第7章数学基础

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1、 内蒙古工业大学电力学院自动化系第7章 数学基础：多项式矩阵理论 线性系统理论自动化系第二部分 线性系统的复频率域理论 内蒙古工业大学电力学院自动化系第7章 数学基础：多项式矩阵理论 课程基本要求最好不要缺课！请同学独立完成作业，不要抄习题解！每周上课前交作业。 开卷考试。 内蒙古工业大学电力学院自动化系第7章 数学基础：多项式矩阵理论 绪论一、课程简介一、课程简介1、48学时，学位基础课。2、作业，训练相关概念和方法的实际和熟练运用。证明类，训练和提高学生逻辑推理能力和熟练运用。二、线性系统二、线性系统 系统定义为是由相互关联和相互制约的若干“部分”所组成的具有特定功能的一个“整体”。 线性

2、系统的基本特征是其模型方程具有线性属性，即满足叠加原理。1 1221122()( )()L cuc uc L uc L u 内蒙古工业大学电力学院自动化系第7章 数学基础：多项式矩阵理论 绪论1、严格性 基于叠加原理才是严格的，基于物理元件组成的系统，则为充分非必要，容易找出包含非线性物理元件的系统为线性系统。2、对叠加原理的限制为有限项，不能推广为无穷项3、导致研究上的简便性 采用比较成熟简便的数学工具，如傅氏变换，拉氏变换，线性代数4、现实性一切系统均为非线性，但大多数可认为是线性 内蒙古工业大学电力学院自动化系第7章 数学基础：多项式矩阵理论 绪论三、系统模型 建模的目的：在于深入和定量

3、地揭示系统行为的规律性或因果关系性。 建模的实质：对系统动态过程即各个变量和参量间的关系按照研究需要的角度进行描述。1、系统模型的作用 仿真需要；预测或预报实际系统的某些状态的发展态势；对系统综合或设计控制器的需要。2、多样性 有的采用语言、图表或计算机程序描述，有的采用逻辑关系或数学方程描述。 内蒙古工业大学电力学院自动化系第7章 数学基础：多项式矩阵理论 绪论3、建模途径机理建模 系统辨识4、表征系统动态过程的数学描述有两类基本形式 一类为内部描述，即成为“白箱描述”，建立在系统内部机理为已知的前提上，由两部分组成：状态方程+输出方程。 一类为外部描述，称为“黑箱描述”，反映输入变量组对输

4、出变量组间的动态影响关系。 内蒙古工业大学电力学院自动化系第7章 数学基础：多项式矩阵理论 第7章 数学基础：多项式矩阵理论 经典控制理论中，频率法研究对象为单输入单输出线性系统，系统描述为传递函数和频率响应，研究领域涉及系统性能的分析和综合。 线性系统的复频率域理论，是以传递函数矩阵作为系统描述，在复频率域内分析和综合线性时不变系统的一种理论和方法，既可适用于单变量系统，又适用于多变量系统；即可提供系统性能分析，又可揭示系统结构特性，还可用于系统补偿器综合。 内蒙古工业大学电力学院自动化系第7章 数学基础：多项式矩阵理论 本章主要内容 多项式 多项式矩阵及其属性7-1 多项式矩阵7-2 奇异

5、和非奇异7-3 线性相关和线性无关7-4 秩7-5 单模矩阵7-7 埃尔米特形7-6 初等变换 内蒙古工业大学电力学院自动化系第7章 数学基础：多项式矩阵理论 本章主要内容7-8 公因子和最大公因子7-9 互质性7-10 列次数和行次数 公因子和最大公因子的定义 最大公因子的构造定理 最大公因子的性质 右互质和左互质 互质性的常用判据 列次数和行次数的定义 列次表达式和行次表达式 内蒙古工业大学电力学院自动化系第7章 数学基础：多项式矩阵理论 7-12 史密斯形7-11 既约性本章主要内容 列既约性和行既约性 既约性判据 史密斯形的特性 史密斯形的形式 内蒙古工业大学电力学院自动化系第7章 数

6、学基础：多项式矩阵理论 一、多项式7-1 多项式矩阵1.定义1110( )mmmmd sd sdsd sds复数域di实数域m非负整数2.性质（1）多项式的次数d(s)的次数=degd(s)=d(s)系数非零项 的s最高次幂iid sdm为首系数（2）首1多项式首系数为1的多项式1110( )mmmd ssdsd sd 内蒙古工业大学电力学院自动化系第7章 数学基础：多项式矩阵理论 7-1 多项式矩阵（3）多项式的属性多项式的集合不构成域，有理分式的集合可构成域。二、多项式矩阵及其属性1.定义 以多项式为元组成的矩阵)()()()()()()()()()(Q2121222111211sqsqs

7、qsqsqsqsqsqsqsmnmmn 内蒙古工业大学电力学院自动化系第7章 数学基础：多项式矩阵理论 （1）实数矩阵为多项式矩阵的特殊。（2）实数矩阵的运算规则可扩展用于多项式矩阵。（3）方多项式矩阵的行列式。例：12143)(2sssssQ2)(detsQ7-1 多项式矩阵2.属性 内蒙古工业大学电力学院自动化系第7章 数学基础：多项式矩阵理论 7.2 奇异和非奇异奇异性和非奇异性是方多项式矩阵的一个基本属性。1、定义如果方多项式矩阵Q(s)的行列式为零元，即 称Q(s)为奇异。如果 ，则Q(s)为非奇异。0)(detsQ0)(detsQ例：12143)(2sssssQ02)(detsQQ

8、(s)为非奇异。652331)(22sssssssQQ(s)为奇异。det( )0Q s 内蒙古工业大学电力学院自动化系第7章 数学基础：多项式矩阵理论 det( )0Q s2、结论（1）直观说明Q(s)奇异 det( )0Q sQ(s)非奇异复数域所有 s复数域有限几个 s7.2 奇异和非奇异（2）多项式矩阵的逆（3）多项式矩阵逆的计算)(det)()(sQsadjQsQ 当且仅当Q(s)非奇异，存在多项式矩阵R(s)，使R(s)Q(s)=Q(s)R(s)=I成立，且有)()(1sRsQ 内蒙古工业大学电力学院自动化系第7章 数学基础：多项式矩阵理论 )()()(21sqsqsqm给定m个n

9、维列或行多项式向量1、定义7.3 线性相关和线性无关属于有理分式域当且仅当存在一组不全为零的多项式)()()(21sssm使0)()()()()()(2211sqssqssqsmm成立，称多项式向量组 为线性相关。)()()(21sqsqsqm当且仅当不存在一组不全为零的多项式使上式成立，称多项式向量组 为线性无关。)()()(21sqsqsqm 内蒙古工业大学电力学院自动化系第7章 数学基础：多项式矩阵理论 7.3 线性相关和线性无关例：12)(1sssq123)(222ssssq取1)(1 ss1)(2s和有0)()()()(2211sqssqsq1(s)和q1(s)为线性相关。2、奇异性

10、/非奇异性和线性无关性/线性相关性表Q(s)为方阵Q(s)奇异 Q(s)非奇异 Q(s)行/列多项式向量为线性相关Q(s)行/列多项式向量为线性无关例：12312)()()(2221ssssssqsqsQ0)(detsQQ(s)奇异q1(s)和q2(s)为线性相关 内蒙古工业大学电力学院自动化系第7章 数学基础：多项式矩阵理论 1、定义给定 多项式矩阵nm)()()()()()()()()()(Q2121222111211sqsqsqsqsqsqsqsqsqsmnmmnnmrsrankQ,min)( 至少存在一个r阶子式不恒为零，而大于r阶子式的行列式恒为零。7.4 秩例：010020111)

11、(ssssQ2)(srankQ 内蒙古工业大学电力学院自动化系第7章 数学基础：多项式矩阵理论 2、推论（1）秩和线性相关/无关性对任意m维多项式向量组mn 有)()()(21sqsqsqn)()()(21sqsqsqn线性相关12n q (s)q (s)q (s)rankn)()()(21sqsqsqn线性无关12n q (s)q (s)q (s)rankn（2）秩和奇异性/非奇异性对方阵Q(s)7.4 秩 ( )rankQ snQ(s)奇异 ( ) rankQ snQ(s)非奇异 内蒙古工业大学电力学院自动化系第7章 数学基础：多项式矩阵理论 （3）多项式矩阵在线性非奇异变换下的秩 对任意