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1、第第6章章 系统的稳定性系统的稳定性61系统稳定的条件系统稳定的条件一一. 稳定的概念和定义稳定的概念和定义稳定性稳定性：是指系统在使它偏离平衡状态的扰动消除：是指系统在使它偏离平衡状态的扰动消除 之后，系统能够以足够的精度逐渐恢复到之后，系统能够以足够的精度逐渐恢复到 原来的状态，则系统是稳定的，或具有稳原来的状态，则系统是稳定的，或具有稳 定性。定性。稳定性是系统去掉扰动之后，自身的一种恢复能力，稳定性是系统去掉扰动之后，自身的一种恢复能力，是系统的一种是系统的一种固有属性固有属性。系统稳定的系统稳定的充分必要条件充分必要条件： 系统的特征方程根必须全部具有负实部系统的特征方程根必须全部具
2、有负实部或者：或者：系统传递函数 的极点全部位于极点全部位于 复平面的左半部复平面的左半部。 1212()()()1()()()omminnXsG sbszszszsXsG s H sasss G s H s oXs iX s oiXsXs s二二. 系统稳定性的条件系统稳定性的条件系统的传递函数系统的传递函数系统的脉冲响应为系统的脉冲响应为 脉冲响应的拉氏变换脉冲响应的拉氏变换101()()( )( )()()mmnnbszszXssass 120112( )nniiniAAAAXssssstniiieAtk1)(0lim)(lim1nitittieAtk0limtitieA根据稳定性定义根
3、据稳定性定义应有应有 应用第一种类型方法有二：应用第一种类型方法有二： 1）直接对系统特征方程求解）直接对系统特征方程求解 2）根轨迹）根轨迹应用第二种类型方法：应用第二种类型方法： 1）劳斯劳斯胡尔维茨稳定性判据胡尔维茨稳定性判据 2）奈奎斯特判据）奈奎斯特判据确定系统稳定性的方法有两种类型：确定系统稳定性的方法有两种类型：1. 直接计算或间接得知系统特征方程式的根直接计算或间接得知系统特征方程式的根2. 保证特征方程式的根具有负实部的系统参数区域保证特征方程式的根具有负实部的系统参数区域 62 劳斯劳斯胡尔维茨稳定性判据胡尔维茨稳定性判据一. 胡尔维茨稳定判据胡尔维茨稳定判据系统的特征方程
4、可写成：系统的特征方程可写成： 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件：1）特征方程式的各项系数全部为正值，即）特征方程式的各项系数全部为正值，即ai0（i= 0，1，2，n）2）由各项系数组成的胡尔维茨由各项系数组成的胡尔维茨n阶行列式中各阶子行列式阶行列式中各阶子行列式 都大于零。都大于零。 111010nnnnG s H sa sasa sa12,n 021213142531.00.0.00.00.0.aaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnn1. 主对角线写出主对角线写出a0，an-12. 主对角线以上诸行中填充下主对角线以上诸行中填充下 标号逐次减小的系数。标号逐次减小的系数。3
5、. 主对角线以下填充下标号逐主对角线以下填充下标号逐 次增加的系数。次增加的系数。4. 小于小于a0 大于大于an用用0填充。填充。例例1 系统的特征方程为：系统的特征方程为：试用胡尔维茨判据判别系统的稳定性。试用胡尔维茨判据判别系统的稳定性。解：解： 由特征方程知各项系数为：由特征方程知各项系数为： 均为正值，满足判据的必要条件均为正值，满足判据的必要条件ai0， 检验第二个条件，检验第二个条件，432235100ssss432102,1,3,5,10aaaaa131 0a 3123241421 3250aaa aa aaa 由于 ，不满足胡尔维茨行列式全部为正的条件，系统不稳定， 可不必再
6、计算。2100,0,0aaa321021300,0,0,0,0aaaaa aa a20 3,4特征方程阶次低（特征方程阶次低（n 4）时，条件如下：时，条件如下：（1）n=2:（2）n=3:（3）n4：2232130420,0iaa a aa aa a1高阶的系统，可采用劳斯判据判别系统的稳定性。步骤如下高阶的系统，可采用劳斯判据判别系统的稳定性。步骤如下：(1)列出系统的特征方程列出系统的特征方程： 其中其中 ，各项系数均为实数。（必要条件），各项系数均为实数。（必要条件）(2)按系统的特征方程式列写劳斯表按系统的特征方程式列写劳斯表32132153142021cccbbbaaaaaasss
7、ssnnnnnnnnn11100nnnnasa sas a0ia 二二. 劳斯判据劳斯判据(3)若第一列各数为正数，系统稳定；若第一列各数为正数，系统稳定； 若第一列各数有负数，系统不稳定若第一列各数有负数，系统不稳定，第一列中数值符号变化的次数即等，第一列中数值符号变化的次数即等于系统特征方程含有正实部根的数目。于系统特征方程含有正实部根的数目。(4)若劳斯表中某一行第一列为若劳斯表中某一行第一列为0，其余不全为，其余不全为0，这时可用一个很小的正数，这时可用一个很小的正数来代替这个来代替这个0。31511221311151412312111111bbaabcbbaabcaaaaabaaaa
8、abnnnnnnnnnnnnnn直至为零行列式的第一列是上两行中第一列的两个数，行列式的第一列是上两行中第一列的两个数，第二列是被算数右上肩的两个数，分母是上一第二列是被算数右上肩的两个数，分母是上一行中左起第一个数行中左起第一个数1321312111nnnnnnnnnnaaaaaaaaaab1541514121nnnnnnnnnnaaaaaaaaaab1761716131nnnnnnnnnnaaaaaaaaaab直至其余直至其余 全为全为0 0。 112312131111bababbbaabcnnnn113513151121bababbbaabcnnnn114714171131bababbb
9、aabcnnnn直至其余直至其余全为全为0 0。 ic劳斯表构成：劳斯表构成： 例例6-3 单位负反馈系统的开环传递函数为单位负反馈系统的开环传递函数为试确定系统稳定时值的范围，并确定当系统所有特征根都位于平行试确定系统稳定时值的范围，并确定当系统所有特征根都位于平行s平面虚轴线平面虚轴线s=-1的左侧的左侧时的值范围。时的值范围。) 125. 0)(11 . 0()(sssKsG（1）（2）用一个很用一个很小的正数小的正数代替代替，然后继续列劳斯表。然后继续列劳斯表。 例例6-46-4 已知系统的特征方程为已知系统的特征方程为 0133)(234sssssD用劳斯稳定判据判别系统稳定性。用劳
10、斯稳定判据判别系统稳定性。 劳斯表第一列数符号变化劳斯表第一列数符号变化2 2次，所以系统是不稳定的，有次，所以系统是不稳定的，有2 2个特征根在右半个特征根在右半S S平面。平面。 特殊情况特殊情况（1 1）：劳斯表中某一行的第一列数为）：劳斯表中某一行的第一列数为0 0，其余不为，其余不为0 0。解决办法：解决办法： 0用上一行的数构成用上一行的数构成辅助多项式辅助多项式，将辅助多项式对变量，将辅助多项式对变量s s求导，求导，得到一个新的多项式。然后用这个新多项式的系数代替全为得到一个新的多项式。然后用这个新多项式的系数代替全为0 0一行的数，继续列劳斯表。一行的数，继续列劳斯表。特殊情
11、况特殊情况（2 2）：劳）：劳斯斯表中某一行的数全为表中某一行的数全为0 0 解决办法：解决办法： 例例5例例 已知系统的特征方程为已知系统的特征方程为 044732)(23456sssssssD用劳斯稳定判据判别系统稳定性。用劳斯稳定判据判别系统稳定性。 因劳斯表第一列数符号变化因劳斯表第一列数符号变化1 1次，故系统是不稳定的，有次，故系统是不稳定的，有1 1个特征根在右半个特征根在右半S S平面。平面。求解辅助方程求解辅助方程 043)(24sssF可得系统对称于原点的特征根为可得系统对称于原点的特征根为 22, 1sjs4 , 3例例 图示系统中，图示系统中， sK1)(sR)(sC)
12、2(2nnss)(sE0确定系统稳定的参数确定系统稳定的参数 的取值范围。的取值范围。 解解 系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为)2()1 ()(21nnsssKsG特征方程为特征方程为02)(21223nnnKssssD劳斯表构成如下：劳斯表构成如下： 由劳斯稳定判据，系统稳定的充分必要条件为由劳斯稳定判据，系统稳定的充分必要条件为1K0212nnK021nKnK201 奈奎斯特稳定性判据奈奎斯特稳定性判据是是使用频率特性来判断系统稳定性使用频率特性来判断系统稳定性的方法。的方法。 利用系统的开环奈氏曲线，判断闭环系统稳定性的一个判利用系统的开环奈氏曲线，判断闭环系统稳定性的一个判别准
13、则别准则，简称奈氏判据简称奈氏判据。它是判别稳定性的图解法，是一种。它是判别稳定性的图解法，是一种几何判据。几何判据。 奈氏判据不仅能判断闭环系统的绝对稳定性，而且还能奈氏判据不仅能判断闭环系统的绝对稳定性，而且还能够指出闭环系统的相对稳定性，并可进一步提出改善闭环系够指出闭环系统的相对稳定性，并可进一步提出改善闭环系统动态响应的方法，对于不稳定的系统，奈氏判据还能像劳统动态响应的方法，对于不稳定的系统，奈氏判据还能像劳斯判据一样，确切的回答出系统有多少个不稳定的根斯判据一样，确切的回答出系统有多少个不稳定的根( (闭环极闭环极点点) )。因此，奈氏稳定性判据在经典控制理论中占有十分重要。因此
14、，奈氏稳定性判据在经典控制理论中占有十分重要的地位，在控制工程中得到了广泛的应用。的地位，在控制工程中得到了广泛的应用。 6-3 6-3 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据 mm 1mm 10nn 1nn 10mm 1mm 1012n12n12nb sbsbF(s)1 G(s)H(s)1a sasab sbsb(s)(s)(s)1(sp )(sp )(sp )(sp )(sp )(sp ) )()(jGjH)()(1sGsH设一辅助函数，设一辅助函数，奈奎斯特稳定判据正是将开环频率特性奈奎斯特稳定判据正是将开环频率特性 与与 在右半在右半s s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。平面内的零点数
15、和极点数联系起来的判据。一、奈氏稳定判据一、奈氏稳定判据要使系统稳定，闭环极点要全部位于复平面的左半部。特征函数要使系统稳定，闭环极点要全部位于复平面的左半部。特征函数F(sF(s) )的全部零点都必须位于的全部零点都必须位于s s平面的左半部分平面的左半部分 这种方法无须求出闭环极点，由解析的方法和实验的方法得这种方法无须求出闭环极点，由解析的方法和实验的方法得到开环频率特性曲线，均可用来进行稳定性分析。到开环频率特性曲线，均可用来进行稳定性分析。可看出，可看出，F(sF(s) )的极点即开环传递函数的极点，的极点即开环传递函数的极点，而而F(sF(s) )的零点即的零点即闭环传递函数的极点
16、闭环传递函数的极点。奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据 闭环系统位于闭环系统位于S平面的右半平面的极点个数为：平面的右半平面的极点个数为：Z=P-2NZ: 闭环系统位于闭环系统位于S平面的右半平面的极点个数；平面的右半平面的极点个数；P: 开环传递函数开环传递函数G(s)H(s)位于位于S平面的右半平面平面的右半平面的极点个数；的极点个数；N: 当当w由由0 +时，时，系统开环幅相曲线包围系统开环幅相曲线包围（-1, j0）点的圈数，点的圈数，逆时针包围为正，顺时针包围为负。逆时针包围为正，顺时针包围为负。 G(s)H(s)R(s)C(s)为计算圈数方便，可通过开环幅相曲线在为计算圈数方便，可通
17、过开环幅相曲线在（ -1, j0 ）左侧穿越左侧穿越的次数来获取的次数来获取N ：负穿越负穿越(N-)：开环幅相曲线顺时针穿越开环幅相曲线顺时针穿越(-1, j0)左侧的负实轴，记一次负穿越；左侧的负实轴，记一次负穿越； 正穿越正穿越(N+)：开环幅相曲线逆时针穿越开环幅相曲线逆时针穿越(-1, j0)左侧的负实轴，记一次正穿越；左侧的负实轴，记一次正穿越； N=N+-N-半次穿越半次穿越: 开环幅相曲线开环幅相曲线起始或终止于（起始或终止于（ -1, j0 ）左侧的负实轴左侧的负实轴二、奈奎斯特稳定性判据应用二、奈奎斯特稳定性判据应用 一般步骤：一般步骤：(1)(1)绘制开环频率特性绘制开环
18、频率特性G(j)H(jG(j)H(j) )的奈氏图的奈氏图，作图时可先绘，作图时可先绘出对应于出对应于从从0+0+的的段曲线，然后以实轴为对称轴，画出段曲线，然后以实轴为对称轴，画出对应于对应于-0-0的另外一半。的另外一半。(2)(2) 计算奈氏曲线计算奈氏曲线G(j)H(jG(j)H(j) )对点对点(-1(-1，j0)j0)的包围次数的包围次数N N。为此可从为此可从(-l(-l，j0)j0)点向奈氏曲线点向奈氏曲线G(j)H(jG(j)H(j) )上的点作一矢量，上的点作一矢量，计算这个矢量当计算这个矢量当从从-0+-0+时转过的净角度，按每转过时转过的净角度，按每转过360360为一
19、次的方法计算为一次的方法计算N N值。值。(3)(3)由给定的开环传递函数由给定的开环传递函数G(s)H(sG(s)H(s) )确定位于确定位于s s平面右半部分平面右半部分的开环极点数的开环极点数P P。(4)(4)应用奈奎斯特判据应用奈奎斯特判据判别闭环系统的稳定性判别闭环系统的稳定性。1.1.开环传递函数中没有开环传递函数中没有S S0 0的极点的极点当开环传递函数当开环传递函数G(s)H(sG(s)H(s) )在在s s平面的原点及虚轴上没有极点时，平面的原点及虚轴上没有极点时，(1)(1)当开环系统稳定时，表示开环系统传递函数当开环系统稳定时，表示开环系统传递函数G(s)H(sG(s
20、)H(s) )没有极没有极点位于右半点位于右半s s平面，如果相应于平面，如果相应于从从-+-+变化时的奈氏曲线变化时的奈氏曲线G(j)H(jG(j)H(j) )不包围不包围(-1(-1，j0)j0)点，闭环系统是稳定的，否则就点，闭环系统是稳定的，否则就是不稳定的。是不稳定的。(2)(2)当开环系统不稳定时，说明系统的开环传递函数当开环系统不稳定时，说明系统的开环传递函数G(s)H(sG(s)H(s) )有有一个或一个以上的极点位于一个或一个以上的极点位于s s平面的右半部分，如果相应于平面的右半部分，如果相应于从从-+-+变化时的奈氏曲线变化时的奈氏曲线G(j)H(jG(j)H(j) )逆
21、时针包围逆时针包围(-1(-1，j0)j0)点的次数点的次数N N，等于开环传递函数，等于开环传递函数G(s)H(sG(s)H(s) )位于右半位于右半s s平面上的极平面上的极点数点数P P，闭环系统是稳定的，否则，闭环系统是稳定的，否则( (即即NP)NP)，闭环系统就是不稳，闭环系统就是不稳定的。定的。 如果如果奈奎斯特曲线正好通过奈奎斯特曲线正好通过(-1(-1，j0)j0)点点，表明特征函数，表明特征函数F(sF(s) )1+G(s)H(s)1+G(s)H(s)在在s s平面的虚轴上有零点，也即平面的虚轴上有零点，也即闭环系统有极点在闭环系统有极点在s s平面的虚轴上，则闭环系统处于
22、稳定的边界，这种情况一般也平面的虚轴上，则闭环系统处于稳定的边界，这种情况一般也认为是不稳定的。认为是不稳定的。 若包含若包含 n n 个惯性环节，则有个惯性环节，则有,()090oGjn ) 1)(1()(21sTsTKsG系统的开环传递函数系统的开环传递函数 绘制开环奈氏图并判稳定性。绘制开环奈氏图并判稳定性。 0KP) 0(2n3n4n 开环传函不含积分环节开环传函不含积分环节含有两个惯性环节，当含有两个惯性环节，当ojG1800)(P=0 N=0 Z=P-2N=0 因此闭环系统稳定因此闭环系统稳定例例6-6例例 已知单位反馈系统的开环传递函数为已知单位反馈系统的开环传递函数为用奈氏判据
23、确定使该闭环系统稳定的值范围。用奈氏判据确定使该闭环系统稳定的值范围。 当当时，时，180o时，即奈氏曲线与负实时，即奈氏曲线与负实轴相交于点轴相交于点(K，j0)和惯性环节一样，其奈氏图是一个圆和惯性环节一样，其奈氏图是一个圆.P=1若若K1时时 N=1/2, Z=P-2N=0, 系统稳定。系统稳定。 若若K1时时 N=0, Z=P-2N=1， 系统不稳定。系统不稳定。若若K=1时时 系统临界稳定系统临界稳定开环传递函数中含有积分环节，需对开环幅相曲线作辅助曲线开环传递函数中含有积分环节，需对开环幅相曲线作辅助曲线。 辅助曲线作法：辅助曲线作法：从奈氏曲线的起始端从奈氏曲线的起始端(w=0+
24、)(w=0+)处，逆时针补画处，逆时针补画 9090o o、半径为无穷大的圆与实轴相交。、半径为无穷大的圆与实轴相交。其中其中为开环传递函数为开环传递函数中含有积分环节的个数。在确定奈氏曲线包围中含有积分环节的个数。在确定奈氏曲线包围(-1(-1，j0)j0)点的次点的次数与方向时，应将所做辅助线数与方向时，应将所做辅助线( (虚线表示虚线表示) )与实际线连续起来看，与实际线连续起来看，整个曲线的旋转方向仍按整个曲线的旋转方向仍按增大的方向。应用奈氏判据。增大的方向。应用奈氏判据。 对于最小相位系统，其辅助线的起始点始终在无穷远的正对于最小相位系统，其辅助线的起始点始终在无穷远的正实轴上。对
25、于非最小相位系统，辅助线的起始点则由其含有的实轴上。对于非最小相位系统，辅助线的起始点则由其含有的不稳定环节的个数决定。偶数个时，起于正实轴，奇数个时起不稳定环节的个数决定。偶数个时，起于正实轴，奇数个时起于负实轴。于负实轴。 2 2开环传递函数中有开环传递函数中有S S0 0的极点的极点3123123222222123212233 1222222123()()(1)(1)(1)1()(1)(1)(1)( )( )KTTTTT TG jTTTKTTT TT TjTTTUjVoojGjG3600)(,90)0(起点与终点：起点与终点： 0幅相曲线的渐近线是横坐标为幅相曲线的渐近线是横坐标为Vx平
26、行与虚轴的直线平行与虚轴的直线 0123(0 )()xUVK TTT 124( )(1)(1)(1)KG ss TsT sT s 开环传函含积分环节开环传函含积分环节对开环幅相曲线作修正：对开环幅相曲线作修正：从从w=0+处，逆时针补画处，逆时针补画v90o、半径为半径为 无穷大的圆弧。无穷大的圆弧。0ImjRe0 xVx1A与负实轴交点与负实轴交点A：虚部虚部 V(x)=0，x代入代入实部实部 U (x)oojGjG3600)(,180)0(起点与终点：起点与终点： 当包含一阶微分环节，这时的幅相曲线也可能出现凹凸。当包含一阶微分环节，这时的幅相曲线也可能出现凹凸。) 1)(1)(1() 1
27、()(42123sTsTsTssTKsGoojGjG3600)(,180)0(开环开环Nyquist图图起点与终点：起点与终点： 212( )(1)(1)KG ss TsT s例例2系统的开环传递函数系统的开环传递函数0ImjRe00ImjRe0P=0 N=-1 Z=P-2N=2 因此闭环系统不稳定系统的开环传递函数系统的开环传递函数例例 已知系统的开环传递函数如下：已知系统的开环传递函数如下： 绘制系统的开环绘制系统的开环NyquistNyquist图。图。 12211K TsG s H ssT s12211Kj TG jHjj T 221222211KTAT解：解：系统的开环开环频率特性系
28、统的开环开环频率特性 12180arctgTarctgT 0：A(0) (0)180：A()0 ()180T1T2 时：时： (0+) T2 时：时： (0+) 180若T1T2 ，N=0，则Z=0 ,系统稳定P=0,例例6-8例例6-9n例例 已知系统的开环传递函数如下：已知系统的开环传递函数如下： 绘制系统的开环绘制系统的开环NyquistNyquist图。图。( )(1)KG ss T s0GHW=0w=-1-270 -180P=1, N=-1/2, Z=1-2(-1/2)=2系统不稳定开环频率特性曲线比较复杂，包围圈数开环频率特性曲线比较复杂，包围圈数N N很不方便确定，引出很不方便确
29、定，引出“穿越穿越”的概念。的概念。为计算圈数方便，可通过为计算圈数方便，可通过开环幅相曲线在（开环幅相曲线在（-1,j0 -1,j0 ）左侧穿越的次数来获取）左侧穿越的次数来获取N N ：负穿越（负穿越（N-N-）：）：开环幅相曲线顺时针开环幅相曲线顺时针( (即曲线由下而上即曲线由下而上) )穿越（穿越（-1,j0-1,j0）左侧的）左侧的负实轴，记一次负穿越；负实轴，记一次负穿越；正穿越（正穿越（N+N+）：开环幅相曲线逆时针：开环幅相曲线逆时针( (即曲线由上而下即曲线由上而下) )穿越（穿越（-1,j0-1,j0）左侧的）左侧的负实轴，记一次正穿越；负实轴，记一次正穿越；半次正穿越：
30、半次正穿越：若沿频率若沿频率增加的方向，开环增加的方向，开环NyquistNyquist轨迹自（轨迹自（-1,j0-1,j0）以左的负）以左的负实轴开始向下称为半次正穿越；实轴开始向下称为半次正穿越；半次负穿越：半次负穿越：若沿频率若沿频率增加的方向，开环增加的方向，开环NyquistNyquist轨迹自（轨迹自（-1,j0-1,j0）以左的负）以左的负实轴开始向上称为半次正穿越；实轴开始向上称为半次正穿越； 奈氏判据可写成：当奈氏判据可写成：当从从00时，若开环频率特性曲线正穿越的次数减时，若开环频率特性曲线正穿越的次数减去负穿越的次数等于去负穿越的次数等于P/2P/2时，则系统是稳定。时，
31、则系统是稳定。(P(P为开环右极点个数为开环右极点个数) )，即：，即： 可知：可知：a a点和点和b b点为正穿越，点为正穿越，C C点为负穿越，故正点为负穿越，故正穿越减去负穿越次数等于穿越减去负穿越次数等于P/2P/2，所以系统稳定。，所以系统稳定。4 4确定稳定系统可变参数的取值范围确定稳定系统可变参数的取值范围3. 3. 开环频率特性曲线比较复杂时开环频率特性曲线比较复杂时N=N+-N-=P/2例例 若系统开环传递函数有个正实部极点，开环奈氏图如若系统开环传递函数有个正实部极点，开环奈氏图如图所示，试问闭环系统是否稳定？图所示，试问闭环系统是否稳定？复杂系统复杂系统P=2 N+=2
32、N-=1N=N+-N-=1Z=P-2N=0系统稳定3 3 利用利用BodeBode图判断系统稳定性图判断系统稳定性 N+：幅频特性曲线幅频特性曲线零分贝线以上频率范围内零分贝线以上频率范围内，对数相频曲线由下向上穿越，对数相频曲线由下向上穿越- 180o(2k+1)线的次数；线的次数；N-：幅频特性曲线幅频特性曲线零分贝线以上频率范围内零分贝线以上频率范围内，对数相频曲线由上向下穿越，对数相频曲线由上向下穿越- 180o(2k+1)线的次数；线的次数；Z=P-2N幅相曲线的幅相曲线的负实轴负实轴 对数相频特性的对数相频特性的-180o(2k+1)线线幅相曲线中由上向下穿越（逆时针）幅相曲线中由
33、上向下穿越（逆时针）对数相频曲线中由下向上穿越对数相频曲线中由下向上穿越幅相曲线中由下向上穿越（顺时针）幅相曲线中由下向上穿越（顺时针）对数相频曲线中由上向下穿越对数相频曲线中由上向下穿越N=N+-N-幅相曲线幅相曲线（-1，j0）点的点的左侧左侧 对数幅频特性对数幅频特性 L(w)0-180owL(w)w(N-)(N+)（1 1）GHGH平面上单位圆的圆周与伯德图上的平面上单位圆的圆周与伯德图上的dBdB线相对应，单位线相对应，单位圆的外部对应于圆的外部对应于L(L() )dBdB，单位圆的内部对应于，单位圆的内部对应于L(L() )dBdB。（2 2）GHGH平面上的负实轴与伯德图上的平面
34、上的负实轴与伯德图上的-180-180线相对应线相对应. .稳定性分析稳定性分析1 开环传递函数开环传递函数不含积分环节不含积分环节2开环传递函数含有积分环节开环传递函数含有积分环节 需对开环幅相曲线作修正：需对开环幅相曲线作修正：在在Bode图（相频特性）的图（相频特性）的w为为0+处，由下向上补画一条线，该线通处，由下向上补画一条线，该线通过的相位为过的相位为v90o。计算正负穿越时，应将补画的计算正负穿越时，应将补画的线也看成线也看成Bode图的一部分。图的一部分。2(K0, T0)已知已知系统开环系统开环Bode图，已知图，已知 ，试判断闭环系统稳定性试判断闭环系统稳定性0,2Pv-1
35、80owL(w)w四系统具有迟延环节的稳定性分析四系统具有迟延环节的稳定性分析具有迟延环节的控制系统，其开环传递函数包含有迟延环节的传递函数se svnjjvmiiesTssTKsHsG11)1()1()()(幅值和相角分别为 )j(H)j(G/)j(H)j(G/)j(H)j(G)j(H)j(G1111 当当+时，时， 的幅值一般趋近于零的幅值一般趋近于零(m(mn n），因而），因而G(j)H(jG(j)H(j) )曲线曲线( (即奈氏曲线即奈氏曲线) )随着随着从从0+0+，以，以螺旋状趋于螺旋状趋于原点原点，并且与并且与GHGH平面的负实轴有无限个交点平面的负实轴有无限个交点。这时，若要
36、闭环系。这时，若要闭环系统稳定，奈氏曲线与负实轴的交点都必须位于统稳定，奈氏曲线与负实轴的交点都必须位于(-l(-l，j0)j0)点的右侧。点的右侧。 )j(H)j(G例例6-116-11 设控制系统的开环传递函数为 sessssHsG)2)(1(1)()(若=0, 2, 4。绘出各自的奈氏曲线，并分析闭环系统的稳定性。迟延环节的存在不利于系统的稳定。迟延环节的存在不利于系统的稳定。 迟延时间迟延时间越大，越易使系统不稳定。越大，越易使系统不稳定。 0时，即相当于系统无迟延环节，时，即相当于系统无迟延环节，不包围不包围(-l，j0)点，所以闭环系统是点，所以闭环系统是稳定的。稳定的。 2时，曲
37、线刚好通过时，曲线刚好通过(-1，j0)点，点，所以闭环系统处于稳定边界所以闭环系统处于稳定边界(又称临又称临界稳定，认为也是不稳定的界稳定，认为也是不稳定的)。 4时，曲线包围时，曲线包围(-l，j0)点，所点，所以闭环系统是不稳定的。以闭环系统是不稳定的。 例例 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 用奈氏判据判别系统稳定性。用奈氏判据判别系统稳定性。 例例 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 用奈氏判据判别系统稳定性。用奈氏判据判别系统稳定性。 根据奈氏判据已知，如果系统的开环传递函数没有极点在根据奈氏判据已知，如果系统的开环传递函数没有极点在右半右半s s平面
38、上，则闭环系统稳定的充分必要条件是系统的开环平面上，则闭环系统稳定的充分必要条件是系统的开环幅相频率特性不包围幅相频率特性不包围(-1(-1，j0)j0)点。因此点。因此 要求闭环系统具有一定的相对稳定性，就必须使奈氏曲线要求闭环系统具有一定的相对稳定性，就必须使奈氏曲线不但不包围不但不包围(-1(-1，j0)j0)点，而且还要求奈氏曲线对点，而且还要求奈氏曲线对(-l(-l，j0)j0)点有点有一定的远离程度，即要求有一定的稳定裕量。一定的远离程度，即要求有一定的稳定裕量。 对于一个最小相位系统，曲线越靠近点对于一个最小相位系统，曲线越靠近点(-1(-1，j0)j0)，系统阶，系统阶跃响应的
39、振荡就越强烈，系统的相对稳定性就越差。因此，跃响应的振荡就越强烈，系统的相对稳定性就越差。因此，可可用曲线对点用曲线对点(-1(-1，j0)j0)的接近程度来表示系统的相对稳定性。的接近程度来表示系统的相对稳定性。通通常，这种接近程度是以相角裕度（相位裕量）和幅值裕度（幅常，这种接近程度是以相角裕度（相位裕量）和幅值裕度（幅值裕量）来度量。值裕量）来度量。 相角裕度和幅值裕度是系统开环频率指标，它们与闭环系相角裕度和幅值裕度是系统开环频率指标，它们与闭环系统的动态性能密切相关。统的动态性能密切相关。6.46.4 稳定性裕量稳定性裕量)(cwcwgwwgK1ReIm1. 幅值裕量幅值裕量Kg 或
40、或h相角交界频率相角交界频率 g：开环幅相曲线上，相角为开环幅相曲线上，相角为-180o点的频率称为点的频率称为相角交界相角交界 频率。即频率。即argG(jwg)H(jwg)= -180o。幅值裕量幅值裕量Kg ：开环幅相曲线与负实轴交点处幅值的倒数称为幅值裕量，开环幅相曲线与负实轴交点处幅值的倒数称为幅值裕量， 记为记为：物理意义：若系统开环增益增大到原来物理意义：若系统开环增益增大到原来 的的Kg倍，系统处于临界稳定。倍，系统处于临界稳定。一、一、 开环幅相曲线上的幅值裕度和相角裕度开环幅相曲线上的幅值裕度和相角裕度稳定裕度是衡量闭环系统稳定程度的指标稳定裕度是衡量闭环系统稳定程度的指标
41、2. 相角裕量相角裕量 幅值交界频率幅值交界频率 c ： 开环幅相曲线上，幅值为开环幅相曲线上，幅值为1的频率称为的频率称为截止频率（又称截止频率（又称幅值穿越频率、开环截止频率、开环剪切频率）。幅值穿越频率、开环截止频率、开环剪切频率）。 即即 |G(jwc)H(jwc)|=1。相角裕量相角裕量 ： = 180o + ( c)物理意义：若系统截止频率物理意义：若系统截止频率 c处的相处的相位迟后再增加位迟后再增加 ，系统处于临界稳定。系统处于临界稳定。)(cwcwgwwgK1ReIm二、开环对数幅相曲线上的幅值裕度和相角裕度二、开环对数幅相曲线上的幅值裕度和相角裕度)()(lg20)()(1
42、lg20)(gggggjwHjwGjwHjwGdBKKg(dB)0-Kg(dB)(cwcwgwwgK1ReImKg1(K(dB)0)，r0 系统稳定系统稳定工程上，一般取：工程上，一般取：00603010)(rdBdBKg)6)(dBdBKg 一般，为确定系统的相对稳定性，描述系统的稳定程度，一般，为确定系统的相对稳定性，描述系统的稳定程度，需要同时给出幅值裕度和相位裕度两个量，缺一不可。需要同时给出幅值裕度和相位裕度两个量，缺一不可。0)(dBh0判断（最小相位）系统稳定的又一方法)()(180ccjHjG)()(log20ggjHjGh1h)()(1ggjHjGh三、三、 举例举例例例1：
43、系统开环传函为：系统开环传函为)4)(2()()(sssKsHsGK=24，试试求求Kg，r。例例2：系统开环传函为：系统开环传函为) 101. 0() 1(10)()(2ssssHsG试试求求Kg，r。例例3：系统开环传函为：系统开环传函为) 12 . 0)(102. 0(10)()(ssssHsG画出系统的画出系统的Bode图，并由图图，并由图试试求求Kg，r。例例4：典型二阶系统如图：典型二阶系统如图：试确定其相角裕度。试确定其相角裕度。)2(2nnwsswR(s)C(s)_例例5：系统开环传函为：系统开环传函为) 11 . 0)(1()()(sssKsHsG分别画出分别画出K=5、20系统的系统的Bode图，并求图，并求Kg，r。答案：答案：K=5： r= 12o， Kg= 6dBK=20： r= -12o， Kg= -6dB140lg(20/)20lg4w22(1)400(1 0.1 )( )(1)(1 0.01 )KssG ssTsssK=202=400, T=1/100=0.01，由于得w1=10., =1/1=0.1。
