西农大信号与系统第四章.

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1、信信 号号 与与 系系 统统 第四章连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换连续时间信号的谱分析连续时间信号的谱分析信息工程学院方勇4.1 引言引言LTI系统分析法：系统分析法：（1）时域分析法）时域分析法 （2）变换域分析）变换域分析 微分（差分）方程法输入输出分析卷积积分法状态变量分析（第九章）00,) )jktstjknjesjeez nre谱分析（连续、离散信号）时频分析（时变系统）频域分析（基函数）（连续信号）复频域分析（基函数频域分析（基函数）（离散信号）复频域分析（基函数 注：用复指数函数或复指数序列为基，是因为 它们是LTI系统的特征函数； 它们是正交函数集； 信号频谱同信号一样都

2、是现实可观察的量。 信号的谱分析： 系统的频域分析： 在频域中，用频谱分析的观点分析系统。 信号的时频分析（不作要求） 对时变信号，分析信号局部时刻所含的频率分量。0decomposesynthesize( )(periodic,( is Fourier coefficient)1( )(aperiodic( ),( ) is spectral density)2jktkkkj tx tc ecx tXdt Xe 4.2 复指数的正交性复指数的正交性1. 正交函数 （1）正交函数正交函数定义定义: t (t1, t2)， 满足 （4-3） 则称 为正交函数集正交函数集. 若k=1,则称 n=0

3、,1,2N 为归一化正交函数集归一化正交函数集。 若再也找不到其他函数 满足： （4-4） 则，称正交函数集 是完备完备的的（其含义就是再也没有跟 无关的其他函数存在，即可用 构造空间的所有 函数）。01( )( ),( )( )nNtttt21*0,( )( ),.tmntnmtt dtknm( )nt( )nt( ) t( )nt( )nt( )nt21*( )( )0, 0,1,tnttt dtnN2121120( )( ),1( )( )*( )( )*Nnnnnnnnx tttctttx tt dtck ttktt dtt 221121212100( )( )( )( )*( )(

4、)*( )( )*1( )( )*NmnmnmNmmnmnnnnnnttx tt dtttdtcttttt dtctttt dtkccttx tt dtck t （2）任意函数可精确地用N+1个正交函数的加权和表示 任意函数 x(t)，正交函数集 ，则有 （4-5） （4-6） （4-7） 式中c n 是x(t)所含的的第n个分量的系数. 证明（4-6）式：( )nt附注： （4-5）式表示 x(t) 在以 为基的空间可分解，即 x(t) 中含有 的分量，其大小为( )nt( )nt( )nntc 2 . 常用的完备正交函数集常用的完备正交函数集 复指数函数集复指数函数集 t (t1, t2)

5、，ejn0t， n = 0, 1, 2, 构成完备正交函数集。 因为 式中 T0 = 2/0 基波周期基波周期。 02100011()0*0,jntjmtj nmttt TdtdteeettnmnmT 正弦函数或余弦函数集正弦函数或余弦函数集t ( t1, t2)，sinn0t和cosn0t ， n=0,1,2, 构成完备正交函数集。式中 T0 = 2/0基波周期基波周期。011011011000000000,sinsin/ 2,0,coscos/ 2sincos0.nmt TntmtdtnmtTnmt TntmtdtnmtTt Tntmtdtt4.3 周期信号的表示周期信号的表示 连续时间傅

6、连续时间傅里叶级数里叶级数 1. 用复指数函数表示周期信号：复指数形式的傅里叶级数用复指数函数表示周期信号：复指数形式的傅里叶级数 周期信号 x(t) = x(t+T)， T0 = minT = 2/0 基波周期基波周期。 复数形式的傅里叶级数 （4-33） 傅里叶系数或频谱 （4-34） 0000( )1( )jktkkjktkx tc ex tdtceTT说明： 上式 k = n 的项称 n 次谐波，k = 0 的项是直流分量，k = 1的项是基频分量，其周期为 T0。 谐波分量的频率是基频的整数倍 (k = k0)。 若x(t)是实信号，则有 显然 ck = c*-k 或 c*k = c

7、-k，通常 ck 是复数。00*( )( )( )jktjktkkkkxtx tcx tece 例 . 已知一周期信号的傅里叶级数的表示式为 (4-18) 式中 c0 = 1， c1 = c-1 = 1/4， c2 = c-2 = 1/2， c3 = c-3 = 1/3，0 = 2。求 (a) 其三角函数表示式；(b) 用图解方法表示各谐波分量的波形及合成波形。 解: (a) x(t) 由（4-18）式 x0(t) x1(t) (b) 各谐波分量波形集合成波形如右图 x2(t) x3(t)033( )jktkkx tc e2244660123( )1/ 4/ 2/ 311 / 2 cos 2c

8、os 42 / 3 cos 6( )( )( )( )jtjtjtjtjtjtx teeeeeetttttttxxxx 2. 周期实信号的三角函数形式周期实信号的三角函数形式周期实实信号 x(t)令 ck = Ake jk, |ck| = Ak 模模； k = arg ck 幅角幅角。 则， 即有：即有： 周期实信号的极坐标形式周期实信号的极坐标形式 （4-40）00000101( )2Rejktkkjktjktkkkjktkkx tc ecc ec ecc e0()01( )Re2kj ktkkx tceA001( )2cos()|argkkkkkkkx tktcAcAc 利用 cos(+)

9、 = coscos sinsin,可得到： 周期实信号的正周期实信号的正余弦形式余弦形式 注意：若 x(t) 为实函数，则 Bk 和 Dk 都是实数，且 Bk = Reck， k = Imck，k0. 若若 ck 是实数，则是实数，则 Dk = 0， x(t) 展开为余弦级数，展开为余弦级数， 若若 ck 是纯虚数，则是纯虚数，则 Bk = 0， x(t) 展开为正弦级数，展开为正弦级数，000001*220000( )2cossin,02()222( )cos22( )sinkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkx tktktcBDcckjDcBBjcccDjDcBDtgABDBx

10、 tktdtBTTx tktdtDTT例 1. 求周期性矩形脉冲的傅里叶级数 解：该信号的函数形式为占空比： T/T0 ，基波周期T0，基波频率0=2/T0。可得 频谱图( c kk) 1,| |( )20,TAtx tt周期内其它x(t) -T0 -T1 /2 0 T1 /2 T0 tA111011100/2100/20/2/20/2/2000100101/1(/)()(2/)sin(/ 2)(/)sin(/)TTTjktkTjkjkTTAdtAcTTTAdtceTAjkeeTA kkTTA kkTTT0 = 2T1T0 = 4T1T0 = 8T1T/T0 = 0.5时，c1 = c-1 =

11、 A/, c3 = c-3 = A/3,c5 = c-5 = A/5, ,Dk = 0，2B3 = 2A/3， 2B5 = 2A/5，2B2 = 2B4 = 0， 傅里叶级数为振幅频谱：振幅频谱：|ck| k 图；相位频谱：相位频谱：k k 图。注意：注意：占空比越小，其频谱越丰富。 0000000003535211( )coscos3cos523511)(235jtjtjtjtjtjtAAx ttttAAeeeeee 例 2. 已知x(t)是一周期性锯齿波如下图所示，试求傅里叶级数 解：锯齿波一周期内形式为 x(t) = t/T0，T0/2 t 非周期信号具有连续谱， 周期信号具有离散谱离散