数值方法及其在物理学中应用

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1、1 第六章第六章 物理学中非线性方程的求根问题物理学中非线性方程的求根问题 6.1 根的搜索和二分法根的搜索和二分法 6.3 牛顿迭代法牛顿迭代法 6.2 函数迭代法函数迭代法 6.4 非线性方程组的迭代法非线性方程组的迭代法 26.1 根的搜索和二分法根的搜索和二分法n 高于四次的代数方程无精确求根公式。一般的超高于四次的代数方程无精确求根公式。一般的超的解的解 *x0)(xf称为方程的称为方程的0)(xf的的零点零点） 根根（或称函数（或称函数 n 设设 是代数多项式或超越函数，则是代数多项式或超越函数，则 )(xf0)(xf称为称为代数方程代数方程或或超越方程超越方程。 越方程更无法求其

2、精确解，只能求其近似解。越方程更无法求其精确解，只能求其近似解。310)0()50( yy由于曲线最低点和最高点相差由于曲线最低点和最高点相差10m，有，有a这是关于未知数这是关于未知数的非线性方程，用解析的方法的非线性方程，用解析的方法难以难以求解，需数值求解。求解，需数值求解。1050ch aaa即即,chaxay 50 ,50 xa的参数的参数 。例例：在相距：在相距100m的两个塔（高度相等的点）上悬挂一根的两个塔（高度相等的点）上悬挂一根 电缆，允许电缆中间下垂电缆，允许电缆中间下垂10m。要计算两个塔之间。要计算两个塔之间 所用电缆的长度，需确定悬链线方程所用电缆的长度，需确定悬链

3、线方程0-5050yx 50( )ch100f aaaa4例：例：水槽由半圆柱体水平放置而成，如下图所示。圆柱水槽由半圆柱体水平放置而成，如下图所示。圆柱体长体长L，半径，半径r，当给定水槽内盛水的体积，当给定水槽内盛水的体积V后，要求计后，要求计算从水槽边沿到水面的距离算从水槽边沿到水面的距离H。已知已知L=25m，r=2m，求，求V分别为分别为10，50，100m3的的H。5建立直角坐标系如图所示：建立直角坐标系如图所示：可得：可得：x2 + (r-y)2 = r2又因为：又因为：dV = 2xLdy所以：所以：dyyrrLdV22)(2HrdyyrrLV022)(2222arcsin2H

4、rHLrHrLV积分可得：积分可得：上述方程中含有参数上述方程中含有参数r，L均为已知常数，通过上式，均为已知常数，通过上式，当当V=10、50、100时，要求变量时，要求变量H，这显然是一个非线性方程。问，这显然是一个非线性方程。问如何求解？如何求解？Oyxx rHdyy6例例在我方前沿阵地在我方前沿阵地1000米处有一座高为米处有一座高为50米的山丘，米的山丘，山丘上建有敌方一座碉堡，求我方的大炮在什么角度下山丘上建有敌方一座碉堡，求我方的大炮在什么角度下以最小的速度发射炮弹就能摧毁敌军的这座碉堡？以最小的速度发射炮弹就能摧毁敌军的这座碉堡？解：解：由抛体运动的轨道方程可得：由抛体运动的轨

5、道方程可得：2202cos2tanvgxxyyxgxvtancos120整理可得：整理可得：求求v0的极值，只需要计算的极值，只需要计算00ddv并将并将x=1000，y=50代入即可。代入即可。对上述方程求导以后得到的是一超越方程，可用数值方法求解。对上述方程求导以后得到的是一超越方程，可用数值方法求解。7例：例：静电除尘器由半径为静电除尘器由半径为ra=0.84m的金属圆筒（阳极）的金属圆筒（阳极）和半径为和半径为rb的同轴圆细线（阴极）组成。当它们加上一的同轴圆细线（阴极）组成。当它们加上一高电压高电压V=50kv时，圆筒内就产生了一强大电场，圆筒内时，圆筒内就产生了一强大电场，圆筒内的

6、空气被电离，混浊的空气通过这个圆筒时灰尘粒子与的空气被电离，混浊的空气通过这个圆筒时灰尘粒子与离子碰撞而带电，于是在电场的作用下奔向电极，并落离子碰撞而带电，于是在电场的作用下奔向电极，并落下沉积在圆筒底部而被扫出，达到了清洁空气的目的。下沉积在圆筒底部而被扫出，达到了清洁空气的目的。为了在中心轴线处产生为了在中心轴线处产生6.0MV/m的电场强度而击穿空气，的电场强度而击穿空气，试求静电除尘器中心线的粗细。试求静电除尘器中心线的粗细。设静电除尘器中心细线上所带电荷设静电除尘器中心细线上所带电荷线密度为线密度为，则在距中心轴线，则在距中心轴线r位置位置处的电场强度为：处的电场强度为：rE028

7、中心细线与金属圆筒的电势差为：中心细线与金属圆筒的电势差为：ababrrrrbarrdrrEdrVln2200barrrVEln两式联立消去两式联立消去可得：可得：令令r=rb可得在中心线表面处的电场强度可得在中心线表面处的电场强度Eb与其半径与其半径rb的关系：的关系：babbrrrVEln将将V，Eb，ra的值代入上式，可得关于的值代入上式，可得关于rb的一超越方程，可用数值方法求解。的一超越方程，可用数值方法求解。9一、根的搜索一、根的搜索1作图法作图法在在 ,ba内至少有一实根，区间内至少有一实根，区间 ,ba称为称为有根区间有根区间。 2逐步搜索法逐步搜索法适当选择某一区间适当选择某

8、一区间 ,ba，从，从 ax 0出发，按事先选好的出发，按事先选好的步长步长Nabh)( ，逐点计算，逐点计算 khaxk的函数值的函数值 )(kxf，)(kxf与与 )(1kxf的值异号时，则的值异号时，则 ,1kkxx就是方程就是方程 )(kxf的一个的一个有根区间有根区间。对对 , 0)(xf若在若在 上连续，上连续， 0)()(bfaf，则，则 ,ba0)(xf当当10例例1：找出方程：找出方程： 065. 015. 08 . 123xxx的的有根区间有根区间。 0)2( , 0) 1(ff解：设解：设 65. 015. 08 . 1)(23xxxxf取取 , 1a2b 方程在方程在-

9、1, 2内至少有一个实根。内至少有一个实根。 4N取取 ，步长，步长 75. 0)(Nabh，从，从 10 x出发，有：出发，有： 在在-1，-0.25，0.5，1.25，1.25，2内各有一个根，内各有一个根，逐步搜索，逐步搜索，便于计算机实现。便于计算机实现。11定定 理理对对 n次代数方程次代数方程 0)(12211nnnnnaxaxaxaxxf若事先确定实根上、下界，关于上面方程根的绝对值的若事先确定实根上、下界，关于上面方程根的绝对值的(1) 若若 ,max21naaaa，则方程，则方程根的绝对值小于根的绝对值小于 1a(2) 若若 , 1max|)|1 (121nnaaaab，则方

10、程，则方程根的绝对值大于根的绝对值大于 )1 (1b上下界有以下结论：上下界有以下结论：即：即：1|11axb 12例例2：求方程：求方程 065. 015. 08 . 123xxx的的根的模的上下界根的模的上下界。 解：解： 8 . 165. 0 ,15. 0 ,8 . 1maxa 根据定理，根据定理，上界上界为：为： 8 . 21a7692. 265. 08 . 115. 0 ,8 . 1, 1max65. 01b下界下界为：为： 2653. 0)1 (1b8 . 22653. 0 x即即 )8 . 2 ,2653. 0()2653. 0 , 8 . 2(x13二、二分法二、二分法 ,2b

11、ba(2) 若若 0)2(baf，则有根区间为，则有根区间为之间。之间。 取取 ,2)(ba 计算计算 )2(baf。 ,ba中点中点设设 )(xf为连续函数，为连续函数， )(xf的有根区间为的有根区间为 , ,ba0)( , 0)(bfaf(1) 若若 0)2(baf，则，则 2*bax就是方程就是方程 的根。的根。 0)(xf2 ,baa(3) 若若 0)2(baf，则有根区间为，则有根区间为之间。之间。 14所以所以 ,nnba的长度为：的长度为： 以上过程，以上过程，得到一系列有根区间：得到一系列有根区间：将新的有根区间记为将新的有根区间记为 ,11ba，再将，再将二分，重复二分，重