定半无界弦的自由振动20tt
57、xxua u0( , )( )(0)ttu x txx 0( , )( )(0)tu x txx 0( , )0(0)xu x tt0111( )( )( )222xxCf xxda 0211( )( )( )222xxCfxxda 12()()uf xatfxat(0)x 代入代入初始初始条件条件可得可得O Ox由行波法得方程通解为：由行波法得方程通解为：(0)x 半无界半无界端点固定端点固定( (边界条件边界条件) )电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程2.1 2.1 一维波动方程的达朗贝尔解一维波动方程的达
58、朗贝尔解代入代入边界边界条件条件可得可得（三）达朗贝尔公式的应用（三）达朗贝尔公式的应用12()()0f atfat(0)at xat令12( )()0f xfx21()( )fxf x (0)x (0)x 3 3、端点固定半界弦的自由振动、端点固定半界弦的自由振动( (续续) )即：即：x0 x0时，时，21( )()fxfx 此为根据边界条件推得此为根据边界条件推得的新的限制条件的新的限制条件00211( )( )(0)222( )11()( )(0)222xxxxCxdxafxCxdxa 电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物
59、理方程数学物理方程11 ()()( )22x atx a tuxatxatda 0111()()( )222x a txCf xatxatda 0211()()( )222x atxCfxatxatda （1）x at, 即即 x - at 0（三）达朗贝尔公式的应用（三）达朗贝尔公式的应用3 3、端点固定半界弦的自由振动、端点固定半界弦的自由振动( (续续) )2.1 2.1 一维波动方程的达朗贝尔解一维波动方程的达朗贝尔解与达朗贝尔与达朗贝尔公式相同公式相同电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程0111()()
60、( )222x a txCf xatxatda （2）x at, 即即 x - at 0（三）达朗贝尔公式的应用（三）达朗贝尔公式的应用011()( )222at xxCatxda 22() ()fxatfatx1()f atx 21()( )fxf x 11 ()()( )22x atat xuxatatxda 3 3、端点固定半界弦的自由振动、端点固定半界弦的自由振动( (续续) )2.1 2.1 一维波动方程的达朗贝尔解一维波动方程的达朗贝尔解与达朗贝尔与达朗贝尔公式不同公式不同电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学
61、物理方程另解：用另解：用延拓延拓的方法求解。的方法求解。（三）达朗贝尔公式的应用（三）达朗贝尔公式的应用3 3、端点固定半界弦的自由振动、端点固定半界弦的自由振动( (续续) )所谓延拓，是指根据问题奇偶性，将初始条件函数的定义所谓延拓，是指根据问题奇偶性，将初始条件函数的定义域扩展到域扩展到-,+区间，以利用达朗贝尔公式直接求解。区间，以利用达朗贝尔公式直接求解。由达朗贝尔公式及边界条件：由达朗贝尔公式及边界条件：0( , )0 xu x t110(0, )()()( )22atatutatatda 为相互独立任意函数为相互独立任意函数()()( )()atat 奇函数奇函数2.1 2.1
62、一维波动方程的达朗贝尔解一维波动方程的达朗贝尔解电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程将将 做做奇延拓奇延拓，从半无界区域，从半无界区域扩展扩展到无界区域，到无界区域，（三）达朗贝尔公式的应用（三）达朗贝尔公式的应用3 3、端点固定半无界弦的自由振动、端点固定半无界弦的自由振动( (续续) )( ),( )xx( ),(0)( )(), (0)xxxxx( ),(0)( )(), (0)xxxxx则半无界弦问题变为无界弦自由振动问题则半无界弦问题变为无界弦自由振动问题20()ttxxua ux 0,( , )( )
63、ttu x tx 0( , )( )tu x tx 11()()( )22x atx atuxatxatda由达朗贝尔公式：由达朗贝尔公式：2.1 2.1 一维波动方程的达朗贝尔解一维波动方程的达朗贝尔解电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程（三）达朗贝尔公式的应用（三）达朗贝尔公式的应用4 4、端点自由半无界弦的自由振动、端点自由半无界弦的自由振动20,(0)ttxxua ux 0( , )( )(0)ttu x txx 0( , )( )(0)tu x txx 0( , )0(0)xxux tt半无界半无界端点
64、自由，无外力端点自由，无外力用用延拓延拓的方法求解。由达朗贝尔公式，有的方法求解。由达朗贝尔公式，有0( , )0 xxux t11(0, )()()()()022xutatatatata2.1 2.1 一维波动方程的达朗贝尔解一维波动方程的达朗贝尔解11( , ) ()()( )22x atx atu x txatxatda 电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程（三）达朗贝尔公式的应用（三）达朗贝尔公式的应用4 4、端点自由半无界弦的自由振动、端点自由半无界弦的自由振动( (续续) )11()()()()022
65、atatatata()()0()()0atatatat()()()()atatatat 偶函数偶函数将将 做做偶延拓偶延拓，从半无界区域扩展到无界区域，从半无界区域扩展到无界区域，( ),( )xx( ),(0)( )(), (0)xxxxx( ),(0)( )(), (0)xxxxx2.1 2.1 一维波动方程的达朗贝尔解一维波动方程的达朗贝尔解电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程（三）达朗贝尔公式的应用（三）达朗贝尔公式的应用4 4、端点自由半无界弦的自由振动、端点自由半无界弦的自由振动( (续续) )则半无
66、界弦问题变为无界弦自由振动问题则半无界弦问题变为无界弦自由振动问题20()ttxxua ux 0,( , )( )()ttu x txx 0( , )( )tu x tx 11()()( )22x atx atuxatxatda由达朗贝尔公式：由达朗贝尔公式：11 ()()( )22x atx a txatxatda ()xta00111 ()()( )( )222x ata t xxatatxddaa ()xta2.1 2.1 一维波动方程的达朗贝尔解一维波动方程的达朗贝尔解电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程一维波动方程的初值问题：一维波动方程的初值问题：行波法行波法达朗贝尔公式达朗贝尔公式三维波动方程的初值问题：三维波动方程的初值问题：2.2 2.2 高维波动方程的初值问题（补充）高维波动方程的初值问题（补充）球面平均法球面平均法基尔霍夫公式基尔霍夫公式电子科技大学微波工程系电子科技大学微波工程系电子工程数学方法电子工程数学方法第二部分第二部分 数学物理方程数学物理方程（一）（一） 三维波动方程的球
