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1、1电磁场与电磁波第三章 静电场边值问题武武 汉汉 科科 技技 大大 学学 信信 息息 科科 学学 与与 工工 程程 学学 院院2本章要点本章要点v 1 1、电位微分方程电位微分方程v 2 2、电位微分方程解的唯一性电位微分方程解的唯一性v 3 3、镜像法镜像法v 4 4、分离变量法分离变量法31、电位微分方程电位微分方程电位微分方程的提出：电位微分方程的提出：0 EE2E02泊松方程泊松方程 实际中对于很多静电场实际中对于很多静电场问题通常并不知道电荷分问题通常并不知道电荷分布，此时只能根据边界条布，此时只能根据边界条件，通过求解电位满足的件，通过求解电位满足的微分方程，从而获知电场微分方程，
2、从而获知电场的分布特性，这就是静电的分布特性，这就是静电场的边值问题。场的边值问题。4电位微分方程电位微分方程02拉普拉斯方程拉普拉斯方程在电荷密度为在电荷密度为0 0的无源空间，有：的无源空间，有：1、电位微分方程电位微分方程5电位微分方程电位微分方程边值问题的分类：边值问题的分类：第一类边值问题（第一类边值问题（狄里赫利问题狄里赫利问题）：）：给定未知函数在边界上的函数值。给定未知函数在边界上的函数值。例如：例如：静电场中已知各导体表面的电位静电场中已知各导体表面的电位, , 求解求解空间的电位问题。空间的电位问题。第二类边值问题（第二类边值问题（诺伊曼问题诺伊曼问题）：）：给定未知函数在
3、边界上的法向导数值。给定未知函数在边界上的法向导数值。如如静电场中已知导体表面的面电荷密度分布，求静电场中已知导体表面的面电荷密度分布，求解空间的电位问题。解空间的电位问题。第三类边值问题（第三类边值问题（混合问题混合问题）：）：在部分边界上给定未知函数在这部分边界上的函在部分边界上给定未知函数在这部分边界上的函数值，在其它边界上给定未知函数在这部分边界数值，在其它边界上给定未知函数在这部分边界上的法向导数值。上的法向导数值。1、电位微分方程电位微分方程6电位微分方程电位微分方程例例3.1 3.1 两块无限大的接地导体平面分别置于两块无限大的接地导体平面分别置于x=0和和x=a处，其间在处，其
4、间在x=x0处有一面密度为处有一面密度为 0(C/m2)的无限大均匀电荷分布，求两导体板的无限大均匀电荷分布，求两导体板之间的电位。之间的电位。xyx00a 0)(1x)(2xen1、电位微分方程电位微分方程7电位微分方程电位微分方程解：解：除除x=x0处，空间其它地方都没有电荷，电处，空间其它地方都没有电荷，电位满足一维拉普拉斯方程，根据导体平面及位满足一维拉普拉斯方程，根据导体平面及x=x0处的边界条件，可以求出电位分布。处的边界条件，可以求出电位分布。)0(0)(0212xxdxxd电位仅是坐标电位仅是坐标x的函数：的函数：)(0)(0222axxdxxdxyx00a 0)(1x)(2x
5、en1、电位微分方程电位微分方程8电位微分方程电位微分方程可解得：可解得：111)(DxCx)0(0 xx 222)(DxCx)(0axx 1和和 2满足的边界条件为：满足的边界条件为：0)0(10)(2a)()(0201xx)()()(00021xxxxxx思考：上式如何得来？思考：上式如何得来？xyx00a 0)(1x)(2xen1、电位微分方程电位微分方程1200/,nnEEE 9电位微分方程电位微分方程002120210122100CCDxCDxCDaCD代入数据得方程组：代入数据得方程组：)0()()(00001xxaxxax)()()(00002axxxaaxx1、电位微分方程电位
6、微分方程10解的解的存在、稳定存在、稳定及及惟一性惟一性问题。问题。 静电场是静电场是客观客观存在的，因此电位微分方程存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。泊松方程及拉普拉斯方程解的存在确信无疑。泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到解的稳定性在数学中已经得到证明。证明。可以证明可以证明电位微分方程解电位微分方程解具有具有惟一性惟一性。 惟一性惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是指在给定的定解条件下所求得的解是否是惟一的。是否是惟一的。 稳定性稳定性是指当定解条件发生微小变化时，是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否变化很大。所求得的解是否变化很大。存在存在是指在给定的
7、定解条件下，方程是否有解。是指在给定的定解条件下，方程是否有解。2、电位微分方程解的唯一性电位微分方程解的唯一性11 若静电场的边界为导体，此时给定导体上若静电场的边界为导体，此时给定导体上的电位就是的电位就是第一类边界第一类边界。已知已知Sn 因此，对于导体边界，当边界上的电位，因此，对于导体边界，当边界上的电位，或电位的法向导数给定时，或导体表面电荷给定或电位的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即被惟一地确定。这个结论称时，空间的静电场即被惟一地确定。这个结论称为为静电场惟一性定理静电场惟一性定理。 可见，表面电荷给定等于给定了电位的法可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向
8、导数值。因此，若给定导体表面上的电荷量向导数值。因此，若给定导体表面上的电荷量就是就是第二类边界。第二类边界。2、电位微分方程解的唯一性电位微分方程解的唯一性12 静电场的静电场的边值问题边值问题 根据给定的边根据给定的边界条件求解静电场的界条件求解静电场的电位分布电位分布。 对于线性各向同性的均匀介质，有源区中对于线性各向同性的均匀介质，有源区中的电位满足的电位满足泊松方程泊松方程方程方程 2 在无源区，电位满足在无源区，电位满足拉普拉斯方程拉普拉斯方程20利用利用格林函数格林函数，可以求解泊松方程。，可以求解泊松方程。利用利用分离变量法分离变量法可以求解可以求解拉普拉斯方程拉普拉斯方程。求
9、解静电场边值问题的另一种简单方法是求解静电场边值问题的另一种简单方法是镜像法镜像法。2、电位微分方程解的唯一性电位微分方程解的唯一性133、镜像法镜像法镜像法的实质：镜像法的实质： 用镜像电荷（或源）代替边界，使边界上的用镜像电荷（或源）代替边界，使边界上的未知函数（电位未知函数（电位/ /电场电场/ /磁位磁位/ /磁场）值，或其法向磁场）值，或其法向导数值保持不变，即边界条件不变；电力线或磁导数值保持不变，即边界条件不变；电力线或磁力线在求解区域中将保持不变，镜像源一定处在力线在求解区域中将保持不变，镜像源一定处在求解区域之外。求解区域之外。 依据：惟一性依据：惟一性定理。等效电荷的引入不
10、能改变定理。等效电荷的引入不能改变原来的原来的边界条件。边界条件。关键：关键：确定镜像电荷的大小及其位置。确定镜像电荷的大小及其位置。 局限性：局限性：仅仅对于某些仅仅对于某些特殊特殊的的边界边界以及以及特殊特殊的的电电荷分布荷分布才有可能确定其镜像电荷。才有可能确定其镜像电荷。 14第一类第一类 点电荷与无限大的导体平面点电荷与无限大的导体平面例例3.2 3.2 置于无限大接地平面导体上方，距导体置于无限大接地平面导体上方，距导体面为面为h h处的点电荷处的点电荷q q。 3、镜像法镜像法15分析：分析：- - - - - - - - - - - - - - - - =0=0可用叠加法求解可
11、用叠加法求解XYXY平面平面Z Z轴轴3、镜像法镜像法 当点电荷位于无限大的导体平面时，由于静当点电荷位于无限大的导体平面时，由于静电感应，导体表面将产生等量的异性的感应电荷，电感应，导体表面将产生等量的异性的感应电荷，使用镜像法时，可以用一个异性的镜像电荷代替使用镜像法时，可以用一个异性的镜像电荷代替导体表面的感应电荷。导体表面的感应电荷。 电场线处处垂直于导体的平面，零电位面与电场线处处垂直于导体的平面，零电位面与导体表面重合。导体表面重合。16解：解：在直角坐标系中，在直角坐标系中，当当z z0 0 时，时，当当z z=0=0时，时，=0=0；当当z z、| |x x|、| |y y|时
12、，时，00。02rqrq041 选无穷远点为电位参考点，利用叠加法求选无穷远点为电位参考点，利用叠加法求出导体上方无源区任一点的电位：出导体上方无源区任一点的电位：XYXY平面平面Z Z轴轴3、镜像法镜像法172/12222/1222)()(hzyxrhzyxr其中：其中：3303303304114114rhzrhzqzErrqyErrqxEzyx由由 得电场的各分量：得电场的各分量：EXYXY平面平面Z Z轴轴3、镜像法镜像法18由由Dn=S可得导体表面（可得导体表面（z=0）的感应面电荷密）的感应面电荷密度：度： 2/32220)(2hyxqhEzS令令2=x2+y2，则，则导体表面总的感
13、应电荷：导体表面总的感应电荷： )()(20222/322020CqhqhhddqhdsqSsi3、镜像法镜像法19例例3.3 3.3 设有两块接地半无限大导体平板相交成设有两块接地半无限大导体平板相交成角，角角，角满足满足n=180/，n为正整数，即为正整数，即n=1、2、3，交角内置一点电荷交角内置一点电荷( (或一线电或一线电荷荷) )。解：轮流找出镜像电荷及镜像电荷的镜像解：轮流找出镜像电荷及镜像电荷的镜像, , 直直到最后的镜像电荷与原电荷重合为止。但是只到最后的镜像电荷与原电荷重合为止。但是只有当有当n为整数时，最后的镜像才能和原电荷重为整数时，最后的镜像才能和原电荷重合，镜像电荷
14、的总数应是合，镜像电荷的总数应是N=2n-1个。个。 3、镜像法镜像法20q-q-qq 因为导体板无限大，所以导体板电位为因为导体板无限大，所以导体板电位为0 0，构，构造图示的镜像电荷，保证边界上的电位永远为造图示的镜像电荷，保证边界上的电位永远为0 0。qabP1r3r4r2r3、镜像法镜像法214321011114rrrrq由叠加法求出空间一点的电位为：由叠加法求出空间一点的电位为：2/122242/122232/122222/12221)()()()()()()()(zbyaxrzbyaxrzbyaxrzbyaxr3、镜像法镜像法22思考：如图导体板的镜像电荷如何构建？思考：如图导体板
15、的镜像电荷如何构建？q4545。012345678111111114qrrrrrrrryxqqqq-q-q-q-q1r4r2rP3r6r7r8r5r3、镜像法镜像法N=2n-1=2*180。/45。-1=7镜像电荷的总数镜像电荷的总数23第二类第二类 点电荷与导体球点电荷与导体球例例 3.4 3.4 一个半径为一个半径为a的接地导体球，一点电荷的接地导体球，一点电荷q位于距球心位于距球心d处，求空间任一点处，求空间任一点p p的电位。的电位。3、镜像法镜像法24qqbd3、镜像法镜像法解：试用一个镜像电荷解：试用一个镜像电荷q等效球面上的感应面等效球面上的感应面电荷在球外产生的电位和电场。考虑
16、对称性，电荷在球外产生的电位和电场。考虑对称性，镜像电荷镜像电荷q应置于球心与电荷应置于球心与电荷q的连线上。的连线上。 25 球外任一点的电位是电荷球外任一点的电位是电荷q与镜像电荷与镜像电荷q产产生电位的叠加：生电位的叠加：201044rqrq因为球面接地，所以球面上一点有：因为球面接地，所以球面上一点有： 044200100rqrqr10、r20分别是从分别是从q、q到球面上点到球面上点P0的距离。的距离。3、镜像法镜像法26取球面上的点分别取球面上的点分别位于位于A A、B B两点，可两点，可以得到确定未知量以得到确定未知量q、b的两个方程：的两个方程：00baqadqbaqadqqq
17、bdA AB Bdabqdaq2011211()4pqardrpr1r2r3、镜像法镜像法于是空间总电位可由于是空间总电位可由q与与q叠加求出。叠加求出。27其它情况：其它情况： 如果导体球不接地且不带电，可用镜像法如果导体球不接地且不带电，可用镜像法和叠加原理求球外的电位。此时球面必须是等和叠加原理求球外的电位。此时球面必须是等位面，且导体球上的总感应电荷为零。使用两位面，且导体球上的总感应电荷为零。使用两个等效电荷：一个是个等效电荷：一个是q，其位置和大小由前面，其位置和大小由前面的例题确定；另一个是的例题确定；另一个是q”，q”=-=-q，q”位于球位于球心。心。 如果导体球不接地，且带
18、电荷如果导体球不接地，且带电荷Q，则，则q位置位置和大小同上，和大小同上，q”的位置也在原点，但的位置也在原点，但q”= =Q-q。3、镜像法镜像法28qqbdA AB Bq”r1r2rp导体球的电位导体球的电位? ?4 4 qqad 由由q 及及q 在球面边界在球面边界上形成的电位为上形成的电位为零零，因此，因此必须再引入一个镜像电荷必须再引入一个镜像电荷q 以产生一定的电位以产生一定的电位。 若导体球若导体球不接地不接地，则，则其电位其电位不为零不为零。 为了保证球面边界是一个为了保证球面边界是一个等位面等位面，镜像电荷，镜像电荷q 必须位必须位于于球心球心。为了满足。为了满足电荷守恒定律
19、电荷守恒定律，第二个镜像电荷，第二个镜像电荷q 必须必须为为 ，以保证导体球表面上总电荷量为以保证导体球表面上总电荷量为零值零值。 qq 3、镜像法镜像法29第三类第三类 线电荷与带电的导体圆柱线电荷与带电的导体圆柱例例3.5 3.5 设半径为设半径为a的无限长导体圆柱外，有一的无限长导体圆柱外，有一根与其平行的无限长细线电荷，其线电荷密度根与其平行的无限长细线电荷，其线电荷密度为为l，与圆柱轴线距离为，与圆柱轴线距离为d1，横截面如图。，横截面如图。ld1a3、镜像法镜像法30求解方法和第二类镜像法类似：求解方法和第二类镜像法类似：第一步第一步 构造镜像电荷；构造镜像电荷；第二步第二步 求出
20、空间中电位的表达式求出空间中电位的表达式第三步第三步 列出满足导体表面电位为列出满足导体表面电位为0 0的边界条件的边界条件的方程（组），求解出设定的未知量。的方程（组），求解出设定的未知量。第四步第四步 将求出的未知量代入电位的表达式，将求出的未知量代入电位的表达式，得到可用的电位表达式。得到可用的电位表达式。3、镜像法镜像法31第四类第四类 点电荷与无限大的介质平面点电荷与无限大的介质平面例例3.6 3.6 两种介电常数分别为两种介电常数分别为1、2的介质充填的介质充填于于z0的空间，在介质的空间，在介质1 1中点中点(d,0,0)处有处有一点电荷一点电荷q。 123、镜像法镜像法32解：
21、分界面上将产生束缚电荷。解：分界面上将产生束缚电荷。计算介质计算介质1中的电位时，可将界面上的束缚电荷中的电位时，可将界面上的束缚电荷用镜像电荷用镜像电荷q来等效，空间介电常数都为来等效，空间介电常数都为1。12- - - - - - - - - - - -11qq3、镜像法镜像法33 计算介质计算介质2中的电位时，可将界面上的束缚中的电位时，可将界面上的束缚电荷与源点电荷用镜像电荷电荷与源点电荷用镜像电荷q”来等效，空间介来等效，空间介电常数都为电常数都为2。12- - - - - - - - - - - -22q”3、镜像法镜像法34在介质在介质1 1中产生的电位为：中产生的电位为：)(4
22、12111rqrq在介质在介质2 2中产生的电位为：中产生的电位为：3224rq其中，其中，r1、r2和和r3为三个电荷到场点的距离。为三个电荷到场点的距离。3、镜像法镜像法35根据电位的边界条件：根据电位的边界条件：nn22112111qqen 22q”en 3、镜像法镜像法36在介质边界上一点，代入电位的表达式，得：在介质边界上一点，代入电位的表达式，得：rqrqrq214)(41cos4cos)(41222rqrqrq解得：解得：qq2121qq21223、镜像法镜像法374、直角坐标系的分离变量法直角坐标系的分离变量法 如果泊松方程或拉普拉斯方程中有两个或如果泊松方程或拉普拉斯方程中有
23、两个或两个以上的自变量，在数学上就形成了偏微分两个以上的自变量，在数学上就形成了偏微分方程的求解问题。方程的求解问题。 一种方法是把各个自变量分开后单独求解，一种方法是把各个自变量分开后单独求解，然后再组合成总的解，这就是然后再组合成总的解，这就是分离变量法分离变量法。在。在数学上通过把偏微分方程转换为常微分方程求数学上通过把偏微分方程转换为常微分方程求解来实现。解来实现。38直角坐标系的分离变量法直角坐标系的分离变量法在直角坐标系中，拉普拉斯方程为：在直角坐标系中，拉普拉斯方程为： 0222222zyx可以表示为三个函数的乘积：可以表示为三个函数的乘积：)()()(),(zZyYxXzyx0
24、222222dzZdXYdyYdXZdxXdYZ可将拉普拉斯方程改写为：可将拉普拉斯方程改写为：4、直角坐标系的分离变量法直角坐标系的分离变量法39直角坐标系的分离变量法直角坐标系的分离变量法然后用然后用XYZ除上式，得：除上式，得：0ZZYYXX上方程中的每项只与一个变量相关，所以各项上方程中的每项只与一个变量相关，所以各项都是一个常数。令：都是一个常数。令：2221xkdxXdX2221ykdyYdY2221zkdzZdZ0222zyxkkk4、直角坐标系的分离变量法直角坐标系的分离变量法40直角坐标系的分离变量法直角坐标系的分离变量法写成如下的形式：写成如下的形式：00022222222
25、2ZkdzZdYkdyYdXkdxXdzyx4、直角坐标系的分离变量法直角坐标系的分离变量法41直角坐标系的分离变量法直角坐标系的分离变量法以第一个方程为例求解集：以第一个方程为例求解集：当当kx2=0时，解为：时，解为： 式中式中A0，B0为待定积分常数。为待定积分常数。xBAxX00)(xjkxjkxxBeAexX)(xkDxkCxXxxsincos)(当当kx20时，时，kx为实数，为实数，解为：解为： 4、直角坐标系的分离变量法直角坐标系的分离变量法42直角坐标系的分离变量法直角坐标系的分离变量法DshaxCchaxxXBeAexXaxax)()(当当kx20时，令时，令kx=-j，解
26、为：解为： 4、直角坐标系的分离变量法直角坐标系的分离变量法43直角坐标系的分离变量法直角坐标系的分离变量法例例 两个相互平行的半无限大接地导体平面，间两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为距为d，其有限端被电位为，其有限端被电位为0的导电平面封闭，且的导电平面封闭，且与半无限大接地导体平面绝缘，如图所示。试求与半无限大接地导体平面绝缘，如图所示。试求三个导体平面形成的三个导体平面形成的槽中电位槽中电位分布。分布。 Od dx xy y = 0 = 0 =0电位满足的拉普拉斯方程变为电位满足的拉普拉斯方程变为 22220 xy解解: :选取选取直角直角坐标系。槽坐标系。槽中电位分布与中电位
27、分布与z无关，这无关，这是一个是一个二维场二维场的问题。的问题。4、直角坐标系的分离变量法直角坐标系的分离变量法44直角坐标系的分离变量法直角坐标系的分离变量法( , )( ) ( )x yX x Y y应用应用分离变量法分离变量法，令，令为了满足为了满足 及及 ，Y(y)的解应为的解应为 ( , )0 xd( , 0)0 x( )sincosyyY yAk yBk y槽中电位满足的边界条件为槽中电位满足的边界条件为: :0(0, )y ( , )0y( , 0)0 x( , )0 xd因为因为 y = 0 时，电位时，电位 = 0，因此上式中常数，因此上式中常数 B = 0。为了满足为了满足
28、 ，分离常数，分离常数 ky 应为应为 ( , )0 xd, 1, 2, 3, ynknd4、直角坐标系的分离变量法直角坐标系的分离变量法45直角坐标系的分离变量法直角坐标系的分离变量法()sinnYyAyd求得求得已知已知 ，求得，求得220 xykkjxnkd可见，分离常数可见，分离常数kx为为虚数虚数，故，故X(x)的解应为的解应为( )eennxxddXxCD式中的常数式中的常数 C 应为零应为零？( , )esinnxdnx yCyd那么那么式中的常数式中的常数 C = AD 。( )enxdX xD求得求得4、直角坐标系的分离变量法直角坐标系的分离变量法46直角坐标系的分离变量法直
29、角坐标系的分离变量法因因 x = 0 时，电位时，电位 = 0 ，得得 0sinnCyd上式右端为上式右端为变量变量，但左端为，但左端为常量常量，因此不能成立。，因此不能成立。这就表明此式不能满足给定的边界条件。因此，这就表明此式不能满足给定的边界条件。因此，必须取上式的必须取上式的线性组合线性组合作为电位方程的解。作为电位方程的解。为了满足为了满足 x = 0， = 0 ，由上式得，由上式得 01sinnnnCyd1( , )esinnxdnnnx yCyd即即4、直角坐标系的分离变量法直角坐标系的分离变量法47直角坐标系的分离变量法直角坐标系的分离变量法Odxy = 0 = 0 = 0利用傅里叶级数的利用傅里叶级数的正交性正交性，求出系数，求出系数Cn 为为04 0 nnCnn为数为数奇偶041( , )esin, 1,3,5,nxdnnx yynnd求得槽中电位分布函数为求得槽中电位分布函数为 电场线电场线等位面等位面01sin, 0nnnCyydd4、直角坐标系的分离变量法直角坐标系的分离变量法48本章小结本章小结49第三章习题第三章习题 3-6 3-7 3-1950The End of Chapter 03
