第三章 力矩与平面力偶理论

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1、第三章第三章 力矩与平面力偶理论力矩与平面力偶理论 力矩的概念与计算力矩的概念与计算 力偶及其性质力偶及其性质 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡引例引例：在图示刚体的在图示刚体的A、B、C、D四点，四点，作用四个力。且作用四个力。且F1与F3、F2与F4等值、反向、等值、反向、互相平行，问刚体是否平衡？互相平行，问刚体是否平衡？ABCF1F2F3F4D力 矩 的 概 念 与 计 算一、平面中力矩的概念一、平面中力矩的概念3.1oABdF一）、力对点的矩的定义一）、力对点的矩的定义力使刚体绕力使刚体绕O点转动的强弱点转动的强弱程度的物理量称为力对程度的物理量称为力对O点点的矩。用的矩

2、。用)(Fmo表示，其定表示，其定义式为：义式为：FdFmo)(其中：点其中：点O称为称为矩心矩心，d称为称为力臂力臂。力矩的正负号表。力矩的正负号表示力矩的转向，规定力使物体绕矩心逆时针转动取示力矩的转向，规定力使物体绕矩心逆时针转动取正，反之取负。力矩的单位为：牛顿正，反之取负。力矩的单位为：牛顿米（米（N m）。）。由图可知：由图可知：OABFmo)(的面积的面积 研究力对刚体的转动效应研究力对刚体的转动效应AOFabcAOFabcAOFabcAOFabcAOFabcMo（F）=？MO（F1）=2Oab的面积=221（OaOA）MO（F2）=2Oad的面积=221（OaOB）MO（R）=

3、2Oac的面积=221（OaOC）ORab1Fc2FABCd故 )()(iOOMMFR3.1力 矩 的 概 念 与 计 算一、平面中力矩的概念一、平面中力矩的概念二）、平面汇交力系的合力矩定理二）、平面汇交力系的合力矩定理定理：定理：平面汇交力系的合力对平面内任意平面汇交力系的合力对平面内任意一点的矩等于各个分力对同一点之矩的代一点的矩等于各个分力对同一点之矩的代数和。即数和。即)()(iooFmRmoxxyyFXAY 利用合力矩定理，可以利用合力矩定理，可以写出力对坐标原点的矩的解写出力对坐标原点的矩的解析表达式，即析表达式，即yXxYXmYmFmooo)()()(3.1力 矩 的 概 念

4、与 计 算例例1 支架如图所示，已知F=100N, AB=AC=30cm,CD=15cm, 30求 对A、B、C三点之矩。FFABCDAdCd解：由定义mNCDFFdFmmNADFFdFmCCAA5730sin)(52230sin)(由合力矩定理mNADFABFADFABFFmyxB48.4830sin30cos)(试求图示结构中力试求图示结构中力F对对A点点之矩。之矩。解：（解：（1）应用定义（图）应用定义（图a） MO（F）= （2）应用力的可传性及）应用力的可传性及合力矩定理（图合力矩定理（图b）根据力的可传性将力根据力的可传性将力F传到传到B点，再将力点，再将力F分解分解为水平力为水平

5、力Fx和铅垂力和铅垂力Fy，而分解为水平力而分解为水平力Fx的作的作用线通过用线通过A点，力矩为点，力矩为零。故零。故FllF707. 045sinFllFFMO707. 045sin)(ABlrFhaABlrFFxFy3.1力 矩 的 概 念 与 计 算例2OxyFA1r2rBd如图所示，求F对A点的矩。解一：应用合力矩定理)cos()cos(sincossinsin)cos(cos)()()(212212112rrFFrFrrFrrFFmFmFmyAxAA解二：由定义cos1rOB cos12rrAB12coscosrrABd)cos()(21rrFFdFmAdFFoxmo（F）+ mo（

6、F）=Fx- F(x+d)=- Fd与矩心无关两同向平行力合成,两反向不等的平行力的合成3.2力 偶 及 其 性 质一、力偶的概念一、力偶的概念dFF 在力学中，把等值、在力学中，把等值、反向、平行而不共线的反向、平行而不共线的两个具有特殊关系的力两个具有特殊关系的力作为一个整体，称为作为一个整体，称为力力偶偶。以。以 表示。表示。),(FF两力作用线所决定的平面称为两力作用线所决定的平面称为力偶的作用面力偶的作用面，两力作用线间的距离称为两力作用线间的距离称为力偶臂力偶臂。 力偶是具有特殊关系的力组成的力系，力偶是具有特殊关系的力组成的力系，虽然力偶中每个力仍具有一般的力的性质，虽然力偶中每

7、个力仍具有一般的力的性质，但作为一个整体又有它本身的特性，现归但作为一个整体又有它本身的特性，现归纳如下：纳如下：3.2力 偶 及 其 性 质二、力偶的性质二、力偶的性质 1、力偶既没有合力，本身又不平衡，是、力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本的力学量。一个基本的力学量。 力偶既然是一个无合力的非平衡力系。因此：力偶既然是一个无合力的非平衡力系。因此：力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡。力偶只能与力偶平衡力偶只能与力偶平衡。 力偶对刚体的作用效果不仅与力偶中两力的力偶对刚体的作用效果不仅与力偶中两力的大小有关，而且与力偶臂有关，将力偶中力的大

8、大小有关，而且与力偶臂有关，将力偶中力的大小和力偶臂的乘积冠以适当的正负号称为小和力偶臂的乘积冠以适当的正负号称为力偶矩力偶矩，用用m表示，即表示，即Fdm正负号表示力偶的转向。规定正负号表示力偶的转向。规定逆时针取正逆时针取正；顺时顺时针取负针取负。单位同力矩的单位。单位同力矩的单位。3.2力 偶 及 其 性 质二、力偶的性质二、力偶的性质 2、只要保持力偶矩不变，可以同时改变、只要保持力偶矩不变，可以同时改变力的大小和相应的力偶臂的大小，同时力偶力的大小和相应的力偶臂的大小，同时力偶可在其作用面内任意移转，而不改变其对刚可在其作用面内任意移转，而不改变其对刚体的作用。体的作用。此性质是力偶

9、系合成的基础。此性质是力偶系合成的基础。 由此可见，两力偶的等效条件是力偶矩由此可见，两力偶的等效条件是力偶矩相等。相等。 在平面问题中，决定力偶作用效果的因在平面问题中，决定力偶作用效果的因素为：矩的大小和转向。所以力偶矩是代数素为：矩的大小和转向。所以力偶矩是代数量。量。 力偶可表示为：力偶可表示为：mm3.2力 偶 及 其 性 质一、力偶的性质一、力偶的性质 3、力偶在作用面内任一轴上的投、力偶在作用面内任一轴上的投影均为零影均为零。 4、力偶对其作用面内任一点之矩、力偶对其作用面内任一点之矩与矩心的位置无关，恒等于力偶矩与矩心的位置无关，恒等于力偶矩。mm=p*r 图示平衡机构是否为力

10、与力偶平衡?pr3.3平面力偶系的合成与平衡一、平面力偶系的合成一、平面力偶系的合成作用面共面的力偶系称为作用面共面的力偶系称为平面力偶系平面力偶系。1m2m3mAB1F1F2F2F3F3FddRRABdFm11dFm33dFm22321FFFR)(321FFFR321321)(mmmdFFFRdM推广得：推广得：mmmmMn 21结论：结论：平面力偶系合成的结果还是一个力偶（称平面力偶系合成的结果还是一个力偶（称为合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩为合力偶），合力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代数和。的代数和。3.3平面力偶系的合成与平衡一、平面力偶系的平衡一、平面力偶系的平衡dRRAB

11、 平面力偶系总可以简化为图平面力偶系总可以简化为图示情形。若示情形。若R=0，则力偶系平衡，则力偶系平衡，而力偶矩等于零。反之，若已知而力偶矩等于零。反之，若已知合力偶矩等于零，则或是合力偶矩等于零，则或是R=0或或是是d=0，无论哪种情况，该力偶系，无论哪种情况，该力偶系均平衡。因此可得结论：均平衡。因此可得结论： 平面力偶系平衡的必要与充分条件是：力偶系平面力偶系平衡的必要与充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零。中各力偶矩的代数和等于零。即：即：0m上式称为上式称为平面力偶系的平衡方程平面力偶系的平衡方程。3.3平面力偶系的合成与平衡例例3 图示矩形板，边长分别为a、2a，各受大小相

12、等、方向相反的力偶作用，试画出整体和两板的受力图。MABMCMCARCRMMABCARBRBRMCR3.3平面力偶系的合成与平衡例例4AB1m2m3mARBR 求图示简支梁的支座反力。AB1m2m3ml解：以梁为研究对象，受力如图。0:0321mmmlRmA解之得：BARlmmmR3213.3平面力偶系的合成与平衡例例5BAC1m2mDE45EB1mAARERC2mDECRER 如图杆AB上有一导槽，套在杆CD上的销子E上，在两杆上各有一力偶作用。若杆重和摩擦不计，已 知 求机构平衡时 应为多大。mNm100012m解：先取AB，受力如图。0:01mAERmE再以CD为研究对象，受力如图。0:

13、02AERmmE于是得：mNmm1000123.3平面力偶系的合成与平衡例例6 系统如图，AB杆上作用矩为M的力偶，设AC=2R，R为轮C的半径，各物体的重量及摩擦不计。求绳子的拉力和铰A对AB杆的约束反力及地面对轮C的反力。MBADDNAN 解：先以AB杆为研究对象，受力如图。0:0ADNMmA由几何关系：RRRAD3)2(22DANRMRMADMN333所以：AMBCED3.3平面力偶系的合成与平衡例例6 再以轮C为研究对象，受力如图，建立如图坐标。CDNENTxy0coscos:0TNXD0sinsin:0TNNYD21sinsin,23coscos其中：解之得：RMNNTED33AMB

14、CDENAR讨论：本题亦可以整体为研究对象求出：RMNREA33例：图示构件由直角折杆ACE、BCD及直杆DE铰接而成，不计各构件自重，矩为M的力偶作用如图，求；A、B、C、D、E处的约束反力。aaaaABCDEM解：先取整体，再取DE本题的关键是分析直角折杆DCB的受力来确定铰D的反力方向。3.3平面力偶系的合成与平衡思考题思考题ABCEFm 1、如图所示杆件结构中，EF/AB，AE=EC， lBClACACB4,3,90EF杆E端与AC铰接，F端光滑搁置在BC上，杆重不计，求A、B处的反力。 2、如图所示杆件结构中，杆重不计，求A、B处的反力。ABamC3、试用最简单的方法定出图（一、1）中A处约束反力。（画在图上，不能用分力表示） 15.6动力学普遍定理综合应用